On Calculations of Fuzzy Ranks in Closed Fuzzy Matroids

由于模糊拟阵研究的习惯，模糊数学的概念和符号主要采用文献[1]的记法. 设E={x₁，x₂，…，x_N}是一个有限非空集合，则E上的模糊集μ是一个映射：μ：E→[0, 1]. E上模糊子集的全体记为F(E). E上子集的全体记为P(E)(即E的幂集).

关于普通拟阵的概念和记号，主要参见文献[2].

定义1^[2]  设E是非空有限集，取I⊆P(E). 若I满足下列条件：

(a) ∅∈I；

(b) 若X∈I，Y⊆X，则Y∈I；

(c) 若X，Y∈I，|X| < |Y|，则有W∈I，使得X⊂W⊆X∪Y.

则称偶对(E，I)为E上的一个拟阵，记为M=(E，I). ∀X⊆E，如果X∈I，则称X为M的独立集，否则称为M的相关集.

定义M=(E，I)的秩函数^[2]为

文献[1]的定义1.2提出了模糊拟阵的概念. 我们涉及的模糊拟阵的概念和记号来源于文献[1, 3]. 模糊拟阵的一些最新结论可参见文献[4-12].

定义2^[1]  设E是一个非空有限集，l⊆F(E)是一个满足下列条件的非空模糊集族：

(a) (继承性)若μ∈l，ν∈F(E)，ν≤μ，则ν∈l；

(b) (交换性)若μ，ν∈l，|supp μ| < |supp ν|，则存在ω∈l，使得

(b₁) μ < ω≤μ∨ν，

(b₂) m(ω)≥min{m(μ)，m(ν)}(m(μ)表示模糊集μ的最小的非零模糊隶属度^[1]).

则称偶对M=(E，l)是E上的模糊拟阵，l称为M的独立模糊集族. ∀μ∈F(E)，若μ∈l，则称μ为M的模糊独立集.

根据文献[1]的(7)式，定义M=(E，l)的模糊秩函数^[1]为

由文献[1]的观察2.2，一个模糊拟阵可以被分解为一组普通拟阵和一组数. 为了使用方便，我们将其改述为如下定理：

定理1^[1](模糊拟阵分解定理)  设Μ=(E，l)是模糊拟阵，∀r∈(0，1]，令I_r={C_r(μ)：∀μ∈l}，则M_r=(E，I_r)是E上的拟阵. 而且有有限实数列r₀ < r₁ < … < r_n，使得：

(ⅰ) r₀=0，r_n≤1；

(ⅱ) 当0 < r≤r_n时，I_r≠∅；当r>r_n时，I_r=∅；

(ⅲ) ∀s，t∈(r_i，r_i+1)，I_s=I_t(i=0，…，n-1)；

(ⅳ) 若r_i < s < r_i+1 < t < r_i+2，则I_s⊃I_t(i=0，…，n-2).

我们称序列0=r₀ < r₁ < … < r_n≤1为M的基本序列. 对1≤i≤n，令$\bar{r}_{i}=\frac{1}{2}\left(r_{i-1}+r_{i}\right)$，称拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)为M的导出拟阵序列. 若M_ri=M_ri(i=1，2，…，n)，则称M是闭模糊拟阵.

我们一般称拟阵M_r是模糊拟阵M的r-导出拟阵，简称导出拟阵.

由定理1易知，∀μ∈l，M(μ)≤r_n. M(μ)表示μ的最大模糊隶属度^[1].

根据文献[1]的定理2.4，μ∈F(E)，μ∈l当且当∀r∈(0，1]，C_r(μ)∈I_r.

命题1  如果M=(E，l)是闭模糊拟阵，其基本序列是0=r₀ < r₁ < … < r_n≤1，导出拟阵序列为M_r1=(E，I_r1)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn). 取μ∈F(E)，若R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_s}，则μ∈l当且当∀λ_i∈R⁺(μ)，C_λi(μ)∈I_λi.

命题1的必要性是显然的. 由定理1易得充分性.

与定理1相对应地，文献[10]的定理2.8部分地(即只对闭模糊拟阵)解决了逆问题，即从一个数列和一个拟阵列可以得到唯一一个闭模糊拟阵.

