A Kind of CA-Groups of Order 2pqr

子群在群论的研究中起着重要的作用，例如文献[1-3]都通过研究特殊子群来得到群的性质和结构. 元素的中心化子亦为一类特殊的子群，若对群中元素的中心化子的个数进行限制，则可以确定群的结构. 文献[4]证明了：若群G与其商群G/Z(G)中元素的中心化子的个数均为6，则G/Z(G)≅A₄.文献[5]证明了：不存在群G与其商群G/Z(G)中元素的中心化子的个数均为8的情况. 文献[6]证明了：若奇阶群G中元素的中心化子的个数为9，则G/Z(G)≅C₇⋊C₄，C₇×C₇.

如果对任意x∈G\Z(G)，有C_G(x)交换，则称群G为CA-群. 文献[7]证明了：CA-群是单群或者可解群. 文献[8]证明了：偶数阶CA-群是Frobenius-群、交换群或者特殊射影线性群PSL(2，2^m)，其中m>2. 文献[9]构造出了偶数阶CA-单群. 此类研究对文献[10]中关于奇数阶群可解性的Feit-Thompson理论具有重大贡献.

由于CA-群在群的研究中起着重要的作用，因此给出CA-群的判定成为了一项有意义的工作. 文献[11]根据群的阶去判定CA-群，证明了：若|G∶Z(G)|=pqr，则群G是CA-群，其中p，q，r为素数. 本文将继续这方面的研究，我们得出了：若|G|=2pqr，则群G是CA-群，其中p，q，r是素数，且2 < p < q < r，$\frac{r-1}{2} < p$. 并由此推论出：若|G∶Z(G)|=2pqr，Z(G/Z(G))=1且p，q，r仍满足上述条件，则群G是CA-群.

引理1^[12]  若H≤Z(G)，则$H \unlhd G$. 又若G/H是循环群，则群G是交换群.

引理2^[13]  设H≤G，则N_G(H)/C_G(H)同构于Aut(H)的一个子群，记作N_G(H)/C_G(H)≲Aut(H).

引理3^[14]  有限循环群Z_n有φ(n)个自同构(这里φ是Euler函数).

引理4^[15]  设G是np阶群(p是素数)，若n < p，则G有p阶正规子群.

引理5  若群|H|=kl，其中k，l均为素数，且$\frac{k-1}{2} < l < k$，则H是二循环群直积.

证  设y，z∈H，且|y|=k，|z|=l. 由l < k以及引理4可得〈y〉⊴〈y，z〉. 下面考虑〈z〉在〈y〉上的作用. 令φ：z⟼τ，其中τ∈Aut(〈y〉). 由

可得o(τ)|l. 又由引理3知

则o(τ)|(k-l). 根据条件l < k，$\frac{k-1}{2} < l$，可得(l，k-1)=1，从而o(τ)=1，即τ=ε，故〈z〉在〈y〉上的作用平凡，则y^z=y，即[y，z]=1，从而〈y，z〉 =〈y〉×〈z〉.

定理1  设|G|=2pqr，其中p，q，r是素数，且2 < p < q < r，$\frac{r-1}{2} < p$，则群G是CA-群.

证  若不然，则存在x∈G\Z(G)，使得C_G(x)不交换. 由x∈G\Z(G)，可得Z(G)⊂〈x，Z(G)〉. 又由C_G(x)不交换，可得Z(C_G(x))⊂C_G(x)，从而得到一个子群链，即

当|Z(G)|>1时，由(1)式知C_G(x)/Z(C_G(x))的阶为一个素数，则它必为循环群. 又由引理1知C_G(x)交换，矛盾. 当|Z(G)|=1时，(1)式变为

令

接下来考虑x的阶. 当x的阶为合数时，由(2)式知C_G(x)/Z(C_G(x))的阶为一个素数，则它必为循环群. 又由引理1知C_G(x)交换，矛盾. 当x的阶为一个素数时，进一步考虑m，n的情况. 若m，n中至少有一个数为合数，由(2)式知C_G(x)/Z(C_G(x))的阶为一个素数，由上面的讨论可知C_G(x)交换，矛盾. 因此我们只需考虑m，n以及|x|均为素数的情况，其中m，n，|x|∈{2，p，q，r}.

下面对|x|的值进行具体讨论. 注意到，由于n为素数，故C_G(x)为G的极大子群. 从而N_G(〈x〉)只有两种情况，即N_G(〈x〉)=C_G(x)或N_G(〈x〉)=G.

情形1  |x|=2.

若N_G(〈x〉)=C_G(x)，则|G∶N_G(〈x〉)|=n，从而G中Syl₂(G)子群的个数为n. 由Sylow定理知n≠2，即n∈{p，q，r}. 因为|G∶C_G(x)|=n，故可设|C_G(x)|=2kl，其中l，k∈{p，q，r}，从而存在子群H，有C_G(x)=〈x〉H，其中|H|=kl. 又因为〈x〉 ≤Z(C_G(x))，则C_G(x)=〈x〉×H. 不妨设y，z分别为C_G(x)的k，l阶元. 由引理5可知H=〈y〉×〈z〉，则

从而C_G(x)交换，矛盾.

