Existence and Multiplicity of Solutions for a Kirchhoff Type Equation with a Critical Sobolev-Hardy Exponent

记$|u{{|}_{p}}={{\left({{\int_{\mathit{\Omega }}{\left| u \right|}}^{p}}~\text{d}x \right)}^{\frac{1}{p}}}$和${\left| u \right|_\infty } = \mathop {\sup }\limits_{x \in \mathit{\Omega }} {\mkern 1mu} \left\{ u \right\}$. B_r和∂B_r分别是以0为圆心，以r为半径的闭球和球面. u_n^±(x)=max{±u_n，0}. C₁，C₂，C₃，…是正常数.

是Sobolev最佳嵌入常数. 如果对∀φ∈H₀¹(Ω)，

则称u是方程(1)的解. 众所周知，方程(1)对应的能量泛函为

其临界点是方程(1)的解.

引理1  若定理1的条件成立，则存在常数R，ρ，Λ₀>0，使得对∀λ∈(0，Λ₀)，$\inf\limits _{u \in \overline{B_{R}}} I_{\lambda}(u) < 0$，$\left.I_{\lambda}(u)\right|_{u \in \partial B_{R}}>\rho$.

证  由Sobolev嵌入定理知，存在C>0，使得$\int_{\mathit{\Omega}} u^{q} \mathrm{d} x \leqslant C \int_{\mathit{\Omega}}|\nabla u|^{2} \mathrm{d} x(1 \leqslant q \leqslant 6)$.

令$g(t)=\frac{a}{2} t^{2-q}-\frac{1}{2^{*}(s)} S^{-\frac{2^{*}(s)}{2}} t^{2^{*}(s)-q}$，则存在正常数R，使得$g(R)={\max\limits _{t>0}}g(t)>0$，记${{\mathit{\Lambda }}_{0}}=\frac{qg(R)}{2C{{\left| {{f}_{+}} \right|}_{\infty }}}$，对∀λ∈(0，Λ₀)，存在常数ρ>0，有$\left.I_{\lambda}(u)\right|_{u \in \partial B_{R}}>\rho$.

根据文献[11]中引理3.1，存在φ₀∈C₀^∞(Ω)，使得$\int_{\mathit{\Omega}} f_{\lambda}(x)\left(\varphi_{0}^{+}\right)^{q} \mathrm{d} x>0$. 由1 < q < 2知，当t充分小时，I_λ(tφ₀) < 0. 因此，$d=\inf \limits_{u \in B_{R}} I_{\lambda}(u) < 0$.

定理2  若定理1的条件成立，则∀λ∈(0，Λ₀)，方程(1)存在正解u₁，满足I(u₁) < 0.

证  由引理1知，对任意的λ∈(0，Λ₀)，$d=\inf\limits _{u \in B_{R}} I_{\lambda}(u) < 0 < \inf \limits_{\|u\|=R} I_{\lambda}(u)$. 由于B_R是闭凸集，在B_R上运用Ekeland变分原理，获得I_λ的一个局部极小解u₁. 对∀ψ∈H₀¹(Ω)，让t>0足够小，使得u₀±tψ∈B_R，有$\lim \limits_{t \rightarrow 0} \frac{I_{\lambda}\left(u_{1} \pm t \psi\right)-I_{\lambda}\left(u_{1}\right)}{t} \geqslant 0$. 故

在(6)式中取测试函数ψ=-u₁^-，通过计算得‖u₁^-‖=0，这意味着u₁≥0. 因此，u₁是方程(1)的非负非平凡解. 根据强极大值原理可得u₁>0. 因此，u₁是方程(1)的正解且I_λ(u₁)=d < 0.

引理2  若定理1的条件成立，则当λ∈(0，Λ₀)时，对于给定的R₀>0，存在v₀∈H₀¹(Ω)且‖v₀‖>R₀，使得I_λ(v₀) < 0.

证  对∀t>0，

由0≤s < 1知，2^*(s)>4. 因此，当t+∞时，I_λ(tu)-∞. 故存在v₀∈H₀¹(Ω)满足‖v₀‖>R₀，使得I_λ(v₀) < 0.

引理3  若定理1的条件成立，则当$c < c^{*}=\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2^{*}(s)}\right)(a S)^{\frac{3-s}{2-s}}-D \lambda^{\frac{2}{2-q}}$时，I_λ满足(PS)_c条件，其中$D=\left(\frac{4-q}{4 q}\left|f_{+}\right|_{\infty} C\right)^{\frac{2}{2-q}}\left(\frac{2 q}{a}\right)^{\frac{2}{2-q}}$，C为引理1中提到的常数.

