Two Types of Inverse Problems for a Special Matrix

文献[9]研究了图为路的矩阵和图为扫帚的矩阵, 其中图为路P_n的矩阵A_n是对角线为非零元素的三对角矩阵, 图为扫帚B_n+m的矩阵A_n+m是三对角矩阵和箭形矩阵的组合, 矩阵A_n和A_n+m形式分别为

它们的图分别如图 1(a)、图 1(b)所示.

因此, 可推广出如图 2所示的矩阵A.

矩阵A的形式为

其中, a_i(i=2, …, m, m+2, …, m+n)互不相同, b_i(i=1, …, m+n-1)不为0, 且b_m>0, 当m=0或n=0时, 形如(1)式的矩阵A为箭形矩阵, A_{m, m+2}为Jacobi矩阵.

特殊矩阵A的两类逆问题为：

问题1  给出3个非零互异实数λ₁, λ₂, μ, 3个非零实向量x₁=(x₁, …, x_m)^T, x₂=(x_m, …, x_m+n)^T, y=(y₁, …, y_m+n)^T. 求具有形如(1)式的m+n阶矩阵A使得(λ₁, x₁), (λ₂, x₂), (μ, y)分别是A_{1, m}, A_{m, m+n}和A的特征对. 其中A_{1, m}, A_{m, m+n}是A的主子式, 分别有以下形式：

可知A_{1, m}, A_{m+1, m+n}均为箭形矩阵, A_{m, m+2}为Jacobi矩阵.

问题2  给定2m+2n-1个实数λ₁^(j)(j=1, …, m+n)和λ_j^(j)(j=2, …, m+n), 讨论在什么条件下可以构造出具有形如(1)式的m+n阶矩阵A, 使得λ₁^(j)和λ_j^(j)分别为A_j(j=1, …, m+n)的最小、最大特征值.

现作如下约定：

引理1  对给定的具有形如(1)式的矩阵A, 其特征多项式序列{P_j(λ)=det(λI_j-A_j)}_j=1^m+n满足下列递推关系：

其中, P₀(λ)=1, b₀=0.

引理2^[16]  若a_i(i=2, …, m)互不相同, A_j(j=1, 2, …, m)的特征值为λ₁^(j)≤λ₂^(j)≤…≤λ_j^(j), 则λ_i^(j)(i=1, 2, …, j)为互不相同的实数, 且λ₁^(j) < a₂ < λ₂^(j) < … < λ_j-1^(j) < a_j < λ_j^(j).

引理3^[16]  若a_i(i=2, 3, …, m)互不相同, 则相邻的两个特征多项式P_j-1(λ), P_j(λ)(j=1, 2, …, n)不能同时为0.

引理4^[16]  设A_j-1的特征值为λ₁^(j-1), λ₂^(j-1), …, λ_j-1^(j-1), A_j的特征值为λ₁^(j), λ₂^(j), …, λ_j^(j), 则λ₁^(j) < λ₁^(j-1) < λ₂^(j) < λ₂^(j-1) < … < λ_j-1^(j) < λ_j-1^(j-1) < λ_j^(j), 即A_j-1的特征值与A_j的特征值是严格隔离的.

引理5^[6]  对j=1, 2, …, m+n, 若λ₁^(j), λ_j^(j)分别为A_j的最小、最大特征值, 则：

(ⅰ) 若μ < λ₁^(j), 则(-1)^jP_j(μ)>0；

(ⅱ) 若μ>λ_j^(j), 则P_j(μ)>0.

定理1  问题1有唯一解的充分必要条件是：

(ⅰ) $\begin{cases}E_{i} \neq 0 & i=2, \cdots, m-1 \\ M_{i} \neq 0 & i=m+2, \cdots, m+n; \\ \omega \neq 0\end{cases}$

(ⅱ) $\left\{\begin{array}{l}\left(\lambda_{1}-\mu\right) \sum\limits_{i=1}^{m} x_{i} y_{i}+b_{m} x_{m} y_{m+1}=0 \\ \left(\lambda_{2}-\mu\right) \sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1} x_{i+1} y_{i+1}+b_{m-1} x_{m} y_{1}=0\end{array} \right.$;

(ⅲ) $b_{m}=\frac{\left[-\left(\lambda_{1}-\lambda_{2}\right) x_{m} y_{1}+\left(\mu-\lambda_{2}\right) x_{1} y_{m}\right] x_{m}}{\omega}>0$.