若N_G(〈x〉)=G，则〈x〉⊴G. 因为|x|=2，所以〈x〉={1，x}. 又因为〈x〉⊴G，故xg=gx，从而〈x〉 ≤Z(G)，与|Z(G)|=1矛盾.

情形2  |x|=p.

若N_G(〈x〉)=C_G(x)，则|G∶N_G(〈x〉)|=n，从而G中Syl_p(G)子群的个数为n. 由Sylow定理知n=q，r. 当n=q时，有p|(q-1)，由p < q < r，$\frac{r-1}{2} < p$，可得$\frac{q-1}{2} < p$，从而p=q-1，与p，q均为奇数矛盾. 当n=r时，有p|(r-1)，由$\frac{r-1}{2} < p < r$可得p=r-1，与p，r均为奇数矛盾.

若N_G(〈x〉)=G. 由|G∶C_G(x)|=n，得|N_G(〈x〉)∶C_G(x)|=n. 又由引理2及引理3可得n|(p-1)，则n=2，从而|C_G(x)∶〈x〉 |=qr. 因此存在子群H，有C_G(x)=〈x〉H，其中|H|=qr. 又因为〈x〉≤Z(C_G(x))，所以C_G(x)=〈x〉×H. 不妨设y，z分别为C_G(x)的q，r阶元. 由引理5可得H=〈y〉×〈z〉，从而

则C_G(x)交换，矛盾.

情形3  |x|=q.

若N_G(〈x〉)=C_G(x)，则|G∶N_G(〈x〉)|=n，从而G中Syl_q(G)子群的个数为n. 由Sylow定理知n=r，即q|(r-1). 又由$\frac{r-1}{2} < p < q < r$，可得q=r-1，与q，r均为奇数矛盾.

若N_G(〈x〉)=G，由|G∶C_G(x)|=n，有|N_G(〈x〉)∶C_G(x)|=n. 又由引理2及引理3可得n|(q-1)，从而n=2或n=p.

当n=p时，则p|(q-1). 由$\frac{r-1}{2} < p$，q < r，可得$\frac{q-1}{2} < p$，从而p=q-1，与p，q均为奇数矛盾.

当n=2时，有|C_G(x)∶〈x〉|=pr，则存在子群H，有C_G(x)=〈x〉H，其中|H|=pr. 又因为〈x〉 ≤Z(C_G(x))，所以C_G(x)=〈x〉×H. 不妨设y，z分别为C_G(x)的p，r阶元，由引理5知H=〈y〉×〈z〉，从而

则C_G(x)交换，矛盾.

情形4  |x|=r.

若N_G(〈x〉)=C_G(x)，则|G∶N_G(〈x〉)|=n，从而G中Syl_r(G)子群的个数为n. 由Sylow定理知n=1，即G中Syl_r(G)子群唯一，则〈x〉⊴G，则N_G(〈x〉)=G，从而

与|G∶C_G(x)|=n矛盾.

若N_G(〈x〉)=G，由|G∶C_G(x)|=n，有|N_G(〈x〉)∶C_G(x)|=n，n∈{2，p，q}. 又由引理2及引理3知n|(r-1).

当n=p时，由p|(r-1)，$\frac{r-1}{2} < p$，有p=r-1，与p，r均为奇数矛盾.

当n=q时，由q|(r-1)，$\frac{r-1}{2} < p < q$，有q=r-1，与q，r均为奇数矛盾.

当n=2时，有|C_G(x)∶〈x〉|=pq，则存在子群H，有C_G(x)=〈x〉H，其中|H|=pq. 又因为〈x〉 ≤Z(C_G(x))，所以C_G(x)=〈x〉×H. 不妨设y，z分别为G中的p，q阶元，由引理5可得H=〈y〉×〈z〉，则C_G(x)=〈x〉×〈y〉×〈z〉，从而C_G(x)交换，矛盾.

综上所述，G是CA-群.

由定理1可得到如下群例：

例1  因为$\frac{13-1}{2} < 7$，所以若|G|=2·7·11·13，则群G是CA-群.

注意到，若群A是有限交换群，且|A|=p₁p₂…p_s(i，j∈{1，2，…s}，对i≠j，有p_i≠p_i)，则群A是循环群. 由此，我们可以得到如下结论：

推论1  若|G|=2pqr，其中p，q，r是素数，且2 < p < q < r，$\frac{r-1}{2} < p$，则对任意x∈G\Z(G)，有C_G(x)是循环群.

应用推论1，我们可以得到如下结论：

推论2  设|G∶Z(G)|=2pqr，其中p，q，r是素数，且2 < p < q < r，$\frac{r-1}{2} < p$. 若Z(G/Z(G))=1，则群G是CA-群.

证  任取x∈G\Z(G). 记

因为Z(G/Z(G))=1，所以x∈G\Z(G). 由推论1知C_G(x)为循环群. 又因为

所以C_G(x)/Z(G)亦为循环群，从而由引理1知C_G(x)交换，则群G是CA-群.