The Bonnesen-Type Inequality of Integral Form

MA Lei; DONG Xu; ZENG Chunna

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2022.02.007

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Some Bonnesen-type inequalities in integral form have been investigated. Based on the integral inequality of function and the properties of periodic function, a series of bonnesen-type inequalities in integral form have been obtained, and a proof of pure analysis has been obtained for the Bonnesen-type inequality with respect to the closed convex region with symmetric origin and smooth boundary.

Corresponding author: ZENG Chunna

Received Date: 27/05/2021

Available Online: 20/02/2022

Key words:

Abstract: Some Bonnesen-type inequalities in integral form have been investigated. Based on the integral inequality of function and the properties of periodic function, a series of bonnesen-type inequalities in integral form have been obtained, and a proof of pure analysis has been obtained for the Bonnesen-type inequality with respect to the closed convex region with symmetric origin and smooth boundary.

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等周不等式源于等周问题，是几何中最著名的不等式之一，对数学的诸多分支的发展起到了重要的促进作用. 等周不等式的加强形式是著名的Bonnesen型等周不等式. 文献[1]深入研究了平面等周不等式，利用凸体的最大内接圆半径和最小外接圆半径给出了等周不等式的加强形式，文献[2]称这类等周型不等式为Bonnesen型等周不等式，目前，一般简称为Bonnesen型不等式. Bonnesen型不等式是著名的等周不等式的经典推广与加强，它刻画了平面上简单几何闭曲线的周长与其所围成的面积以及其内接圆半径、外接圆半径等其他几何量的关系. 文献[3-8]利用积分几何中的包含测度理论，系统地得到了这类不等式及其进一步的加强形式. 关于平面多边形的离散型的Bonnesen型不等式，目前，我们知道的或许只有文献[9-11]中的结果，这些不等式的证明都通过寻找与他们等价的分析形式的不等式而得到. 我们尚未注意到关于平面上一般闭凸区域K的Bonnesen型不等式的纯分析等价形式，如下列经典Bonnesen型不等式的纯分析的等价形式至今未知:

其中L，A分别为平面闭凸区域K的边界周长与面积，r_i和r_e分别为K的最大内接圆半径与最小外接圆半径. 即使K为具有光滑边界的且关于原点对称的闭凸区域，其Bonnesen型不等式的纯分析形式的结论甚少.

设p(θ)为平面上包含原点的具有光滑边界的闭凸区域K的支撑函数(即p(θ)是以2π为周期的二阶连续可微函数)，则K的周长$L=\int_{0}^{2 \pi} p \mathrm{~d} \theta $，面积$A=\frac{1}{2} \int_{0}^{2 \pi} p\left(p+p^{\prime \prime}\right) \mathrm{d} \theta $ (参见文献[1, 12-15]). 特别地，当K关于原点对称时p(θ)=p(θ+π). 根据p(θ)是以2π为周期的函数可知，当K关于原点对称时，p(θ)是以π为周期的函数，且其最大内接圆半径与最小外接圆半径分别为

因此，当K关于原点对称时，不等式(1)，(2)，(3)等价于下面我们获得的不等式(4)的特殊形式(5)，(6)，(7).

设p(θ)是以π为周期的C²(二阶连续可微)函数，则

特别地，当m=min{p: 0≤θ≤π} 时，

当M=max{p: 0≤θ≤π} 时，

从而可得

注1 由于闭凸区域K的边界C²光滑且关于原点对称，且p(θ)+p″(θ)>0时，不等式(5)，(6)，(7)等价于经典的Bonnesen型不等式(1)，(2)，(3). 因此我们称积分不等式(5)，(6)，(7)为积分形式的Bonnesen型不等式. 事实上，我们相当于为关于原点对称且具有光滑边界的闭凸区域K的Bonnesen型不等式，找到了一种纯分析的证明.

1. 主要引理

下面的引理1由文献[16]给出. 特别地，当a=0时，由文献[17]利用傅里叶级数的方法得到.

引理1  设g(x)，g′(x)∈L²[a，b]，其中b＞a≥0，g(a)=g(b)=0，则

引理2  设u(x)是以T＞0为周期的连续函数，则对于任意的a，都有

证  设x=t+T，有dx=dt，则

从而

2. 主要结论

定理1  设p(θ)是以π为周期的C²函数，则

证  令

因为p(θ)是以π为周期的函数，则

由(8)式可知

即

由p(θ)是以π为周期的函数，结合(9)式可知

因此

又因为

故

定理2  设p(θ)是以π为周期的C²函数，则

特别地，当m=min{p: 0≤θ≤π}时，

当M=max{p: 0≤θ≤π}时，

证  由定理1的(10)式可知

由于m=min{p: 0≤θ≤π}，则存在θ_m∈[0，π]，使得p(θ_m)=m. 在(14)式中取θ₀=θ_m，可得

由于M=max{p: 0≤θ≤π}，则存在θ_M∈[0，π]，使得p(θ_M)=M. 在(14)式中取θ₀=θ_M，可得

推论1  设p(θ)是以π为周期的C²函数，若

则

证  由平均值不等式

可知

根据不等式(12)，(13)可得

推论2  设p(θ)是以π为周期的C²函数，则

注2   当$ \int_{0}^{\pi} p(\theta) \mathrm{d} \theta=0$时，(15)式等价于一维的Poincare不等式.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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