Infinitely Many Large Energy Solutions For Semi-Linear Degenerate Schrödinger Equations

本文主要研究半线性退化Schrödinger方程

无穷多大能量解的存在性，其中N≥2，Δ_γ是退化椭圆算子，形式如下：

函数γ_j：${{\mathbb{R}}^{N}}\to \mathbb{R}$是连续的，是${{\mathbb{R}}^{N}}$\Π上不等于0的C¹函数，其中

并且，函数γ_j满足文献[1]中相关结论的所有条件，退化算子Δ_γ包含Grušin型算子

其中(x，y)表示${{\mathbb{R}}^{{{N}_{1}}}}\times {{\mathbb{R}}^{{{N}_{2}}}}$中的点. 文献[2]研究了α是整数的情况，文献[3-4]研究了α不是整数的情况. Δ_γ算子还包含强退化算子

其中α，β是非负常数. 文献[5]研究了算子P_α，β. 关于Δ_γ算子的更多信息可参见文献[1].

当μ=0时，文献[6]利用变分法研究了半线性Δ_γ椭圆型偏微分方程(1)的无穷多解的存在性，其中方程(1)的位势V(x)是强制位势，并且方程(1)的非线性项f(x，u)满足文献[7]中的局部Ambrosetti-Rabinowitz增长条件. 另外，利用变分法还可以解决其他方程解的存在性问题，见文献[8-10].

基于上述结果，本文研究半线性退化Schrödinger方程(1)的无穷多解的存在性，其中方程(1)的非线性项是凹凸的. 为了研究方程(1)，我们做如下假设：

(V1) V(x)∈C(${{\mathbb{R}}^{N}}, \mathbb{R}$)满足$\mathop {\inf }\limits_{x \in \mathbb{R}{^N}} {\kern 1pt} V\left( x \right) > 0$，存在常数r₀>0，使得

(f1) f∈C(${{\mathbb{R}}^{N}}\times \mathbb{R}, \mathbb{R}$)，对满足2 < p < 2_γ^*= $\frac{{2\tilde N}}{{N - 2}}$的p，存在常数c₀>0，使得

(f2) $\mathop {\lim }\limits_{\left| z \right| \to \infty } {\kern 1pt} \frac{{F\left( {x,z} \right)}}{{{{\left| z \right|}^2}}} = + \infty \left( {x \in\mathbb{R} {^N}} \right)$，其中

(f3) 存在常数L₀>0，θ>2以及c₁≥0，使得

(f4) f(x，-z)=-f(x，z)($\forall \left( x, z \right)\in {{\mathbb{R}}^{N}}\times \mathbb{R}$).

(g1) 存在常数1 < q₁ < q₂ < 2，存在函数h_i(x)∈ ${{L}^{\frac{2}{2-{{q}_{i}}}}}\left( {{\mathbb{R}}^{N}}, {{\mathbb{R}}_{+}} \right)$(i=1，2)，使得

(g2) g(x，-z)=-g(x，z)($\forall \left( x, z \right)\in {{\mathbb{R}}^{N}}\times \mathbb{R}$).

定理 1  假设条件(V1)，(f1)-(f4)，(g1)和(g2)成立. 则存在常数μ₀>0，使得当|μ|≤μ₀时，方程(1)有无穷多个大能量解.

注 1  据我们所知，定理1首次研究了在${{\mathbb{R}}^{N}}$上具有凹凸非线性项的半线性Δ_γ椭圆型偏微分方程的无穷多个能量解. 另外，值得一提的是，文献[11]运用喷泉定理得到了${{\mathbb{R}}^{N}}$中的有界域上的具有凹凸非线性项的半线性Δ_γ椭圆型偏微分方程无穷多个高能量解的存在性.

定义函数空间

令

其中${{\nabla }_{\gamma }}u=\left( {{\gamma }_{1}}{{\partial }_{{{x}_{1}}}}u, {{\gamma }_{2}}{{\partial }_{{{x}_{2}}}}u, \cdots {{\gamma }_{N}}{{\partial }_{{{x}_{N}}}}u \right)$. 显然S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)是希尔伯特空间，其内积为

范数$\left\| u \right\|={{\left( u, u \right)}^{\frac{1}{2}}}$. 根据文献[6]的引理2.2，嵌入$S_{\gamma , V\left( x \right)}^{2}\left( {{\mathbb{R}}^{N}}\right)↺S_{\gamma }^{2}\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)$是连续的，而且当条件(V1)成立时，嵌入$S_{\gamma , V\left( x \right)}^{2}\left( {{\mathbb{R}}^{N}}\right)↺{{L}^{q}}\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)$是紧的(q∈[2，2_γ^*)). 据此，对$\forall q\in [2, 2_{\gamma }^{*})$，存在常数d_q，使得

其中L^q(${{\mathbb{R}}^{N}}$)表示勒贝格空间，在L^q(${{\mathbb{R}}^{N}}$)上的范数记作|·|_q.

方程(1)具有变分结构. 考虑函数J：S_γ，V(x)²$\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)\to \mathbb{R}$，定义为

从条件(f4)和(g2)可知J(u)是偶函数，并且满足J(0)=0. 同时J是一阶连续可导函数，且

显然u是方程(1)的弱解当且仅当u∈S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)是J(u)的临界点.

引理 1  假设条件(V1)，(g1)以及(f2)成立，则对任意有限维子空间$Y\subset S_{\gamma , V\left( x \right)}^{2}\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)$，存在R=R(Y)，使得当$\left\| u \right\| \ge R$时J(u)≤0.

