Finite Groups with Exactly Two Special Character Degrees

本文所涉及的群皆为有限群. 利用特征标的维数去研究群的性质和结构^[1]是有限群研究的一个重要方向. 文献[2]证明了：群G是幂零群当且仅当对G的所有不可约特征标χ都有χ(1)² | |G∶ker χ|. 文献[3]给出了余维数的定义，即G的特征标χ，其余维数为${\rm{cod}}(\mathit{\chi }) = \frac{{\left| {\mathit{G}:{\rm{ker}}\mathit{\chi }} \right|}}{{\mathit{\chi }{\rm{(1)}}}}$. 从而G为幂零群当且仅当对G的所有不可约特征标χ都有χ(1)|cod(χ). 考虑其对偶情况，即所有非线性特征标χ满足的群，群的结构相对复杂，满足该条件的有限单群^[4]有A₅，A₆，可解群有S₃等. 文献[5]研究了比其对偶条件更弱的情形，即对所有不可约特征标χ满足(χ(1)，cod(χ))=1的群G，给出了群G的性质及其结构刻画. 文献[6]进一步考虑了仅有1个不可约特征标χ满足的群，证明了这类群可解并刻画出其结构. 本文将继续这一研究，考虑恰有两个不可约特征标χ满足的群，我们得到这样的群也是可解的.

记Irr(G)为群G的所有不可约特征标的集合. 设n是一个正整数，p是一个素数，记π(n)为不大于n的素数的个数，n_p为n的素数分解中p的最大方幂，v_p(n)为n的素数分解中p的最大幂指数，[x]表示不超过x的最大整数.

引理1^[7]   设S为非交换单群，p为|S|的素因子. 当S为李型单群或p≥5时，则存在χ∈Irr(S)，使得.

引理2^[8]   令I={1，2，…，n}，m= $[\frac{\mathit{n}}{2}]$. 对正整数k≤m，定义I_k是包含所有I的子集长度为k的集合，π_k是作用在集合I_k上的置换特征标. 则对称群S_n有不同的不可约特征标

对所有的正整数k≤m都满足

特别地，${\mathit{\chi }^{(\mathit{n} - \mathit{k}, \mathit{k})}} = {\mathit{\pi }_k} - {\mathit{\pi }_{k - 1}}$.

引理3^[9]   设N⊴G且|G∶N|=p，p是一个素数. 若χ∈Irr(G)，则χ_N∈Irr(N)或χ_N= ${\mathit{\chi }_\mathit{N}} = \sum\limits_{i = 1}^\mathit{p} {{\mathit{v}_\mathit{i}}} $，其中υ_i∈Irr(N)(i=1，2，…，p)共轭且互不相同.

引理4^[10]   设G为有限群，p为一个素数，N=W₁×…×W_s为G的正规子群，其中W_i(i=1，…，s)是非交换单群且p | |W_i|. 如果C_G(N)=1，且存在ϕ_i∈Irr(W_i)使得${v_p}\frac{{\left| {{\rm{Aut}}({\mathit{W}_\mathit{i}})} \right|}}{{{{ϕ}_\mathit{i}}{{(1)}^2}}} < 0$，其中i=1，…，s，则存在ϕ∈Irr(N)使得.

引理5^[2]   若S为李型单群，p是|S|的任意素因子，则|S|_p>|Out(S)|_p.

引理6^[11]   当正整数n≥1时，则有正常数α及β，使得${\mathit{v}_\mathit{p}} = \frac{{\left| \mathit{G} \right|}}{{\phi {{(1)}^2}}} < 0$

特别地，有

引理7   当正整数n≥13时，在区间$\left( {\left[ {\frac{\mathit{n}}{2}} \right] + 2, \left. \mathit{n} \right]} \right.$中至少存在两个不同的素数p，且有p≥11.

证   由引理6，当n=2¹⁰时，

当$\mathit{x} > \frac{{\rm{e}}}{2}$时，函数

是增函数，则当正整数n≥2¹⁰时，区间(n，2n]中素数的个数不少于4. 由$[\frac{\mathit{n}}{2}] + 2 \le \frac{\mathit{n}}{2} + 2$，故当n≥2¹¹时，在区间$\left( {\left[ {\frac{\mathit{n}}{2}} \right] + 2, \left. \mathit{n} \right]} \right.$中的素数个数不少于2. 当13≤n < 2¹¹时，通过质数表易计算，在区间$\left( {\left[ {\frac{\mathit{n}}{2}} \right] + 2, \left. \mathit{n} \right]} \right.$中至少存在两个不同的素数p，且有p≥11. 于是，当n≥13时，结论成立.

定理1   设S为非交换单群，则S至少存在3个维数不同的不可约特征标χ，使得.

证   由有限单群分类定理，则S为26类散在单群、李型单群或n次交错群(n≥5)之一.

(i) 若S为散在单群，由Atlas表^[12]，S至少存在3个维数不同的不可约特征标χ，使得.

