Search Advanced

Message Board

Dear readers, authors and reviewers,you can add a message on this page. We will reply to you as soon as possible!

2021 Volume 46 Issue 10
Article Contents
Previous Article Next Article

CHEN Chanchan, LI Yu, LU Jiakuan, et al. Finite Groups in Which Every Non-Nilpotent Self-Centralizing Subgroup Is a TI -Subgroup or A Subnormal Subgroup[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(10): 5-9. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.10.002
Citation: CHEN Chanchan, LI Yu, LU Jiakuan, et al. Finite Groups in Which Every Non-Nilpotent Self-Centralizing Subgroup Is a TI -Subgroup or A Subnormal Subgroup[J]. Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition), 2021, 46(10): 5-9. doi: 10.13718/j.cnki.xsxb.2021.10.002
shu

Finite Groups in Which Every Non-Nilpotent Self-Centralizing Subgroup Is a TI -Subgroup or A Subnormal Subgroup

  • School of Mathematics and Statistics, Guangxi Normal University, Guilin Guangxi 541004, China

More Information
  • Corresponding author: LU Jiakuan ; 
  • Received Date: 28/10/2020
    Available Online: 20/10/2021

  • MSC: O152.1

  • In this paper, we have obtained some properties of a finite group in which every non-nilpotent self-centralizing subgroup is a special subgroup. It has been proved that if every non-nilpotent self-centralizing subgroup of a finite group G is a TI-subgroup or a subnormal subgroup of G, then every non-nilpotent subgroup of G must be subnormal in G. We further prove that K is a non-nilpotent self-centralizing subgroup of a non-nilpotent group G, if K normal in G or exists a normal subgroup L of G such that K is a maximal subgroup of L and K is a Frobenius complement of L, then every non-nilpotent self-centralizing subgroup of G is a TI-subgroup.
  • 加载中
  • [1] 郝婷, 苏红伟, 王军维, 等. 新时代背景下我国"新农科"建设的若干思考[J]. 中国农业教育, 2018(3): 55-59, 94.

    Google Scholar

    [2] 李保云, 张海林, 张洪亮, 等. 农学专业创新型人才培养的实验实践教学体系的构建[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2020, 45(2): 128-131.

    Google Scholar

    [3] 中华人民共和国教育部. 新农科建设北京指南工作研讨会在北京召开[EB/OL]. (2019-12-05)[2020-03-04]. http://www.moe.gov.cn/s78/A08/moe_745/201912/t20191219_412635.html.

    Google Scholar

    [4] 刘竹青. "新农科": 历史演进、内涵与建设路径[J]. 中国农业教育, 2018(1): 15-21, 92. doi: 10.3969/j.issn.1009-1173.2018.01.003

    CrossRef Google Scholar

    [5] 董维春, 梁琛琛, 刘晓光. 从传统到现代的高等农业教育——兼论中国"新农科"教育[J]. 中国农史, 2018, 37(6): 33-45.

    Google Scholar

    [6] 甘田, 马翠萍. 统筹推进乡村振兴与全面脱贫——理论[EB/OL]. (2020-04-16)[2020-05-04]. http://theory.people.com.cn/BIG5/n1/2020/0416/c40531-31675408.html.

    Google Scholar

    [7] 应义斌, 梅亚明. 中国高等农业教育新农科建设的若干思考[J]. 浙江农林大学学报, 2019, 36(1): 1-6.

    Google Scholar

    [8] 吕杰. 新农科建设背景下地方农业高校教育改革探索[J]. 高等农业教育, 2019(2): 3-8.

    Google Scholar

    [9] 人民网. 50余所高校开启"北大仓行动" 新农科建设打好"基础桩" [EB/OL]. (2019-09-19)[2020-03-04]. http://edu.people.com.cn/n1/2019/0919/c367001-31362597.html.

    Google Scholar

    [10] 袁靖宇. 高校人才培养方案修订的若干问题[J]. 中国高教研究, 2019(2): 6-9.