证  充分性  因为(λ₁, x₁), (λ₂, x₂), (μ, y)分别是A_{1, m}, A_{m, m+n}和A的特征对, 所以有

当i=2, …, m-1时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy得线性方程组

由条件(ⅰ)E_i≠0(i=2, …, m-1)知a_i, b_i-1有唯一解：

下证(5)式中a_i的两个表达式等价. 由b_i-1的表达式得

所以(5)式中a_i的两个表达式等价得证.

当i=m时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy, A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂解得

其中ω=x₁x_my_m+1-x₁x_m+1y_m+x_my_m+1y₁且ω≠0.

当i=1时, 由A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy解得

下证a₁的两个表达式等价. 利用条件(ⅱ)中(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i+b_mx_my_m+1=0得

即λ₁x₁y₁$\sum\limits_{i=1}^{m-1}$b_ix_i+1y₁=μy₁x₁-$\sum\limits_{i=1}^{m-1}$b_iy_i+1x₁, 两边同时除以x₁y₁, 得证a₁的两个表达式等价.

当i=m+2, …, m+n时, 由A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy解得

其中M_i≠0. 此处a_i的两个表达式等价证明同(5)式.

当i=m+1时, 由A_{m, m+n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy解得

下证a_m+1的两个表达式等价. 利用条件(ⅱ)中(λ₂-μ)$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$x_i+1y_i+1+b_m-1x_my₁=0得

则有

即λ₂x_m+1-b_mx_m-$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$b_ix_i+1=μy_m+1-b_my_m-$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$b_iy_i+1, 两边同时除以x_m+1y_m+1, a_m+1, 表达式等价得证.

由条件(ⅰ)和(ⅱ)可知, a_i, b_i-1是问题1的唯一解, 且给出解的表达式(5), (6), (7), (8), (9), 充分性得证.

必要性  若问题1有唯一解, 则线性方程组(4)有唯一解, 则可推出条件(ⅰ)成立. 又因矩阵A的顺序主子式A_{m, m+2}为Jacobi矩阵, 若问题1有解, 则条件(ⅲ)成立. 下证条件(ⅱ)成立.

若问题1有解, 则要满足A_{1, m}x₁=λ₁x₁, Ay=μy, 通过计算得(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i=-b_mx_my_m+1, 条件(ⅱ)中(λ₁-μ)$\sum\limits_{i=1}^{m}$x_iy_i+b_mx_my_m+1=0得证.

若问题1有解还需同时满足A_{m, n}x₂=λ₂x₂, Ay=μy, 同理可证条件(ⅱ)中(λ₂-μ)$\sum\limits_{i=m+1}^{m+n-1}$x_i+1y_i+1+b_m-1x_my₁=0.因此必要性得证.

定理2  给定2n+2m-1个实数λ₁^(j)(j=1, 2, …, m+n)和λ_j^(j)(j=2, …, m+n), 存在唯一的A, 使得λ₁^(j)和λ_j^(j)分别为A_j(j=1, …, m+n)的最小、最大特征值的充分必要条件为：

证  充分性  每个对角元素a_i也是A的1×1主子矩阵, 因此λ₁^(j)≤a_i≤λ_j^(j)(1≤i≤j), 所以λ₁^(j)和λ_j^(j)分别是A_j的最小、最大特征值, 则问题2有解等价于求解P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0, 存在解a_j, b_j-1², 且b_j-1²>0(j=1, 2, …, m+n). 下面用引理1的递推关系解决该问题.

当j=1时, P₁(λ₁⁽¹⁾)=0, 即λ₁⁽¹⁾-a₁=0, 则有a₁=λ₁⁽¹⁾.

当j=2时, 由P₂(λ₁⁽²⁾)=0, P₂(λ₂⁽²⁾)=0得

令D₂表示此方程组中a₂和b₁²的系数矩阵的行列式, 则D₂=P₁(λ₁⁽²⁾)-P₁(λ₂⁽²⁾), 因此得

当j=3, …, m时, 由P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0得a_j和b_j-1²的线性方程组为

D_j=P_j-1(λ₁^(j))$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_j^(j)-a_i)-P_j-1(λ_j^(j))$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(j)-a_i), 由引理5知(-1)^j-1P_j-1(λ₁^(j))>0, P_j-1(λ_j^(j))>0.