定理2  设μ∈F(E)，R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤1)，则

根据模糊集合的分解定理即可证明定理2. 同时推广定理2，可得到如下更广泛的结论：

定理3  设有子集套^[11]E⊇A₁⊇A₂⊇…⊇A_p，数列0 < λ₁ < … < λ_p≤1. 构造模糊集合

则

证  显然，C_λi(μ)=A_i. 如果A₁⊃A₂⊃…⊃A_p，则利用定理2，结论成立.

如果这些包含关系出现等式，则在每个等式段中，保留下标最大者(也即该等式段的最后一项)，得到A_i1⊃A_i2⊃…⊃A_iq. 必有i_q=p，也即A_iq=A_p. 由下标对应，得到λ_i1 < λ_i2 < … < λ_iq=λ_p. 此时，显然有

同时，根据定理2，有

不妨设A_ij所在等式段有κ_j(≥1)个A_ij，即有连续下标的κ_j个相同集合(A_ij-κj=…=A_ij-1=A_ij).

由(3)式的构造易证：λ_i∉{λ_i1，λ_i2，…，λ_iq}的充要条件是A_i=A_i+1.

再证明：λ_ij+1≠λ_ij+1(即下标不连续)的充要条件是对应的集合A_ij+1所在等式段中至少有两个及其以上相同集合(即κ_j+1>1).

必要性  此时，i_j+1≠i_j+1，但应该有i_j+1=i_j+(κ_j+1-1). 所以κ_j+1=i_j+1-i_j+1. 从i_j+1-i_j≥1知κ_j+1≥2.

充分性  从κ_j+1≥2知，连续下标的A_ij⊃…⊇A_ij+1-1=A_ij+1⊃…⊇A_ij+2必定出现在已知的子集套中，对应地会有λ_ij，λ_ij+1，λ_ij+2出现在(3)式中. 而按照保留等式段中最后一项的原则，λ_ij+1-1不会出现在(3)式中. 因此λ_ij+1≤λ_ij+1-1 < λ_ij+1. 所以λ_ij+1≠λ_ij+1(注意此处有i_j+1≥i₁+1>1).

在(4)式中，补充全部没有出现的λ_i所对应的项[|A_i|-|A_i+1|]·λ_i. 由于A_i=A_i+1，因此[|A_i|-|A_i+1|]·λ_i=0.

补充方式为：从κ₁开始，检查是否κ₁=1？如果是，则不作补充；如果不是(即κ₁>1)，则已有的项为[|A_i1|-|A_i2|]·λ_i1. 需在此项前补充连续的κ₁-1项，变为

再检查κ₂，是否κ₂=1？如果是，则不作补充；如果不是(即κ₂>1)，则已有的项为[|A_i2|-|A_i3|]·λ_i2. 需在此项前补充连续的κ₂-1项，变为

依次下去，最后检查κ_q，是否κ_q=1？如果是，则不作补充；如果不是(即κ_q>1)，则已有的项为|A_iq|·λ_iq. 需在此项前补充连续的κ_q-1项，变为

由于补充的项全为0，所以

当然(5)式具有p项.

再将(5)式中的部分项的下标改变，使之下标连续. 根据前面的证明，只要有补充项λ_i(i≥2)，(5)式中就一定有下标不连续的情况发生.

改变方法：除A_iq(=A_p)外，检查每个A_ij(j=1，2，…，q-1)(对应地就是λ_ij). 如果λ_ij+1≠λ_ij+1，则将对应项[|A_ij|-|A_ij+1|]·λ_ij改为[|A_ij|-|A_ij+1|]·λ_ij. 由于A_ij+1是A_ij+1所在的等式段中的最后一项(即下标最大者)，因此，虽λ_ij+1≠λ_ij+1，但A_ij+1=A_ij+1. 这样改变下标后，有

下面的定理可以看作是模糊集合的分解定理的一种推广：

定理4  如果μ∈F(E)，R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_p}并形成数列0 < λ₁ < … < λ_p≤1，取另一数列0 < δ₁ < δ₂ < … < δ_q≤1. 将这两个数列合并统一编号，相同的数只保留一个，得到0 < α₁ < α₂ < … < α_s≤1(这个数列相对前面两个数列来说更细密，因此，常称为前面两个数列的加细数列). 显然，s≥max{p，q}. 则有

根据模糊集合相等的充要条件是各水平割集相等即可证明.