(ii) 若S为李型单群，由引理1，对S的每个素因子p_i，都存在χ_i∈Irr(S)，使得，即

注意到. 假设S只有两个维数不同的不可约特征标满足(1)式，分别设为χ₁，χ₂，则|S|_pi=χ₁(1)_pi或|S|_pi=χ₂(1)_pi. 不妨设χ₁(1)>χ₂(1)，于是

与$\left| S \right| = \sum\limits_{\mathit{x} \in {\rm{Irr}}(\mathit{S})} {\mathit{\chi }{{(1)}^2}} \ge 1 + {\mathit{\chi }_1}{(1)^2} > {\mathit{\chi }_1}{(1)^2}$矛盾.

(iii) 若S为n次交错群A_n(n≥5). 当n < 13时，由Atlas表^[12]，S至少存在3个维数不同的不可约特征标χ，满足，矛盾. 当n≥13时，由引理1，对素因子p=5，存在χ′∈Irr(S)，使得，即

由引理2，对所有的正整数$\mathit{k} \le [\frac{\mathit{n}}{2}]$，对称群S_n的不可约特征标χ^(n-k，k)均满足

又由引理7，在区间$\left( {\left[ {\frac{\mathit{n}}{2}} \right] + 2, \left. \mathit{n} \right]} \right.$中至少存在2个不同的素数p₁，p₂. 不妨设11≤p₁ < p₂.

由于${\mathit{p}_1} > [\frac{n}{2}] + 2$则得到$\mathit{n} + 1 - {p_1} < [\frac{n}{2}]$. 所以存在k₁，满足

于是p₁>n-k₁+1，故p_i|n(n-1)…(n-k₁+2)，，由(3)式可得

由χ^{(n-k₁，k₁)}(1) | |S_n|以及|S_n|_pi=(n!)_pi=p_i(i=1，2)，则. 取υ₁∈Irr(A_n)满足[(χ^{(n-k₁，k₁)})_An，υ₁]≠0. 再由引理3，得到(χ^{(n-k₁，k₁)})_An=υ₁或者(χ^{(n-k₁，k₁)})_An=υ₁+(υ₁)^g，其中(υ₁)^g与υ₁共轭且互不相同. 则. 由k₁≥5，则5|k₁!. 由(2)，(3)式可得(υ₁(1))₅ < χ′(1)₅，故υ₁(1)≠χ′(1).

再由p₁ < p₂，故存在k₂(k₂≠k₁)满足

于是

故

同理. 取υ₂∈Irr(A_n)满足[(χ^{(n-k₂，k₂)})_An，υ₂]≠0，则. 由(2)，(3)式易得χ^{(n-k₂，k₂)}(1)₅ < χ′(1)₅. 故υ₂(1)≠χ′(1). 再由(4)，(5)式，则υ₁(1)≠υ₂(1).

定理2   若群G恰有两个不可约特征标χ_i，满足，i=1，2，则G可解.

证   显然G非交换. 由定理1，G非单. 设N是G的极小正规子群.

若N⊊χ_i，则χ_i∉(G/N)，i=1，2，即∀η∈Irr(G/N)，有η(1)|cod(η). 由文献[2]得G/N幂零，故G/N可解. 若N⊆ker χ₁或N⊆ker χ₂，即G/N只有一个η∈Irr(G/N)满足，由文献[6]得G/N可解.

若N⊆ker χ_i，则χ_i∈Irr(G/N)(i=1，2). 故G/N满足定理2的条件. 对|G|用归纳法，则G/N可解.

下面假设N不可解. 设K≠N也是G的极小正规子群，则G≲G/N×G/K. 因为G/N，G/K可解，则G可解，N可解，矛盾. 于是N为唯一的极小正规子群. 若C_G(N)≠1，则C_G(N)≥N，与N不可解矛盾，因此C_G(N)=1. 因为N可以写成同构单群的直积，且N非交换，所以

其中W_i≅W₁(1≤i≤s)，是非交换单群. 由|Aut(W_i)|=|W_i|·|Out(W_i)|，我们断言W₁至少存在3个维数不同的ϕ_i∈Irr(W₁)，满足

若W₁为散在单群，由Atlas表^[12]，结论成立.

若W₁为李型单群，由引理5，任意素因子p | |W₁|有|W₁|_p>|Out(W₁)|_p. 则

由定理1(ii)，至少有3个维数不同的ϕ_i∈Irr(W₁)，都存在p_i满足ϕ_i(1)_pi=|W₁|_pi，则ϕ_i(1)_pi²>|Aut(W₁)|_pi(i=1，2，3)，即(6)式成立.

若W₁为n次交错群，由文献[10]有|Out(W₁)|≤4. 故由定理1(iii)构造出的3个维数不同的ϕ_i∈Irr(W₁)也均满足(6)式. 因此断言成立.

由(6)式可得，存在素因子p | |W_i|使得${\mathit{v}_\mathit{p}}\frac{{\left| {{\rm{Aut}}({\mathit{W}_\mathit{i}})} \right|}}{{{\phi _i}{{(1)}^2}}} < 0$. 再由引理4，存在3个维数不同的ϕ=ϕ_i×…×ϕ_i∈Irr(N)(i=1，2，3)，使得

对每个ϕ，取χ∈Irr(G)满足[(χ)_N，ϕ]=[χ，ϕ^G]≠0. 因为ϕ的维数互不相同，由Clifford定理，则得到3个互不相同的χ∈Irr(G). 由(7)式可得|G|_p < ϕ(1)_p²≤χ(1)_p²，则，即，与定理2的条件矛盾. 则N可解. 故G可解.