    Google Scholar

    [11] 白逸仙, 柳长安, 艾欣, 等. 工程教育改革背景下传统工科专业的挑战与应对——基于十校"电气工程及其自动化"培养方案的实证调查[J]. 高等工程教育研究, 2018(3): 53-62.

    Google Scholar

    [12] 潘懋元, 王琪. 从高等教育分类看我国特色型大学发展[J]. 中国高等教育, 2010(5): 17-19.

    Google Scholar

    [13] 潘懋元. 新编高等教育学[M]. 2版. 北京: 北京师范大学出版社, 2009: 286.

    Google Scholar

    [14] 王从严. "新农科"教育的内在机理及融合性发展路径[J]. 国家教育行政学院学报, 2020(1): 30-37. doi: 10.3969/j.issn.1672-4038.2020.01.008

    CrossRef Google Scholar

    [15] 尹宁伟. 中国一流大学实践教学体系建构的新趋势——基于《"985工程"大学2010年度本科教学质量报告》的文本分析[J]. 中国大学教学, 2012(5): 82-88, 96.

    Google Scholar

    [16] 教育部. 教育部关于进一步深化本科教学改革全面提高教学质量的若干意见[J]. 中国大学教学, 2007(3): 9-11.

    Google Scholar

    [17] 董泽芳, 王晓辉. 普林斯顿大学本科人才培养模式的特点及启示[J]. 高教探索, 2014(2): 77-81.

    Google Scholar

  • 加载中
通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com
  • 1. 

    沈阳化工大学材料科学与工程学院 沈阳 110142

  1. 本站搜索
  2. 百度学术搜索
  3. 万方数据库搜索
  4. CNKI搜索
Export Citation
PDF
XML

Article Metrics

Article views(1247) PDF downloads(108) Cited by(0)

Access History

Other Articles By Authors

Finite Groups in Which Every Non-Nilpotent Self-Centralizing Subgroup Is a TI -Subgroup or A Subnormal Subgroup

    Corresponding author: LU Jiakuan ; 
  • Received Date: 28/10/2020
  • Available Online: 20/10/2021

Abstract: In this paper, we have obtained some properties of a finite group in which every non-nilpotent self-centralizing subgroup is a special subgroup. It has been proved that if every non-nilpotent self-centralizing subgroup of a finite group G is a TI-subgroup or a subnormal subgroup of G, then every non-nilpotent subgroup of G must be subnormal in G. We further prove that K is a non-nilpotent self-centralizing subgroup of a non-nilpotent group G, if K normal in G or exists a normal subgroup L of G such that K is a maximal subgroup of L and K is a Frobenius complement of L, then every non-nilpotent self-centralizing subgroup of G is a TI-subgroup.

    HTML

  • 利用某些特殊子群的性质来研究有限群的结构是近年来众多学者研究的重点课题之一，文献[1]利用子群的S-拟正规嵌入性给出了有限群为p-幂零群的一个充分条件，推广了已有的结论. 文献[2]刻画了Conway单群和Fischer单群. 文献[3]确定了共轭类个数取最小值的23p阶群的具体结构. 在这基础上，本文继续研究某些特殊子群的性质对有限群结构的影响.

    设G是有限群，H≤G，如果对任意g∈G有Hg∩H=H，1，则称H为G的TI-子群. 设H≤G，则H≤NG(H)≤G. 如果NG(H)=G，则H⊴G，且H是G的TI-子群. 如果H=NG(H)，且H是TI-子群，则G是Frobenius群，H是G的Frobenius补. 显然，Frobenius群的Frobenius补是TI-子群. 近年来，越来越多的学者研究在特定条件下某些子群是TI-子群的有限群的结构. 文献[4]研究了所有非交换子群是TI-子群的有限群的结构. 文献[5]研究了所有交换子群是TI-子群的有限群的结构. 文献[6]对所有非亚循环群皆为TI-子群的有限群进行了完全分类.