利用模糊集合的性质，可以得到一个模糊集合的包含与普通集合的包含之间的关系：

定理5  如果μ，ν∈F(E)，R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_p}(0 < λ₁ < … < λ_p≤1)，R⁺(ν)={δ₁，δ₂，…，δ_q}(0 < δ₁ < δ₂ < … < δ_q≤1). 则μ≤ν的充要条件是∀λ_i∈{λ₁，λ₂，…，λ_p}，C_λi(μ)⊆C_λi(v).

利用定理2、定理3和定理4，可以得到如下定理：

定理6  任取μ，ν∈F(E)，如果R⁺(μ)={α₁，α₂，…，α_s}(0 < α₁ < α₂ < … < α_s≤1)，而且∀α_i∈{α₁，α₂，…，α_s}，|C_αi(μ)|≤|C_αi(ν)|，则|μ|≤|ν|.

定理6通过普通集合的势的比较来讨论模糊集合的模糊势的比较.

文献[1, 3]有许多关于模糊秩函数的性质. 本段从另外的角度(即导出秩函数的角度)来讨论闭模糊拟阵模糊秩函数的一些性质.

定义3  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，模糊秩函数为ρ：F(E)[0，+∞)，其基本序列为0=r₀ < r₁ < r₂ < … < r_n≤1，导出拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃M_r2=(E，I_r2)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)，其对应的秩函数为R_r1，R_r2，…，R_rn. 我们称R_r1，R_r2，…，R_rn为模糊拟阵M的导出秩函数. 一般地，∀r∈(0，1]，令R_r表示r-导出拟阵M_r=(E，I_r)的秩函数，也称为M的导出秩函数.

首先讨论模糊拟阵的导出秩函数的两个性质，以方便后面的讨论.

定理7  设M=(E，l)是定义3所设的闭模糊拟阵，任取μ∈F(E)，设R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤1)，∀r∈(0，1]，则有：

(ⅰ) R_r(C_r(μ))>0的充要条件是存在X⊆C_r(μ)，X≠∅，使得X∈I_r；

(ⅱ) 若λ_t < 1，则∀r∈(λ_t，1]，R_r(C_r(μ))=0.

证  M_r=(E，I_r)和R_r的定义如同定义3中所示.

(ⅰ) R_r(C_r(μ))>0当且当max{|A|：A⊆C_r(μ)，A∈I_r}>0当且当存在A⊆C_r(μ)，|A|>0(即A≠∅)，使得A∈I_r.

(ⅱ) 若λ_t < 1，则∀r∈(λ_t，1]，C_r(μ)=∅. 所以R_r(C_r(μ))=0.

文献[12]讨论了独立模糊壳，所有模糊独立集都被限制在这个独立模糊壳内. 因此，自然地想到，可以将任何模糊集的模糊秩的计算限制在某些特殊模糊集合内.

定义4  ∀μ∈F(E)，取r∈[0, 1]，定义μ的r-下截短模糊集(简称为下截短)为

特别地，注意到：总有μ₀=0或μ₀=∅(即模糊空集).

定理8  设M是如定义3所设的闭模糊拟阵，ρ为其模糊秩函数. 取μ∈F(E)，则ρ(μ)=ρ(μ_rn). 即μ的模糊秩等于μ的r_n-下截短的模糊秩.

用文献[3]的定理1.10和模糊集的性质，可得定理8的证明.

定理9(模糊拟阵模糊秩的简化计算定理)  设M是如定义3所设的闭模糊拟阵，ρ为其模糊秩函数. 取μ∈F(E)，R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < … < λ_t≤r_n)，ρ(μ)>0，则存在ε_μ∈R⁺(μ)∪{r₁，r₂，…，r_n}，使得：

(ⅰ) ∀r∈(0，ε_μ]，R_r(C_r(μ))>0；而∀r∈(ε_μ，1]，R_r(C_r(μ))=0；

(ⅱ) ρ(μ)=ρ(μ_εμ).

如果ρ(μ)=0，则定义ε_μ=0. 此时，ε_μ∈R⁺(μ)∪{r₀，r₁，…，r_n}.

