Absolutely Cleanness of Quiver Representations

定义 1  令n≥0是整数. 如果存在正合列

其中每个F_i是有限生成的投射模(i=1，2，…，n)，则称模M是n有限表现模. 特别地，当n=1时，则称M为有限表现模. 如果存在正合列

使得每个F_i是有限生成的投射模(i=1，2，…)，则称M是超有限表现模.

定义 2  设$\mathscr{C}$是范畴$\mathscr{A}$中的对象类，且$\mathscr{A}$中存在足够多的投射对象(内射对象). 如果$\mathscr{C}$包含所有投射(内射)对象，并且$\mathscr{C}$关于扩张和满同态的核(单同态的余核)封闭，则称$\mathscr{C}$是可解(余可解)的.

本文中的环R均指有单位元的结合环，以$\mathscr{M}$表示左R-模范畴，除非特别声明，本文中的模均是左R-模. 令$Q = \left( {\mathop \cdot \limits_1 \to \mathop \cdot \limits_2 \to \mathop \cdot \limits_3 \to \cdots \to \mathop \cdot \limits_m } \right)$是m点线性箭图，Rep(Q，$\mathscr{M}$)是Q的R-模表示范畴，这里m是正整数. 设M是R-模. 本文以S_i(M)=($0 \to \cdots \to M \to 0 \to \cdots \to 0$)表示范畴Rep(Q，$\mathscr{M}$)中的对象，这里M位于第i个位置，i=1，2，…，m.

令($X = {X_1}\buildrel {{d_1}} \over \longrightarrow {X_2}\buildrel {{d_2}} \over \longrightarrow {X_{m - 1}}\buildrel {{d_{m - 1}}} \over \longrightarrow {X_m}$)是Rep(Q，$\mathscr{M}$)中的表示. 由文献[2]可知，X是投射表示当且仅当X₁，X₂，…，X_m是投射R-模，并且每个R-同态d_i：${X_i} \to {X_{i + 1}}$是可裂单同态(i=1，2，…，m-1). 特别地，X是有限生成投射表示当且仅当X是投射表示，并且每个X_i是有限生成R-模(i=1，2，…，m). 对偶地，X是内射表示当且仅当X₁，X₂，…，X_m是内射R-模，并且每个R-同态d_i：${X_i} \to {X_{i + 1}}$是可裂满同态(i=1，2，…，m-1).

定义 3  令i≥0是整数，M∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 如果存在正合列

其中F_i是Rep(Q，$\mathscr{M}$)中有限生成的投射表示(i=1，2，…，n)，则称M是n有限表现表示. 特别地，当n=1时，称M是有限表现表示. 如果存在正合列

使得每个F_i是有限生成的投射表示(i=1，2，…)，则称M是超有限表现表示.

定理 1  设M∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则M是n有限表现表示当且仅当每个M_i是n有限表现模(i=1，2，…，m).

证  必要性  因为M是n有限表现表示，所以存在正合列

其中F_j是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n)，即存在行正合的交换图

其中P_i，j是有限生成的投射模. 根据定义1知每个M_i是n有限表现模.

充分性  设M=(${M_1} \to {M_2} \to \cdots \to {M_m}$). 因为每个M_i都是n有限表现模，所以对于M₁，存在有限生成的投射模P_1，0，使得${P_{1, 0}} \to {M_1}$是满同态；对于M₂，存在有限生成的投射模P_2，0，使得${P_{2, 0}} \to {M_2}$是满同态. 依次得到${P_{m, 0}} \to {M_m}$是满同态. 由文献[2]可得${P_{1, 0}} \to {P_{1, 0}} \oplus {P_{2, 0}} \to \cdots \to {P_{1, 0}} \oplus \cdots \oplus {P_{m, 0}}$是有限生成的投射表示(不妨记为F₀)，即存在行正合的交换图

其中K_i，1=Ker(${P_{1, 0}} \oplus \cdots \oplus {P_{i, 0}}$). 因为M_i是n有限表现模，且${P_{1, 0}} \oplus \cdots \oplus {P_{i, 0}}$是有限生成的投射模，所以K_i，1是n-1有限表现模. 对K₁=(${K_{1, 1}} \to {K_{2, 1}} \to \cdots \to {K_{m, 1}}$)重复以上方法，可得存在有限生成的投射表示F₁和K₂，使得$0 \to {K_2} \to {F_1} \to {K_1} \to 0$正合，并且K_i，2是n-2有限表现模. 依次类推，可得正合列

其中F_j是有限生成的投射表示(j=1，2，…，n). 这便证得M是n有限表现表示.

例 1  设S_i(M)=($0 \to \cdots \to M \to 0 \to \cdots \to 0$)∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则S_i(M)是n有限表现表示当且仅当M是n有限表现模(i=1，2，…，m).

定理 2  设M∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则M是超有限表现表示当且仅当每个M_i是超有限表现模(i=1，2，…，m).

证  类似于定理1可证.