由引理2知$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_j^(j)-a_i)>0, (-1)^j-2$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(j)-a_i)>0, 故(-1)^j-1D_j>0, 则方程(11)存在唯一解a_j, b_j-1², 且

当j=m+1和j=m+2时, 由P_j(λ₁^(j))=0, P_j(λ_j^(j))=0得a_j和b_j-1²的线性方程组为

m_j=P_j-1(λ₁^(j))P_j-2(λ_j^(j))-P_j-1(λ_j^(j))P_j-2(λ₁^(j)), 由引理5得(-1)^j-1m_j>0, 则方程(13)存在唯一解a_j, b_j-1², 且

当j=3, …, n时, λ₁^m+j和λ_m+j^m+j分别为A_m+j的最小、最大特征值, 则P_m+j(λ₁^m+j)=0, P_m+j(λ_m+j^m+j)=0, 即

由柯西交错定理得

因此$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)≥0且(-1)^j-1$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)≥0, 则

由引理5得(-1)^m+j-1D_m+j≥0(j=3, …, n), 因此若使D_m+j=0, 则有(-1)^m+j-1D_m+j=0, 即

下面对(17)式进行讨论. 若P_m(λ₁^(m+j))=0, 因为λ₁^(m+j)≤λ₁^(m+j-1)≤…≤λ₁^(m), 且λ₁^(m)是P_m=0时的最小特征值, 所以λ₁^(m+j)=λ₁^(m+j-1)=…=λ₁^(m), 则P_m(λ₁^(m+j))=P_m-1(λ₁^(m+j))=0, 这与引理3矛盾, 所以P_m(λ₁^(m+j))≠0, 同理可证P_m(λ_m+j^(m+j))≠0.

若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0\end{array}\right.$, 则由b_n+j-1≠0和(15)式得$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)=0, $\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)=0, 即a_m+i=λ₁^(m+j), a_m+i=λ_m+j^(m+j)(i=2, 3, …, n). 而由(16)式得λ₁^(m+j)=λ₁^(m+j-1)=…=λ₁^(m+1), λ_m+1^(m+1)=λ_m+2^(m+2)=…=λ_m+j^(m+j), 因此有P_m+3(λ₁^(m+3))=0且P_m+2(λ₁^(m+2))=0, 则有P_m+3(λ₁^(m+j))=0且P_m+2(λ₁^(m+j))=0. 由引理1得P_m+3(λ₁^(m+j))=(λ₁^(m+j)-a_m+3)P_m+2(λ₁^(m+j))-b_m+2²P_m(λ₁^(m+j))(λ₁^(m+j)-a_m+2). 由P_m+3(λ₁^(m+j))=0且P_m+2(λ₁^(m+j))=0得λ₁^(m+j)=a_m+2. 同理可得λ_m+j^(m+j)=a_m+2. 而λ₁^(m+j)≤a_m+2≤λ_m+j^(m+j), 所以有λ₁^(m+j)=λ_m+j^(m+j). 由引理4可知λ₁^(m+j)=λ_m+j^(m+j)不成立, 因此$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0\end{array}\right.$不成立. 同理, $\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ₁^(m+j)-a_m+i)=0且$\prod\limits_{i=2}^{j-1}$(λ_m+j^(m+j)-a_m+i)=0也不成立.

若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$, 则(15)式的系统增广矩阵的秩为1, 因此该系统将有无穷多个解. 同理, 若$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$, 该系统也会有无穷多个解. 然而, 若加上附加条件λ₁^(m+j) < λ₁^(m+j-1)和λ_m+j-1^(m+j-1) < λ_m+j^(m+j)(j=3, …, n), 则有P_m+j-1(λ₁^(m+j))≠0和P_m+j-1(λ_m+j^(m+j))≠0, 与$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$不符, 因此$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{1}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}P_{m+j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}\right)=0 \\ \prod\limits_{i=2}^{j-1}\left(\lambda_{m+j}^{(m+j)}-a_{m+i}\right)=0\end{array}\right.$不成立.