我们称数ε_μ为模糊集μ在模糊拟阵M下的非空导出独立集界.

利用定理7和文献[3]的定理1.10可以证明定理9.

同时，定理9的证明过程给出了ε_μ的计算方法：

由于|R⁺(μ)∪{r₁，r₂，…，r_n}|有限，因此，ε_μ必定存在.

接下来讨论一个更深入的结论，这个结论比较精准地解决了在计算模糊秩中的模糊隶属度限制问题.

定理10(最大模糊独立子集的隶属度定理)  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，其基本序列为0=r₀ < r₁ < r₂ < … < r_n≤1，导出拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)，ρ为其模糊秩函数. 任取μ∈F(E)，R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < … < λ_t≤1). 则有ν∈l，使得：

(ⅰ) ρ(μ)=|ν|；

(ⅱ) R⁺(ν)⊆R⁺(μ)∪{r₀，r₁，…，r_n}.

证  因为M是闭模糊拟阵，由文献[3]的定理1.10(ⅱ)，存在ν∈l，使得ρ(μ)=|ν|且ν≤μ. 不妨设R⁺(ν)={δ₁，δ₂，…，δ_p}(0 < δ₁ < δ₂ < … < δ_p≤1). 则

根据文献[11]的定理2.1，C_δ1(ν)⊃C_δ2(ν)⊃…⊃C_δp(ν)⊃∅是独立集子集套，C_δi(ν)∈I_δi(i=1，2，…，p). 利用定理9、命题1、定理5和(6)式即可证明

定理10的作用在于，任何模糊集合的最大(指势)模糊独立集的隶属度可以被限制在R⁺(μ)∪{r₀，r₁，…，r_n}内.

下面进一步讨论怎么使用导出秩函数来表示模糊秩函数. 然后，利用这种表示来找出计算模糊集合模糊秩的算法.

定义5  设M=(E，I)是拟阵. ∀r∈(0，1]，以0=r₀ < r₁=r≤1为基本序列，M为导出拟阵列，由文献[10]的定理2.8得到一个闭模糊拟阵M^r=(E，l^r).

当r < 1时，l^r={μ∈F(E)：∀λ∈(0，r]，C_λ(μ)∈I；∀λ∈(r，1]，C_λ(μ)=∅}；

当r=1时，l^r={μ∈F(E)：∀λ∈(0，1]，C_λ(μ)∈I}.

则称闭模糊拟阵M^r为由拟阵M产生的r-初等模糊拟阵. 此时，M^r的基本序列为0=r₀ < r≤1，导出拟阵列为M=(E，I).

定理11  设M=(E，I)是拟阵，R为其秩函数. 取r∈(0，1]，设M^r为由拟阵M产生的r-初等模糊拟阵，其模糊秩函数为ρ^r. 则有：

(ⅰ) l^r={μ∈F(E)：存在A∈I，使得μ≤ω(A，r)}；

(ⅱ) 若M的基集^[2]为{B₁，B₂，…，B_s}，则l^r={μ∈F(E)：存在B_i∈{B₁，B₂，…，B_s}，使得μ≤ω(B_i，r)}；

(ⅲ) ∀A∈P(E)，R(A)=$\frac{o^{r}(\omega(A, r))}{r}$；

(ⅳ) ∀μ∈F(E)，若R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤r且R(C_λt(μ))>0)，则有

证  根据定理1知，∀μ∈l^r，都必有M(μ)≤r.

(ⅰ) 令l′={μ∈F(E)：存在A∈I，使得μ≤ω(A，r)}. 由M(μ)≤r和定义2(a)即可证明l′=l^r.

(ⅱ) 令l′={μ∈F(E)：存在B_i∈{B₁，B₂，…，B_s}，使得μ≤ω(B_i，r)}. 根据(1)式和增广定理^[2]，也可证明l^r=l′.

(ⅲ) 由文献[3]的定理1.10和(1)式可证R(A)=|X|=$\frac{r \cdot|X|}{r}=\rho^{r}(\omega(A, r))$.