    设H≤G，如果CG(H)≤H，则称H为自中心化子群. 近几年来，众多学者研究了自中心化子群满足特定性质的有限群，并得到了一系列的结论. 文献[7-8]研究了所有非交换自中心化子群是TI-子群或次正规子群的有限群的结构，并得到：如果有限群G的所有非交换自中心化子群是TI-子群或次正规子群，则G的非交换子群皆次正规于G. 文献[9]研究了所有自中心化子群皆正规的有限群，得到：有限群G的所有自中心化子群皆正规当且仅当G是幂零类长不超过2的幂零群. 此外，文献[9]还得到：有限群G的所有自中心化子群皆次正规当且仅当G的每个子群皆次正规于G.

    本文主要研究非幂零自中心化子群对有限群结构的影响，并得到了一些有意义的结果. 本文考虑的群都是有限群，使用的符号和术语都是标准的(参见文献[10]).

    引理1[11]   设H≤G，则NG(H)是G的自中心化子群.

    引理2[9]   设G是群，H≤G，如果K是H的自中心化子群，则$\mathop K\limits^ \wedge $ =〈K，CG(K)〉是G的自中心化子群，且：

    (i) $\mathop K\limits^ \wedge $ ∩H=K；

    (ii) NG($\mathop K\limits^ \wedge $)∩H≤NH(K).

    引理3   设G的每个非幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群，K≤G，则K的每个非幂零自中心化子群是K的TI-子群或次正规子群.

    证   设L是K的非幂零自中心化子群，根据引理2知$\mathop L\limits^ \wedge $ =〈L，CG(L)〉是G的自中心化子群. 假设$\mathop L\limits^ \wedge $是幂零的，由L≤$\mathop L\limits^ \wedge $知L是幂零的，矛盾. 故$\mathop L\limits^ \wedge $是非幂零的，从而根据假设，$\mathop L\limits^ \wedge $是G的TI-子群或次正规子群.

    若$\mathop L\limits^ \wedge $◁◁G，则L⊴$\mathop L\limits^ \wedge $◁◁G，从而L◁◁G，因此L◁◁K.

    若$\mathop L\limits^ \wedge $是G的TI-子群，则对任意g∈G，有$\mathop L\limits^ \wedge $ ∩$\mathop {{K^g}}\limits^ \wedge $ =$\mathop L\limits^ \wedge $，1. 由K≤G知，对任意k∈K，有$\mathop L\limits^ \wedge $ ∩$\mathop {{K^k}}\limits^ \wedge $ =$\mathop L\limits^ \wedge $，1. 若$\mathop L\limits^ \wedge $ ∩$\mathop {{K^k}}\limits^ \wedge $ =1，则由引理2有

    从而L是K的TI-子群. 若$\mathop L\limits^ \wedge $ ∩$\mathop {{K^k}}\limits^ \wedge $ =$\mathop L\limits^ \wedge $，则

    从而L是K的TI-子群.

    引理4[12]   设G是群，则下述结论等价：

    (i) G是幂零群；

    (ii) 若H < G，则H < NG(H)；

    (iii) G的每个极大子群M⊴G(这时|G∶M|是素数)；

    (iv) G的每个Sylow p-子群都是正规的，因而G是它的诸Sylow子群的直积.

    引理5[13]   Frobenius群的所有Frobenius补共轭.

    引理6[13]   设G是Frobenius群，K是G的Frobenius核，H为G的Frobenius补，则：

    (i) K幂零；

    (ii) 若p>2，则H的Sylow p-子群循环；若p=2，则H的Sylow p-子群循环或为广义四元数群.

    引理7[14]   设G是群，H◁◁G且H的阶为合数，如果存在H到G的合成列

    使得对每个1≤i≤s，Gi是G的TI-子群，且Gi-1/Gi是素数阶循环群，则H⊴G.

    定理1   设群G的每个非幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群，则G的每个非幂零子群皆次正规于G.

    证   设K是G的一个非幂零子群，若K◁◁G，则结论成立. 假设K非次正规于G，选择K是G的极大非幂零且非次正规的子群.