综上所述, D_m+j≠0当且仅当λ₁^(m+j) < … < λ₁^(m+1) < a_m+i < λ_m+1^(m+1) < … < λ_m+j^(m+j), 即(-1)^m+j-1D_m+j>0, 则方程组(15)存在唯一解a_m+j, b_m+j-1²(j=3, …, n), 且

必要性  假定存在唯一的m+n阶矩阵A使得λ₁^(j), λ_j^(j)分别为A_j(j=1, 2, …, m+n)的最小、最大特征值, 由柯西交错定理和引理4得λ₁^(m+n) < λ₁^(m+n-1) < … < λ₁⁽²⁾ < λ₁⁽¹⁾<λ₂⁽²⁾ < … < λ_m+n-1^(m+n-1) < λ_m+n^(m+n). 必要性得证.

问题1的算法

1. 输入λ₁, λ₂, μ, x₁, x₂, y, 以及m, n；

2. 若λ₁, λ₂, μ, x₁, x₂, y满足条件(ⅰ)和(ⅱ), 则继续；否则算法结束；

3. 当i=2, …, m-1时, 由(5)式计算a_i, b_i-1；

4. 当i=m时, 由(6)式计算b_m-1, b_m, a_m；

5. 当i=1时, 由(7)式计算a₁；

6. 当i=m+2, …, m+n时, 由(8)式计算a_i, b_i-1；

7. 当i=m+1时, 由(9)式计算a_m+1；

8. 输出：矩阵A, a_i, b_i-1.

问题2的算法

1. 输入m, n, 将2m+2n-1个特征值按大小顺序排列；

2. 令a₁=λ₁⁽¹⁾, 当j=2时, 由(10)式计算a₂和b₁；

3. 当j=3, …, m时, 由(12)式计算a_j和b_j-1；

4. 当j=m+1, m+2时, 由(14)式计算a_j和b_j-1；

5. 当j=3, …, n时, 由(18)式计算a_m+j和b_m+j-1；

6. 输出：矩阵A, a_j, b_j-1.

例1  给定实数λ₁=-0.825 7, λ₂=-0.596 0, μ=-0.717 2, m=4, n=3, 给定实向量x₁=(-0.566 7, 0.096 1, -0.390 3, -0.719 3)^T, x₂=(-0.719 3, -2.598 9, -0.455 6, -0.267 6)^T, y=(0.410 9, -0.075 2, 0.308 0, -0.442 6, 0.122 5, 0.656 8, 0.297 2)^T.

根据问题1的算法, 通过MATLAB2017a编程计算a_i, b_i, 形成矩阵A为

易验证(λ₁, x₁)是A_{1, 4}的一个特征对, (λ₂, x₂)是A_{4, 7}的一个特征对, (μ, y)是A的一个特征对, A即为所求.

例2  给定m=4, n=4, 再给出15个实数2.75, 3.9, 4.39, -2.5, 6.1, -4.7, 7.8, -6.64, 10.53, -7.58, 11.8, -8.3, 13, -9.2, 15.7. 将其按以下顺序排列：λ₁⁽⁸⁾ < λ₁⁽⁷⁾ < λ₁⁽⁶⁾ < λ₁⁽⁵⁾ < λ₁⁽⁴⁾ < λ₁⁽³⁾ < λ₁⁽²⁾ < λ₁⁽¹⁾ < λ₂⁽²⁾ < λ₃⁽³⁾ < λ₄⁽⁴⁾ < λ₅⁽⁵⁾ < λ₆⁽⁶⁾ < λ₇⁽⁷⁾ < λ₈⁽⁸⁾, 即-9.2 < -8.3 < -7.58 < -6.64 < -4.7 < -2.5 < 2.75 < 3.9 < 4.39 < 6.1 < 7.8 < 10.53 < 11.8 < 13 < 15.7.

根据问题2的算法, 通过MATLAB2017a编程计算a_j, b_j-1和a_m+j, b_m+j-1, 形成矩阵A₄₊₄为

重新计算A₈的顺序主子阵A_j(j=1, 2, …, 8)的谱Λ(A_j), 得：

以上数据说明问题2的算法是有效的.