Multiplicity of Solutions for Klein-Gordon-Maxwell Systems with General Superlinear Nonlinearity

研究如下Klein-Gordon-Maxwell系统：

其中ω>0是一个常数，f∈C($\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $，$\mathbb{R} $)和V∈C($\mathbb{R} $³，$\mathbb{R} $)是变号的. 系统(1)起源于数学物理领域中的某些应用问题. 为了描述三维空间中非线性Klein-Gordon场与静电场之间相互作用所产生的孤立波问题，文献[1]首次提出了Klein-Gordon-Maxwell系统模型

其中0 < ω < m₀，4 < q < 6，m₀和e分别表示粒子的质量和电量，而ω表示相位.系统的未知因素是联系粒子的场u和电磁位势ϕ. 有关系统(2)物理方面的详述可参见文献[1-2]. 作为系统(2)的一般情形，系统(1)近年来受到了众多学者的关注. 当非线性项f满足(AR)条件时，文献[3]首次研究了系统(1)无穷多解的存在性. 文献[4-7]在非线性项f满足超三次增长性条件但不满足(AR)条件时，获得了与文献[3]相同的结果. 文献[8-11]通过弱化非线性项f所满足的条件，改进了上述所提文献的结论. 在位势是消失位势的情形下，文献[12-14]讨论了系统(1)解的存在性和多重性问题. 当位势V=1时，文献[15-16]讨论了系统(1)解的存在性和多重性问题. 在位势是井位势的情形下，文献[17-19]分别讨论了系统(1)基态解的存在性和解的多重性问题. 尤其需要指出的是：文献[20]在位势函数V和非线性项f允许变号的情形下研究了系统(1)解的多解性，得到了如下结果：

定理A^[20]   设V，f=f满足如下假设条件：

(V) V∈C($\mathbb{R} $³，$\mathbb{R} $)，$\mathop {\rm inf}\limits_{x \in {\mathbb{R}^3}} V(x) $>-∞，且存在r>0，使得对∀M>0，有

(F₁) 存在常数c₁>0，2 < p < 2^* = 6，使得$\left| {\bar f(x, t)} \right| \le {c_1}(\left| t \right| + {\left| t \right|^{p - 1}}) $)，∀(x，t)∈$\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $；

(F₂) $\mathop {\lim }\limits_{\left| t \right| \to \infty } \frac{{\bar F(x, t)}}{{{{\left| t \right|}^2}}} = + \infty $关于x∈$\mathbb{R} $³一致成立，且存在R>0，使得当|t|≥R时，对∀x∈$\mathbb{R} $³，F(x，t)≥0，其中F(x，t)= $\int_0^t {\bar f(x,s){\rm {d}}s} $；

(F₃) f(x，-t)=-f(x，t)，∀(x，t)∈$\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $；

(F₄^′) 存在θ>0，μ>2，使得f(x，t)t-μF(x，t)≥-θ|t|²，∀(x，t)∈$\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $. 则系统(1)存在一列高能量解.

本文考虑的问题是：在条件(F₄^′)中，若μ=2，系统(1)是否仍存在一列高能量解? 受文献[9, 20]的启发，本文主要考虑了当μ=2且具有凹项扰动项时系统(1)解的多重性，所得结论推广和完善了已有文献的相关结果. 相关概念和符号可参见文献[21-23]. 本文主要结果如下：

定理1  假设V满足条件(V)，F(x，t)=F(x，t)+λα(x)|t|^s，f(F₁)-(F₃)及如下条件：

(F₄) 存在常数r₀>0，c₂≥0，使得当|t|≥r₀时，对∀x∈$\mathbb{R} $³，

(F₅) $\alpha (x) \in {L^{\frac{2}{{2 - s}}}} $($\mathbb{R} $³)，1<s < 2，α(x)≥ 0，∀x∈$\mathbb{R} $³.

则对∀λ∈$\mathbb{R} $，系统(1)有一列高能量解.

定理2  假设V满足条件(V)，F(x，t)=F(x，t)+λα(x)|t|^s，f满足条件(F₁)-(F₅)，则对∀λ∈$\mathbb{R} $₊，系统(1)有一列负能量解.

注1  确实存在函数满足条件(F₁)-(F₄)但不满足定理A中的(AR)条件((F₄^′)(见文献[9]的注1.4).

注2  定理1从两个方面改进了定理A：定理1通过弱化定理A的条件(见注1)获得了与定理A相同的结果；在非线性项是凹凸非线性项的组合项条件下给出了系统(1)有一列负能量解的多重性结果.

注3  与文献[9]的结论相比，本文去掉了非线性项f在原点处是超线性的这一限制条件，在位势函数V和凸非线性项f允许变号，且扰动项是更一般的凹项的情形下，研究了系统(1)解的多重性.

因此，定理1改进并完善了上述已有文献的相关结果.

