Mixed Brunn-Minkowski Type Inequalities of General L_p Width-Integral

若K为$ \mathbb{R}^{n}$ (n>1)中的完备紧凸集，则称K为凸体. 支持函数是研究凸体的重要概念，其表达式为

B，S^n-1分别表示$ \mathbb{R}^{n}$中的单位球和单位球面. 记

Minkowski线性组合为凸体之间的重要运算，其定义为: 设$K, L \in \mathscr{K}^{n}, \lambda, \mu$为非负实数且不同时为0，K与L的Minkowski线性组合$\lambda \cdot K+\mu \cdot L \in \mathscr{K}^{n}$用支持函数可表示为

Brunn-Minkowski理论中有诸多有意义的结果，详情请参阅文献[1-11].

文献[1]研究的关于凸体K₁，K₂，…，K_n的混合宽度积分B(K₁，…，K_n)表示为

其中

当K₁= … = K_n-i=K，K_n-i+1= … = K_n=L时，B(K₁，…，K_n)= B_i(K，L). 若存在正实数λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，则称K与L具有相似宽度.

设$ K_{1}, \cdots, K_{n} \in \mathscr{K}^{n}, \tau \in(-1, 1)$，文献[2]将文献[1]所定义的混合宽度积分推广为如下更一般的混合宽度积分B^(τ)(K₁，…，K_n)，表达式为

其中

当τ=0时，B^(τ)(K₁，…，K_n)即为文献[1]所研究的混合宽度积分. 当K₁= … = K_n-i=K，K_n-i+1= … = K_n=L时，B^(τ)(K₁，…，K_n)= B_i^(τ)(K，L). 当B_i^(τ)(K，L)中L为B时，B^(τ)(K₁，…，K_n)为K的i阶宽度积分B_i^(τ)(K)^[3]. 若存在正实数λ，使得b^(τ)(K，u)= λb^(τ)(L，u)，则称K与L具有相似广义宽度. 若b^(τ)(K，u)与b^(τ)(L，u)都为常数，则称K与L具有相似广义常宽度.

设p≥1，K，$ L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$的L_p Minkowski加法K+_p L的支持函数^[4]为

设$K_{1}, \cdots, K_{n} \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in[-1, 1], p>0 $，文献[5]定义并研究了L_p混合宽度积分B_p^(τ)(K₁，…，K_n)，其积分表达式为

其中

当τ=0时，B_p^(τ)(K₁，…，K_n)即为文献[2]所研究的混合宽度积分. 当K₁= … = K_n-i=K，K_n-i+1= …=K_n=L时，B_p^(τ)(K₁，…，K_n)=$B_{p, i}^{(\tau)}(K, L)$. 当K₁= …= K_n-i=K_n-i+1=…= K_n=K时，B_p^(τ)(K₁，…，K_n) 记为B_p^(τ)(K). 当B_i^(τ)(K，L)中L为B时，B_p^(τ)(K₁，…，K_n)为K的i阶L_p宽度积分B_p，i^(τ)(K). 若存在正实数λ，使得b_p^(τ)(K，u)=λb_p^(τ)(L，u)，则称K与L具有相似广义L_p宽度. 若b_p^(τ)(K，u)与b_p^(τ)(L，u)都为常数，则称K与L具有相似广义L_p常宽度.

若$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1, i <j<k $，则^[5]

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p宽度;

若$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1, i <n-p $，则^[5]

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p宽度.

将K的最小广义L_p宽度r_p^(τ)(K)与最大宽度R_p^(τ)(K)分别记为

当p=1时，r_p^(τ)(K)与R_p^(τ)(K)分别记为r^(τ)(K)与R^(τ)(K).

本文受文献[6-7]的启发，建立了如下不等式:

定理1  设$K, L, Q \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1 $. 若$i <n-p$, 则

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p宽度.

定理2 设$K, L, Q \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1 $. 若i <n-p，则

其中

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度.

引理1  若$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in[-1, 1], p \geqslant 1$，则

证  由L_p Minkowski加法知

引理2^[12] (Minkowski不等式)   设f(x)与g(x)为可测集X上的非负可测函数. 若f(x)，g(x)∈L(p)，p>1，则

等号成立当且仅当$\frac{f(x)}{g(x)}$为常数.