    假设CG(K)⊈K，则K < $\mathop K\limits^ \wedge $ =〈K，CG(K)〉. 根据引理2，$\mathop K\limits^ \wedge $是自中心化的. 因为$\mathop K\limits^ \wedge $非幂零，所以由K < $\mathop K\limits^ \wedge $ =〈K，CG(K)〉≤G及K的极大性知$\mathop K\limits^ \wedge $◁◁G. 又因K◁$\mathop K\limits^ \wedge $，则K◁◁G，矛盾. 故CG(K)≤K，从而K是G的自中心化子群.

    假设K < NG(K)，由引理1知NG(K)是G的自中心化子群. 假设NG(K)是幂零群，由K < NG(K)知K幂零，矛盾. 因此NG(K)非幂零，从而由K的极大性知NG(K)◁◁G. 又由K◁NG(K)知K◁◁G，矛盾. 故K=NG(K)，从而K是G的非幂零自中心化子群. 又因K非次正规于G，由假设知K是G的TI-子群，故G是Frobenius群，且K是G的Frobenius补. 设N是G的Frobenius核，则G=N⋊K，即G是N和K的半直积.

    设K1是K的极大子群，假设K是素数阶群，则K循环，从而K交换，因此K幂零，矛盾. 故K不是素数阶群，从而K1≠1，且N⋊K1是G的非幂零极大子群. 若N⋊K1⋬ G，则N⋊K1非次正规于G，且N⋊K1是自中心化的，从而由假设知N⋊K1是G的TI-子群，因此N⋊K1也是G的Frobenius补，由引理5知，存在x∈G，使得K=(N⋊K1)x，则

    矛盾. 于是对K的每个极大子群K1有

    由引理4知K幂零，矛盾，即K非次正规于G不成立.

    定理2   设群G的每个非循环自中心化子群是TI-子群或次正规子群，则G的每个非循环子群皆次正规于G.

    证   因为任意非交换自中心化子群必是非循环自中心化子群，所以G的每个非交换自中心化子群是TI-子群或次正规子群. 根据文献[7]的定理1.1知G的每个非交换子群皆次正规于G.

    设H是G的非循环子群. 反证法，假设H非次正规于G，选择H是G的极大非循环且非次正规的子群.

    假设CG(H)⊈H，则H < $\mathop H\limits^ \wedge $ =〈H，CG(H)〉. 根据引理2知$\mathop H\limits^ \wedge $是自中心化的. 因为$\mathop H\limits^ \wedge $非循环，所以由H < $\mathop H\limits^ \wedge $ = 〈H，CG(H)〉≤G及H的极大性知$\mathop H\limits^ \wedge $◁◁G. 又因H◁$\mathop H\limits^ \wedge $，则H◁◁G，矛盾. 故CG(H)≤H，从而H是G的自中心化子群.

    因H≤G，NG(H)≤G，则H≤NG(H). 若H < NG(H)，由引理1知NG(H)自中心化，且NG(H)非循环，从而由H的极大性知NG(H)◁◁G. 又由H◁NG(H)知H◁◁G，矛盾. 故H=NG(H). 由H是G的TI-子群和H=NG(H)知，G为关于子群H的Frobenius群，H为G的Frobenius补. 因为G的每个非交换子群皆次正规于G，则H交换，从而H幂零，于是由引理4知，H为它的诸Sylow子群的直积. 又由引理6及H交换知，H的Sylow子群皆为循环群，从而由文献[12]第一章的习题3.1知H循环，矛盾. 因此G的每个非循环子群皆次正规于G.

    定理3   设G是非幂零群，如果G的每个非幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群，则G可解.