如果对于任意的超有限表现模M，有Ext_R¹(M，X)=0，则称R-模X是绝对Clean模. 类似地，我们引入以下定义：

定义 4  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 如果对于任意的超有限表现表示M，有Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M，X)=0，则称X是绝对Clean表示.

命题 1  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则X是绝对Clean表示当且仅当对于任意的超有限表现模F，有Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(S_i(F)，X)=0，其中i=1，2，…，m.

证  必要性  显然成立.

充分性  一般地，设M=(${M_1} \to {M_2} \to \cdots \to {M_{m - 1}} \to {M_m}$)是超有限表现表示. 则由定理2知，每个M_i是超有现表现模. 记

下面对k进行数学归纳. 当k=1时，M(1)=(${M_1} \to 0 \to \cdots \to 0 \to 0$)，即M(1)=S₁(M₁). 由条件知Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(S₁(M₁)，X)=Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M(1)，X)=0.

假设结论对k-1成立，即Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M(k-1)，X)=0(k≥2). 下证结论对k成立. 注意到，存在短正合列

即有列正合的交换图

用Hom_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}(-，X)作用正合列(1)，可得长正合列

由归纳假设和条件可知

所以Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M(k)，X)=0. 特别地，有Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M(m)，X)=Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M，X)=0，即证得X是绝对Clean表示.

定理 3  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则X是绝对Clean表示当且仅当X₁，X₂，…，X_m均是绝对Clean模，每个d_i：${X_i} \to {X_{i + 1}}$是满同态，并且Ker d_i是绝对Clean模(i=1，2，…，m-1).

证  必要性  设X是绝对Clean表示. 由定理1知，对任意的超有限表现模M，S_i(M)是超有限表现表示，于是Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(S_i(M)，X)=0. 由文献[3]的命题5.6可得d_i是满同态(i=1，2，…，m-1). 从而由文献[9]的命题3.10知，存在伴随同构

因为X是绝对Clean表示，所以由命题1可知Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(S_i(M)，X)=0，且

故Ext_{$\mathscr{M}$}¹(M，X_m)=0，得X_m是绝对Clean模. 又因为

所以Ker d_m-1是绝对Clean模. 注意到，序列$0 \to \ker {d_{m - 1}} \to {X_{m - 1}} \to {X_m} \to 0$正合，并且绝对Clean模关于扩张封闭，因此X_m-1是绝对Clean模.

依次类推可得Ker d_i，X₁，X₂，…，X_m都是绝对Clean模.

充分性  因为d_i：${X_i} \to {X_{i + 1}}$是满同态，由文献[3]的命题5.6可知，对任意的超有限表现模M，存在伴随同构

因为Ker d_i是绝对Clean模，所以Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M，Ker d_i)=0，因此Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(S_i(M)，X)=0，由命题1知X是绝对Clean表示.

如果对任意的有限表现模M，有Ext_{$\mathscr{M}$}¹(M，X)=0，则称R-模X是FP-内射模，参见文献[11].

定义 5  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 如果对任意的有限表现表示M，有Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(M，X)=0，则称X是FP-内射表示.

推论 1  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则X是FP-内射表示当且仅当X₁，X₂，…，X_m均是FP-内射模，每个d_i：${X_i} \to {X_{i + 1}}$是满同态，并且Ker d_i是FP-内射模(i=1，2，…，m-1).

证  类似于定理2可证.

引理 1  设X∈Rep(Q，$\mathscr{M}$). 则X是绝对Clean表示当且仅当对于任意的超有限表现表示M，有Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}ⁿ(M，X)=0($\forall n \ge 1$).

证  充分性显然成立，下证必要性. 设M是超有限表现表示. 则存在正合列

其中每个P_i都是有限生成的投射表示(i≥0). 令M_i=Im(${P_i} \to {P_{i - 1}}$)，M=M₀. 则每个M_i都是超有限表现表示. 用Hom_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}(-，X)作用正合列$0 \to {M_{n - 1}} \to {P_{n - 3}} \to {M_{n - 2}} \to 0$，得到长正合列

因为Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(P_n-3，X)=Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}²(P_n-3，X)=0，所以

依次类推，利用维数转移可以得到

即证得Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}ⁿ(M，X)=0.

命题 2  绝对Clean表示构成的类是余可解类.

证  假设$0 \to A \to B \to C \to 0$正合，其中A，C是绝对Clean表示，F是超有限表现表示. 用Hom_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}(F，-)作用后可得长正合列

因为Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(F，A)=Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(F，C)=0，所以Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(F，B)=0，即B是绝对Clean表示. 故绝对Clean表示关于扩张封闭.

假设$0 \to A \to B \to C \to 0$正合，其中A，B是绝对Clean表示，F是超有限表现表示. 用Hom_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}(F，-) 作用后可得长正合列

因为F是超有限表现表示，由引理1知Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}²(F，A)=0. 由假设知Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(F，B)=0，所以Ext_{Rep(Q，$\mathscr{M}$)}¹(F，C)=0，即C是绝对Clean表示. 故绝对Clean表示关于满同态的核封闭.

又因为任意内射表示是绝对Clean表示，所以绝对Clean表示构成的类是余可解类.