证  假设存在序列$\left\{ {{u}_{n}} \right\}\subset Y$满足$\left\| u_n \right\| \to + \infty $，并且J(u_n)>0. 令${w_n} = \frac{{{u_n}}}{{\left\| {{u_n}} \right\|}}$，则{w_n}为有界序列，从而存在{w_n}的子列，仍记为{w_n}，满足对于几乎处处的x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$，都有${w_n}\left( x \right) \to w\left( x \right)$. 记Λ={x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$：w(x)≠0}，故meas(Λ)>0，并且当$n \to \infty $时，对几乎处处的x∈Λ有$\left| {{u_n}\left( x \right)} \right| \to + \infty $. 根据条件(f2)以及Fatou引理，可得

根据$G\left( {x, z} \right) = \int_0^1 {g\left( {x, tz} \right)z{\rm{d}}t} $和条件(g1)，可得

因此，由(2)式以及Hölder不等式，可得

由1 < q₁ < q₂ < 2以及$\left\| {{u_n}} \right\| \to + \infty $可知，当$n \to \infty $时，有

又根据J(u_n)>0，有

因此，由(3)，(7)以及(8)式，可得

这结论与(5)式矛盾.

根据文献[12]的引理2.5，选择整数m≥1，使得

其中c₀是条件(f1)中的常数，选择X=S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)上的一组正交基{e_j}，令

令V=Y_m-1，W=Z_m，则S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)= $V \oplus W$，且V是有限维空间.

引理 2  设条件(V1)，(g1)和(f1)成立，则存在正常数μ₀，ρ，α，满足当|μ|≤μ₀时，${\left. {J\left( u \right)} \right|_{\left\{ {u \in w:\left\| u \right\| = \rho } \right\}}} \ge \alpha $.

证  根据条件(f1)和$F\left( {x, z} \right) = \int_0^1 {f\left( {x, tz} \right)z{\rm{d}}t} $可得

因此，由(3)，(6)，(9)式以及1 < q₁ < q₂ < 2，对任意满足u∈W且$\left\| u \right\| \le 1$的u，有

其中

当t≥0时，令

显然存在常数0 < t₀≤1，对$\forall t \in (0, {t_0}]$满足g(t)>0. 选择$\left\| u \right\| = {t_0} = \rho $，可得

引理 3  设条件(V1)，(f1)-(f3)和(g1)成立，则J在S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中的任意Palais-Smale序列有界.

证  假设{u_n}是J的Palais-Smale序列，存在常数c∈ $\mathbb{R}$，当$n \to \infty $时J(u_n)$ \to $c，J′(u_n)$ \to $0. 假设存在子列，仍记为{u_n}，当$n \to \infty $时，使得$\left\| u \right\| \to + \infty $. 令${w_n} = \frac{{{u_n}}}{{\left\| {{u_n}} \right\|}}$，则存在{w_n}中的子列，仍记为{w_n}，满足在L²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中w_n$ \to $w，对几乎处处的x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$有w_n(x)$ \to $w(x). 令Λ={x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$：w(x)≠0}. 如果meas(Λ)>0，用引理1相似的证明方法，即可得出矛盾. 因此meas(Λ)=0，可推出对几乎处处的x∈${{\mathbb{R}}^{N}}$有w(x)=0，以及在L²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中w_n$ \to $0.

根据条件(f1)以及p>2，可知

再次用条件(f1)，存在常数M>0，满足

因此，可得

又由$F\left( {x, z} \right) = \int_0^1 {f\left( {x, tz} \right)z{\rm{d}}t} $，显然

根据(10)和(11)式，有

其中${{\tilde c}_1} = \left( {\frac{\theta }{2} + 1} \right)\left( {M + 2{c_0}} \right)$. 结合条件(f3)，可知

由$G\left( {x, z} \right) = \int_0^1 {g\left( {x, tz} \right)z{\rm{d}}t} $，以及条件(g1)、Hölder不等式和(2)式，推出

当$n \to \infty $时，$\left\| u \right\| \to \infty $. 由1 < q₁ < q₂ < 2，当$n \to \infty $时，有

故根据(3)，(4)式和θ>2，当$n \to \infty $时，有

由此可推出$0 \ge \frac{\theta }{2} - 1$，这个不等式与θ>2矛盾. 故{u_n}在S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中有界.

引理 4  设条件(V1)，(g1)和(f1)成立，则J的任意有界Palais-Smale序列在S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中有强收敛子列.

证  假设{u_n}是函数J的有界Palais-Smale序列，即存在常数c∈ $\mathbb{R}$，当$n \to \infty $时，有

则存在{u_n}的子列(仍记为{u_n})和u∈S_γ，V(x)²(${{\mathbb{R}}^{N}}$)，使得在L^q(${{\mathbb{R}}^{N}}$)中${u_n} \to u\left( {2 \le q < 2_\gamma ^*} \right)$. 显然，当$n \to \infty $时，有

由条件(f1)以及Hölder不等式，当$n \to \infty $时，有

根据条件(g1)、(2)式以及${\rm{sup}}\left\| {{u_n}} \right\| < + \infty $，当$n \to \infty $时，可得

用相似的证明方法，当$n \to \infty $时，有

因此，当$n \to \infty $时，有

由此，结合(13)和(14)式，当$n \to \infty $时，可得

故$\left\{ {{u}_{n}} \right\}\subset S_{\gamma , V\left( x \right)}^{2}\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)$有强收敛子列.

定理1的证明  根据引理1-引理4可知文献[13]中定理9.12的所有条件被满足. 因此，方程(1)在${S_{\gamma ,V(x)}^2\left( {{\mathbb{R}}^{N}} \right)}$中有无穷多个大能量解.