    证   假设结论不成立，设G为极小阶反例. 设K≤G，由引理3知K的每个非幂零自中心化子群是TI-子群或次正规子群，则由G的极小性知K是可解的. 假设G的每个极大子群幂零，则由文献[13]的定理9.19知G可解，矛盾. 故存在G的极大子群非幂零. 不妨设M为G的非幂零极大子群，假设M⊴G，则G/M只有平凡子群1和G/M，从而由文献[12第一章的习题1.19知G/M必为素数阶循环群，因此G/M可解. 又因M可解，于是G可解，矛盾. 故M⋬ G. 显然M非次正规于G. 由M的极大性及M⋬ G知M=NG(M)，则由引理1知M为G的非幂零自中心化子群，从而由假设知M是G的TI-子群，因此G是Frobenius群，M为G的Frobenius补. 不妨设N为G的Frobenius核，则由引理6知N幂零，从而N可解. 又因G/N≅M，则G/N可解，从而G可解，矛盾. 因此G可解.

    定理4   设G是非幂零群，如果G的所有非幂零自中心化子群是TI-子群，则G的每个非幂零自中心化子群皆正规于G.

    证   反证法，假设存在G的非幂零自中心化子群K，使得K⋬ G. 由K⋬ G知NG(K) < G. 考虑群列

    如果存在正整数r使得NG(Kr)=G，则Kr⊴G. 设G=Kr+1，因为

    则K◁◁G. 由Schreier加细定理知K在G的某个合成列中出现. 不妨设

    是从K到G的合成列. 因K是自中心化的且K≤Gt，0≤t≤s，则每个Gt皆是自中心化的. 由假设知Gt是G的TI-子群. 又因K非幂零且K⋬ G，则K≠1，且K的阶为合数. 由引理7及定理3知K⊴G，矛盾. 故NG(Kr) < G.

    假设不存在r使得Kr=NG(Kr)，则对∀r，Kr < NG(Kr) < G，从而

    因此

    又因NG(Kr)和Kr皆为G的TI-子群且Kr⋬ G，则

    显然Kr∩Krg < NG(Kr)∩NG(Kr)g不成立，矛盾. 故存在正整数r，使得Kr=NG(Kr). 由引理1知Kr是自中心化的，又由K非幂零知Kr非幂零，则由假设知Kr是TI-子群，从而G是Frobenius群，Kr是G的非幂零Frobenius补. 设N是G的Frobenius核，则G=N⋊Kr，即G是N和Kr的半直积.

    设L是Kr的极大子群，则N⋊L是G的非幂零极大子群. 若N⋊L⋬ G，则N⋊L非次正规于G，且N⋊L是自中心化的，从而由假设知N⋊L是G的TI-子群，这说明N⋊L⊴G，矛盾. 因此N⋊L⊴G. 由子群的模律有

    由引理4知Kr幂零，矛盾. 因此G的每个非幂零自中心化子群皆正规于G.

    定理5   设G是非幂零群，K是G的任一非幂零自中心化子群，如果K⊴G，或存在子群L正规于G，使得L是以极大子群K为Frobenius补的Frobenius群，则G的所有非幂零自中心化子群是TI-子群.

    证   设K是G的任一非幂零自中心化子群，则只需证K是G的TI-子群.

    若K⊴G，则Kg=K，显然K是G的TI-子群.

    若K⋬ G，则由假设知存在L⊴G，使得K是L的极大子群，且K是L的Frobenius补，即有Kx∩K=1(∀x∈L\K). 显然Kg是Lg的极大子群，而

    则Kg是Lg的Frobenius补. 又因L⊴G，则Lg=L(∀g∈G)，从而Kg是L的Frobenius补. 由引理5知，存在y∈L使得Ky=Kg. 又由K是L的Frobenius补知Kl∩K=1(∀l∈L\K)，则Ky∩K=K，1，从而Kg∩K=K，1(∀g∈G)，故K是G的TI-子群.

Reference (17)

Catalog

    Copyright Journal of Southwest China Normal University(Natural Science Edition)

    Address： Tel：023-68252540，68254576，68254478 E-mail：xbbjb@swu.edu.cn

    Supported by:Beijing Renhe Information Technology Co. Ltd

    /

    DownLoad:  Full-Size Img  PowerPoint
    Return
    Return