(ⅳ) 由增广定理，对∀A⊆E，在拟阵M中的最大独立子集可能不唯一，但其所含元素个数唯一，都为R(A). 由定理1，∀β∈(0，1]，用M_β^r=(E，I_β^r)表示M^r的β-导出拟阵. 这些导出拟阵全部为M. 它们的秩函数都是R.

1) 计算ρ^r(μ).

由M^r是闭模糊拟阵以及文献[3]的定理1.10、文献[11]的定理2.1和定理2，可得出

2) 构造μ的一个模糊独立子集ν′. 由R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤r)，有

由R(C_λt(μ))>0知，C_λt(μ)包含M的非空独立集. 找出C_λt(μ)在M中的一个最大独立子集A_t. 再将A_t增广为C_λt-1(μ)在M中的一个最大独立子集A_t-1. 由C_λt-1(μ)⊃C_λt(μ)和增广定理^[2]知，|A_t-1|=R(C_λt-1(μ))；…；将A₂增广为C_λ1(μ)在M中的最大独立子集A₁，会有|A₁|=R(C_λ1(μ)). 得到子集套^[11]A₁⊇A₂⊇…⊇A_t.

注意到0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤r. 构造模糊集合

由A_i⊆C_λi(μ)和定理5知ν′≤μ. ∀α∈(0，1]，当α>λ_t时，C_α(ν′)=∅∈I. 当α∈(0，λ_t]时，存在λ_i，使得α∈(λ_i-1，λ_i](λ₀=0). C_α(ν′)=A_i∈I. 所以由(4)式知ν′∈l^r.

显然，由ρ^r(ν′)=|ν′|≤ρ^r(μ)=ρ^r(ν)=|ν|知，|ν′|≤|ν|.

3) 利用定理6，可以证明|ν′|=|ν|.

4) 利用定理3，根据前面的1)和3)，有

故(8)式成立.

下面，我们将定理11(ⅳ)推广到一般闭模糊拟阵.

定理12(模糊拟阵模糊秩函数的导出拟阵秩函数的表示定理)  设M=(E，l)是闭模糊拟阵，ρ为其模糊秩函数，其基本序列为0=r₀ < r₁ < r₂ < … < r_n≤1，导出拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)，R_r(r∈(0，1])为导出拟阵M_r的秩函数. ∀μ∈F(E)，设R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤1)，R_λt(C_λt(μ))>0，则存在r_i>0，使得λ_t∈(r_i-1，r_i]. 将r₀ < r₁ < … < r_i-1和λ₁ < … < λ_t合并得加细数列0=δ₀ < δ₁ < δ₂ < … < δ_p=λ_t. 那么

证  首先证明：当R_λt(C_λt(μ))>0时，必存在r_i∈{r₁，r₂，…，r_n}，使得λ_t∈(r_i-1，r_i]. 这是因为R_λt(C_λt(μ))>0，由定理7(ⅰ)，有X⊆C_λt(μ))，X≠∅，使得X∈I_λt. 因此，I_λt≠{∅}. 所以λ_t≤r_n. 则存在r_i∈{r₁，r₂，…，r_n}，使得λ_t∈(r_i-1，r_i].

根据定理4，有

步骤1  计算ρ(μ).

根据M是闭模糊拟阵和文献[3]的定理1.10(ⅱ)，存在ν∈l，使得ρ(μ)=|ν|且ν≤μ. 不妨设R⁺(ν)={α₁，α₂，…，α_s}(0 < α₁ < α₂ < … < α_s≤λ_t). 则

根据文献[11]的定理2.1，C_δ1(ν)⊃C_δ2(ν)⊃…⊃C_δp(ν)⊃∅是独立集子集套，C_δi(ν)∈I_δi(i=1，2，…，p).

步骤2  构造μ的独立模糊子集ν′.

由R_λt(C_λt(μ))>0，可找到C_δp(μ)在M_δp中的非空最大独立子集A_p，满足

由C_δp(μ)⊆C_δp-1(μ)知，可将A_p增广为C_δp-1(μ)在M_δp-1中的最大独立子集A_p-1，满足

…

由C_δ2(μ)⊆C_δ1(μ)知，可将A₂增广为C_δ1(μ)在M_δ1中的最大独立子集A₁，满足

构造模糊集合

由C_δi(ν′)=A_i⊆C_δi(μ)知，ν′≤μ. 任取δ_i，都有C_δi(ν′)=A_i∈I_δi，因此由命题1知ν′∈l.