引理3^[6] (逆Minkowski不等式)   设函数f(x)与g(x)为可测集X上的非负可测函数，且存在正数m，M，满足$m \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant M$. 若f(x)，g(x)∈L(p)，p>1，则

等号成立当且仅当$\frac{f(x)}{g(x)}$为常数.

引理4^[8] (逆Hölder不等式)   设函数f(x)与g(x)为可测集X上的非负可测函数，且存在正数m，M，满足$m \leqslant \frac{f(x)}{g(x)} \leqslant M $. 若$p>1, q>1, \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$，则

等号成立当且仅当$\frac{f(x)}{g(x)}$为常数.

证  由$\frac{f(x)}{g(x)}$≤M知f(x)≤Mg(x)，进而有$f(x) \leqslant M^{\frac{1}{q}} f(x)^{\frac{1}{p}} g(x)^{\frac{1}{q}}$，由此得

等号成立当且仅当f(x)=Mg(x).

同理，由m≤ $\frac{f(x)}{g(x)}$可得$g(x) \leqslant m^{\frac{-1}{p}} f(x)^{\frac{1}{p}} g(x)^{\frac{1}{q}}$，即有

等号成立当且仅当f(x)=mg(x).

将以上两不等式对应相乘即得不等式(5)，等号成立当且仅当M=m，即$\frac{f(x)}{g(x)}$为常数. 证毕.

定理1的证明  由引理1与$B_{p, i}^{(\tau)}(K, L)$的定义可得

根据i < n-p，并结合引理2可得

由引理2知不等式(3)等号成立当且仅当$\frac{b_{p}^{(\tau)}(K, u)}{b_{p}^{(\tau)}(L, u)}$为常数，即K与L具有相似广义L_p宽度. 证毕.

在定理1中取p=1时，有：

推论1  设$K, L, Q \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1)$. 若i < n-1，则

等号成立当且仅当K与L具有相似广义宽度.

在定理1中取Q=B时即为不等式(2)，在推论1中取Q=B时为文献[9]之结论.

定理2的证明  令$b_{p}^{(\tau)}(K, u)^{p} b_{p}^{(\tau)}(Q, u)^{\frac{i p}{n-i}}=f(u), b_{p}^{(\tau)}(L, u)^{p} b_{p}^{(\tau)}(Q, u)^{\frac{i p}{n-i}}=g(u)$，则有

由

可得

从而有

由i < n-p及引理3可得

由引理3等号成立的条件知此不等式等号成立当且仅当$\frac{b_{p}^{(\tau)}(K, u)^{p}}{b_{p}^{(\tau)}(L, u)^{p}}$为常数，即$\frac{b_{p}^{(\tau)}(K, u)}{b_{p}^{(\tau)}(L, u)}$为常数. 则

又因r_p^(τ)(K)≤R_p^(τ)(K)，r_p^(τ)(L)≤R_p^(τ)(L)，从而r_p^(τ)(K) = R_p^(τ)(K)，r_p^(τ)(L)=R_p^(τ)(L)，即不等式(4)等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度. 证毕.

在定理2中取Q=B时，得：

推论2  设$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1$. 若i < n-p，则

其中c同定理2中所定义，等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度.

在推论2中取p=1时，得：

推论3  设$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1)$. 若i < n-1，则

等号成立当且仅当K与L具有相似广义常宽度.

现应用引理4给出不等式(1)的逆，即：

定理3^[5]  若$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1, i <j <k$，则

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度.

证  由

令

可得

根据公式(8)与不等式(6)，可得

由i < j < k及引理4，可得

由引理4等号成立的条件知不等式(7)中等号成立当且仅当$\frac{f(u)}{g(u)}$为常数，再结合公式(8)及r_p^(τ)(K)，R_p^(τ)(K)，r_p^(τ)(L)，R_p^(τ)(L)之间的关系，可得不等式(7)等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度. 证毕.

在定理3中取i=0，j =i，k=n时，有：

推论4  若$K, L \in \mathscr{K}_{o}^{n}, \tau \in(-1, 1), p \geqslant 1, i <n$，则

等号成立当且仅当K与L具有相似广义L_p常宽度.