Translation Frames and Frame Spectral Sets on Locally Compact Abel Groups

本节介绍局部紧Abel群G上的可积函数空间L¹(G)，和平方可积函数空间L²(G)上Fourier变换及其基本性质等有关内容.

设集合Ω⊂G是具有正有限Haar测度的Borel集，L¹(Ω)是Ω上的可积函数空间所构成的Lebesgue空间，即

定义1^[13]设函数f∈L¹(G)，其Fourier变换定义为

Fourier变换具有如下性质：

(a) 映射$ f \mapsto \mathop f\limits^ \wedge $是从L¹(G)到L^∞(G)的有界线性算子，并且$ {\left\| {\mathop f\limits^ \wedge } \right\|_\infty }$≤‖f‖₁；

(b) 对∀f，g∈(L¹∩L²)(G)，有Plancherel等式

(c) 映射$ f \mapsto \mathop f\limits^ \wedge $是从L²(G)到L²($ \mathop G\limits^ \wedge $)上的一个酉算子.

集合Ω⊂$ \mathop G\limits^ \wedge $上的Paley-Wiener空间PW_Ω(G)定义为

可以看出，通过Fourier变换，Paley-Wiener空间PW_Ω(G)和Hilbert空间L²(Ω)是等距同构的.

对于λ∈G，ω∈$ \mathop G\limits^ \wedge $，φ∈L²(G)，定义在空间L²(G)上的平移算子和调制算子分别为

显然，这样定义的平移算子T_λ和调制算子M_ω是空间L²(G)上的等距算子，即

根据Fourier变换的定义，并且通过简单的计算，可得到下面的引理：

引理1^[14] 假设T_λ，M_ω分别是空间L²(G)上的平移算子和调制算子，那么有

定义2 设T_λ：L²(G) L²(G)是一个平移算子，如果存在两个正数m≤M，使得

那么称平移函数族{T_λφ}_λ∈Λ是空间PW_Ω(G)上的一个平移框架，其中M，m分别称为框架上界和下界. 如果m=M，那么这个框架称为Parseval框架.

对∀φ∈PW_Ω($ \mathop G\limits^ \wedge $)，令

下面的定理1是本文的主要结果，说明空间PW_Ω(G)上的平移框架{T_λφ}_λ∈Λ存在等价于(Ω，Λ)是一个框架谱对.

定理1 设存在0＜m≤M，使得对几乎处处的x∈E_φ，有m≤|$ \mathop \varphi \limits^ \wedge \left( x \right)$|≤M，则平移函数族{T_λφ}_λ∈Λ是空间PW_Ω($ \mathop G\limits^ \wedge $)上的一个平移框架当且仅当(Ω，Λ)是一个框架谱对，即指数函数系{e_λ}_λ∈Λ是空间L²(Ω)上的一个Fourier框架.

证 用1_Ω表示集合Ω的示性函数，即

对∀f∈PW_Ω(G)，取$ h = \mathop f\limits^ \wedge \overline {\mathop \varphi \limits^ \wedge } {1_{{E_\varphi }}}$，由于对几乎处处的x∈E_φ，有

所以

根据Plancherel等式，有

根据引理1有

充分性  如果指数函数系{e_λ}_λ∈Λ是空间L²(Ω)上的一个Fourier框架，其框架上界和下界分别是C₁，C₂，那么由(2)式，我们有

根据不等式(1) 和不等式(3)，得到

这蕴含着平移函数族{T_λφ}_λ∈Λ是空间PW_Ω(G)上的一个平移框架.

必要性  设平移函数族{T_λφ}_λ∈Λ是空间PW_Ω(G)上的一个平移框架，g∈L²(Ω)，令ψ=$ {1_{{E_\varphi }}}\;\frac{g}{{\overline {\mathop \varphi \limits^ \wedge } }}$，由于对几乎处处的x∈E_φ，有

则

从而ψ∈L²(Ω). 设函数Ψ是函数ψ的Fourier逆变换，即$ \mathop {\mathit{\Psi }}\limits^ \wedge $=ψ，则根据Plancherel等式，有

如果框架{T_λφ}_λ∈Λ的框架上界和下界分别是C₁，C₂，那么由(4)式，我们有

因为

且对几乎处处的x∈E_φ，有

则

由不等式(5) 和不等式(6)知，指数函数系{e_λ}_λ∈Λ是空间L²(Ω)上的一个Fourier框架.

推论1 设集合Ω⊂$ \mathop G\limits^ \wedge $是具有正有限Haar测度的Borel集，函数$ \mathop {\mathit{\varphi }}\limits^ \wedge $在Ω上处处不为0，则对于任意函数φ∈PW_Ω(G)，平移函数族{T_λφ}_λ∈Λ是空间PW_Ω(G)上的一个平移Parseval框架当且仅当指数函数系{e_λ}_λ∈Λ是空间L²(Ω)上的一个Parseval框架.