步骤3  计算ρ(ν′).

显然ρ(ν′)=|ν′|. 根据定理3，有

由从ν′≤μ知，|ν′|=ρ(ν^′)≤ρ(μ)=|ν|.

步骤4  证明|ν′|=|ν|.

由定理10，R⁺(ν)⊆R⁺(μ)∪{r₀，r₁，…，r_n}. 由ν≤μ和(10)式，得出R⁺(ν)⊆{δ₁，δ₂，…，δ_p}.

任取α_i，都有某δ_j，使得α_i=δ_j. 由ν∈l知，C_αi(ν)=C_δj(ν)∈I_αi=I_δj. 由ν≤μ知，C_αi(ν)⊆C_αi(μ)=C_δj(μ). 说明C_αi(ν)是C_δj(μ)在M_δj中的独立子集. 而A_j=C_δj(ν^′)是C_δj(μ)在M_δj中的最大独立子集，即|C_αi(ν)|≤|A_j|=|C_δj(ν^′)|=|C_αi(ν^′)|. 再利用定理6知|ν|≤|ν′|. 故|ν′|=|ν|. 由(11)式即知(9)式成立.

算法1  计算模糊集合模糊秩的算法.

目的：通过导出拟阵秩函数计算模糊集合的模糊秩.

条件：设M=(E，l)是闭模糊拟阵，ρ为其模糊秩函数，其基本序列为0=r₀ < r₁ < r₂ < … < r_n≤1，导出拟阵序列M_r1=(E，I_r1)⊃…⊃M_rn=(E，I_rn)，R_i(i=1，2，…，n)为导出拟阵M_ri的秩函数. 取μ∈F(E)，设R⁺(μ)={λ₁，λ₂，…，λ_t}(0 < λ₁ < λ₂ < … < λ_t≤1).

第一步：对数列进行规范处理.

将数列{r₁，r₂，…，r_n}和{λ₁，λ₂，…，λ_t}合并，得到加细数列，然后去掉大于min{r_n，λ_t}的部分，最终得数列0 < δ₁ < δ₂ < … < δ_p≤min{r_n，λ_t}，令X={δ₁，δ₂，…，δ_p}. 将此数列放入区间：(r₀，r₁]，(r₁，r₂]，…，(r_n-1，r_n]. 得出：{δ₁，δ₂，…，δ_k1}=X₁进入区间(r_i1-1，r_i1]；{δ_k1+1，δ_k1+2，…，δ_k1+k2}=X₂进入区间(r_i2-1，r_i2]；…；{δ_{k1+k2+…+kh-1}+1，δ_{k1+k2+…+kh-1}+2，…，δ_k1+k2+…+kh}=X_h进入区间(r_ih-1，r_ih]. 易知k₁+k₂+…+k_h=p.

第二步：计算μ的非空导出独立集界ε_μ.

1) 从下标最大者开始，取δ_j∈X_h，计算R_ih(C_δj(μ)). 如果X_h中的全部元都满足R_ih(C_δj(μ))=0，则令k=h，转入2). 如果有R_ih(C_δj(μ))>0，则取这些δ_j中下标最大者为ε_μ，转入第三步.

2) 令k=k-1，如果k=0，则ε_μ=0，转入第三步. 如果k>0，则从下标最大者开始，取δ_j∈X_k，计算R_ih(C_δj(μ)). 如果X_k中的全部元都满足R_ih(C_δj(μ))=0，则从头继续2). 如果有R_ih(C_δj(μ))>0，则取这些δ_j中下标最大者为ε_μ，转入第三步.

第三步：计算ρ(μ).

如果ε_μ=0，则ρ(μ)=0. 算法终止.

如果ε_μ>0，则有ε_μ=δ_q∈X(由定理9，∀r∈(0，ε_μ]，R_r(C_r(μ))>0；而∀r∈(ε_μ，1]，R_r(C_r(μ))=0).

假设δ_l∈X_jl(l=1，2，…，q；j_l=1，2，…，n)，则有

算法终止.

利用定理9和定理12即可证明算法1的有效性.

可以预见定理12可以用来研究闭模糊拟阵更深入的性质.