设D^1，2($\mathbb{R} $³)={u∈L⁶($\mathbb{R} $³)：|▽u|∈L²($\mathbb{R} $³)}表示Sobolev空间，其范数定义为

H¹($\mathbb{R} $³)={u∈L²($\mathbb{R} $³)：|▽u|∈L²($\mathbb{R} $³)}表示通常的Sobolev空间，其内积和范数分别定义为

由条件(V)，(F₁)-(F₂)知，存在a>0，使得对∀(x，t)∈$\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $，$\tilde V(x) $=V(x)+a≥ 1，2F(x，t)+at²≥0. 令

则H是Hilbert空间，其内积和范数分别定义为

显然，对2≤p≤6，嵌入映射H L^p($\mathbb{R} $³)是连续的，故存在S_p>0，使得

系统(1)具有变分结构，对∀(u，ϕ)∈H×D^1，2($\mathbb{R} $³)，定义其能量泛函为

由条件(V)，(F₁)知，系统(1)的弱解(u，ϕ)∈H×D^1，2($\mathbb{R} $³)对应着泛函J的临界点. 由于J是强不定的，需要对泛函进行一些简化，将泛函J转化成只含有一个变量u的式子. 为此，给出如下引理：

引理1^[3]  对∀u∈H¹($\mathbb{R} $³)，存在唯一的ϕ=ϕ_u∈D^1，2($\mathbb{R} $³)，满足方程

更进一步，映射Φ：u ∈H¹($\mathbb{R} $³)↦Φ[u]=ϕ_u ∈D^1，2($\mathbb{R} $³)是连续可微的，并且满足：

(i) 在集合{x：u(x)≠0}上，-ω≤ϕ_u≤0；

(ii) ${\left\| {{\phi _u}} \right\|_{{D^{1,2}}}} \le C\left\| u \right\|_{{H^1}}^2 $，且$\int {_{{\mathbb{R}^3}}} \left| {{\phi _u}} \right|{u^2}{\rm d}x \le C\left\| u \right\|_{\frac{{12}}{5}}^4 \le \left\| u \right\|_{{H^1}}^4 $.

在(4)式左右两端同时乘ϕ_u，并分部积分，可得

从而结合(5)式及J的定义知，I(u)=J(u，ϕ_u)可化简为

由条件(V)，(F₁)-(F₃)及引理1易知，I定义在空间H上是有意义的，且I∈C¹(H，$\mathbb{R} $)，其所对应的导数为

由文献[1]的命题3.5知，u是泛函I的临界点当且仅当(u，ϕ)∈H×D^1，2($\mathbb{R} $³)是系统(1)的解，并且ϕ=ϕ_u. 因此，为了得到系统(1)的非零解，我们只需寻找泛函I的非零的临界点即可.

令B_R={x∈$\mathbb{R} $³：|x| < R}，B_R^C=$\mathbb{R} $³\B_R={x∈$\mathbb{R} $³：|x|≥R}. 令{e_i}为空间H的一组正交基. X_i=$\mathbb{R} $e_i，Y_k=⊕_i=1^kX_i，Z_k=⊕_i=k+1^∞X_i，k∈$\mathbb{N} $₊.

引理2  假设条件(V)，(F₁)-(F₂)，(F₄)-(F₅)成立，则泛函I(u)满足(PS)_c条件.

证  设{u_n}⊂H是泛函I的任一(PS)_c序列，即

从而存在常数M>0，使得

首先证明(PS)_c序列{u_n}有界. 采用反证法. 假设存在{u_n}的一个子列(不失一般性，仍记此子列为{u_n})，使得‖u_n‖→∞. 令$ $，则‖ω_n‖=1. 因为对2≤p < 6，嵌入映射H L^p($\mathbb{R} $³)是紧的，所以存在{ω_n}的一个子列(不失一般性，仍记之为{ω_n})和ω₀∈H，使得：ω_nω₀(x∈H)；ω_n→ω₀ (x∈L^p($\mathbb{R} $³))；ω_n(x)→ω₀(x)(a.e.x∈$\mathbb{R} $³). 令Ω={y∈$\mathbb{R} $³：ω₀(y)≠0}. 若meas(Ω)>0，则|u_n|=|ω_n|‖u_n‖ ∞(a.e.x∈Ω，n→∞).

由条件(F₂)和Fatou引理知

而由引理1(i)及(6)式知，当n→∞时，

这显然与(7)式是矛盾的. 故meas(Ω)=0，这意味着ω₀=0，ω_n→0(x∈L^p($\mathbb{R} $³)，2≤p < 6).

由条件(F₁)知，对任意的x∈$\mathbb{R} $³，|u|≤r₀，有

故结合条件(F₄)及引理1(i)知

这意味着

由条件(F₁)知，对∀(x，u)∈$\mathbb{R} $³×$\mathbb{R} $，

结合(6)，(8)，(9)式及引理1(i)知，当n→∞时

这显然是矛盾的，故序列{u_n}是有界的.