证  令{u_n}⊂H₀¹(Ω)是I_λ的一个(PS)_c序列，当n→∞时，有

根据Sobolev嵌入定理和(7)式，有

由1 < q < 2 < 2^*(s)知，{u_n}⊂H₀¹(Ω)有界. 因此，存在其子列(仍记为{u_n})和u₀∈H₀¹(Ω)，使得在H₀¹(Ω)上，有u_n⊂u₀；在L^2*(s)(Ω，|x|^-sdx)上，有u_n$\rightharpoonup$u₀；在L^p(Ω)(1≤p < 2^*(s))上，有u_n→u₀；在Ω上几乎处处有u_n(x)→u₀(x). 利用集中紧性引理和Sobolev-Hardy不等式，有

其中J是一个至多可数的指标集，δ_xj是在x_j上的Dirac测度. 我们可以找到序列{x_j}⊂Ω， μ_j，ν_j，使得

接下来，证明J=Ø. 假设J≠Ø，对ε>0，设ψ_ε，j(x)∈C₀^∞满足条件0≤ψ_ε，j≤1，$\left|\nabla \psi_{\varepsilon, j}(x)\right| \leqslant \frac{4}{\varepsilon}$，当$x \in B\left(x_{j}, \frac{\varepsilon}{2}\right)$时，ψ_ε，j=1，当x∈B(x_j，ε)时，ψ_ε，j=0. 根据(4)式，可知

由{u_n}有界知，$\lim \limits_{\varepsilon \rightarrow 0} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \int_{{\mathit{\Omega}}} f_{\lambda}\left(u_{n}^{+}\right)^{q-1} \psi_{\varepsilon, j}(x) u_{n} \mathrm{d} x=0$. 由于{ψ_ε，ju_n}在H₀¹(Ω)上有界，则(I_λ^′ (u_n)，ψ_ε，ju_n)→0. 因此

结合(8)式，可推得：(ⅰ) $\mu_{j} \geqslant\left(a S^{\frac{2^{*}(s)}{2}}\right)^{\frac{2}{2^{*}(s)-2}}=a^{\frac{3}{2-s}} S^{\frac{3-s}{2-s}}$，或者(ⅱ) μ_j=ν_j=0. 下面证明(ⅰ)不成立. 由(7)式和Young不等式，可推出

此与c < c^*是矛盾的. 故μ_j=ν_j=0，即J=Ø，这意味着当n→∞时，$\int_{\mathit{\Omega}} \frac{\left|u_{n}\right|^{2^{*}(s)}}{|x|^{s}} \mathrm{~d} x \rightarrow \int_{\mathit{\Omega}} \frac{\left|u_{0}\right|^{2^{*}(s)}}{|x|^{s}} \mathrm{~d} x$. 可推出{u_n}在H₀¹(Ω)上强收敛于u₀.

定义

其中C₃(s)为与s有关的常数，U_ε(x)是方程$-\Delta U_{\varepsilon}=U_{\varepsilon}^{5}\left(x \in \mathbb{R}^{3}\right)$的解，并且满足$\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|U_{\varepsilon}\right|^{6} \mathrm{~d} x=\int_{\mathbb{R}^{3}}\left|\nabla U_{\varepsilon}\right|^{2} \mathrm{~d} x={{S}^{\frac{3}{2}}}$. 令η∈C₀^∞(Ω)满足条件0≤η≤1，|▽η|≤C，且当|x| < R₀时，η(x)=1；|x|>2R₀时，η(x)=0. 设u_ε(x)=η(x)U_ε(x)，有

引理4  若定理1的条件成立，则存在λ₁>0，当λ∈(0，λ₁)时，$\sup\limits _{t \geqslant 0} I_{\lambda}\left(u_{1}+t u_{\varepsilon}\right) <c^{*}$.

证  对p，q>0，有

从定理2的证明，不难看出u₁是有界的. 因此，存在M>0，使得‖u₁‖ < M. 注意到I_λ(u₁) < 0，由(12)式、Hölder不等式和Young不等式知

利用文献[10]的方法知，存在t_ε>0和与ε，λ无关的常数t₁，t₂，满足0 < t₁≤t_ε≤t₂ < ∞，使得$\sup \limits_{t \geqslant 0} J\left(t u_{\varepsilon}\right)$=J(t_εu_ε). 根据(10)式，我们得到

注意到$\int_{\mathit{\Omega }}{u_{\varepsilon }^{q}}\text{d}x\le {{C}_{8}}{{\varepsilon }^{\frac{q}{2}}}$，由(11)和(13)式知

记$\varepsilon=\lambda^{\frac{4}{q(2-q)}}$, 当$0 < \lambda < \lambda_{1}=\left(\frac{C_{12}}{C_{9}+D}\right)^{q(2-s)}$时，有

即

因此$\sup \limits_{t \geqslant 0} I_{\lambda}\left(u_{1}+t u_{\varepsilon}\right) < c^{*}$.

定理3  若定理1的条件成立，则存在λ_*>0，使得∀λ∈(0，λ_*)，方程(1)有一个正解u₂，并且满足I_λ(u₂)>0.

证  令λ_*=min{Λ₀，λ₁}，当0 < λ < λ_*时，由引理1和2知，I_λ(u)具有山路几何结构. 令

由引理3和引理4知c < c^*，且I_λ(u)满足(PS)_c条件. 由山路引理^[12-13]获得方程(1)的非平凡解u₂满足I_λ(u₂)>0. 类似定理2的论述，不难得到u₂是方程(1)的一个正解.

定理1的证明由定理2和定理3知，方程(1)有两个正解u₁和u₂，满足I_λ(u₁) < 0 < I_λ(u₂).