其次证明{u_n}在空间H中有一个强收敛的子列. 因为

所以由文献[8]中引理3.3的证明可知：要证明u_n →u(x∈H，n→ ∞)，只需证明当n→∞时，

即可. 因为对2≤p < 6，嵌入映射HL^p( $ \mathbb{R}^{3}$)是紧的，所以当n→∞时，

且

引理3  假设条件(F₁)-(F₅)成立，则：

(i) 存在γ>0，ρ>0，使得$I\left| {_{\partial {B_\rho } \cap {Z_k}}} \right. \ge \gamma $；

(ii) 对任意的有限维子空间$\tilde E \subset H $，存在R=R($\tilde E$)>0，使得$I\left| {_{\tilde E\backslash {B_R}}} \right. $ < 0.

证 (i) 令$ {\beta _k} = \mathop {\sup }\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| = 1} {\left\| u \right\|_p}(2 \le p \le 6)$，则β_k →0(k→∞). 从而存在k₁>1，使得当k>k₁时，

因为1 < s < 2，所以存在R₀>0，使得

由(9)，(11)-(12)式及引理1(i)知，∀u∈Z_k，‖u‖≥R₀，

令$\rho = {(4\beta _k^p{c_1})^{\frac{1}{{2 - p}}}}, \gamma = (\frac{1}{8} - \frac{1}{{4p}}){\rho ^2} $，则ρ→∞(k →∞)，且γ>0. 从而存在k₂>1，使得当k>k₂时，ρ>R₀. 故当k>max{k₁，k₂}，u∈Z_k，‖u‖=ρ时，I(u)≥ $(\frac{1}{8} - \frac{1}{{4p}}){\rho ^2} $=γ>0.

(ii) 设$\tilde E \subset H $是任一有限维子空间. 利用反证法证明. 假设存在一列序列{u_n}⊂ $\tilde E $，满足‖u_n‖→∞，但I(u_n)≥0. 令${v_n} = \frac{{{u_n}}}{{\left\| {{u_n}} \right\|}} $，则‖v_n‖=1. 因为$\tilde E \subset H $是有限维子空间，所以存在{v_n}的一个子列(不失一般性，仍记之为{v_n})和v₀∈ $\tilde E $，使得v_n→v₀(x∈ $\tilde E $)，‖v₀‖=1. 故由条件(F₂)及Fatou引理知

这显然是矛盾的，故存在R=R($\tilde E $)>0使得$I\left| {_{\tilde E\backslash {B_R}}} \right. $ < 0.

引理4   假设条件(F₁)-(F₅)成立，则存在k₀∈$\mathbb{N} $₊使得ρ_k>γ_k>0，且满足：

(i) ${a_k} = \mathop {\inf }\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| = {\rho _k}} I(u) $≥0；

(ii) ${b_k} = \mathop {\max }\limits_{u \in {Y_k}, \left\| u \right\| = {\gamma _k}} I(u) $ < 0；

(iii) ${d_k} = \mathop {\inf }\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| \le {\rho _k}} I(u)$→0(k→+∞).

证  因为2 < p < 6，所以存在R₀>0使得

由(3)，(9)，(11)，(13)式及引理1(i)知，对∀u∈Z_k，

令${\rho _k} = 8{(\beta _k^ss\lambda {\left\| \alpha \right\|_{\frac{2}{{2 - s}}}})^{_{\frac{1}{{2 - s}}}}} $，则ρ_k→0(k→+∞). 从而存在k₀>0，使得当k>k₀时γ_k < R₀. 故当k>max{k₁，k₀}，u∈Z_k，‖u‖=ρ_k时，

即(i)成立.

(ii) 对∀u∈Y_k，δ>0，令Γ_α，δ(u)={x∈$\mathbb{R} $³：α(x)|u|^s≥δ‖u‖^s}，由文献[4]中定理1.5的证明过程可知，存在ε₁>0，使得meas(Γ_α，ε1(u))≥ε₁.

故结合条件(F₄)，(9)式及引理1(i)知，对∀u∈Y_k，

因为1 < s < 2，所以存在γ_k∈(0，ρ_k)，使得当u∈Y_k，‖u‖=γ_k时I(u)≤0，即(ii)成立.

(iii) 由(14)式，对∀u∈Z_k，${\left\| u \right\| \le {\rho _k}}$，有

因为ρ_k→0，k→+∞，所以$\mathop {\inf }\limits_{u \in {Z_k}, \left\| u \right\| \le {\rho _k}} I(u) $→0(k→+∞)，即(iii)成立.

定理1的证明  由条件(F₃)知泛函I是偶的，且由引理2及引理3知，能量泛函I满足对称山路定理(见文献[21]的定理9.12)的条件，故由对称山路定理知，I有一列趋于+∞的临界值. 即系统(1)具有一列高能量解.

定理2的证明  由条件(F₃)知泛函I是偶的，且由引理2及引理4知，能量泛函I满足对偶喷泉定理(见文献[22]的定理3.18)的条件，故由对偶喷泉定理知，I有一列趋于0的负的临界值. 即系统(1)存在一列负能量解.