Ground State Solution for Kirchhoff Equation Involving Δ_λ Operator

我们知道Kirchhoff方程考虑的是横向振动产生的弦长变化，具有较好的物理意义，同时吸引了大量学者们的关注. 文献[1]在${{{\mathbb{R}}^3}} $中通过变分方法得到当非线性项f满足次临界条件时Kirchhoff方程解的集中行为以及存在性结果. 随后，文献[2]考虑了具有临界增长的非线性项f的Kirchhoff方程的正解的多重性和集中性. 文献[3]运用单调性和全局紧性引理讨论了Kirchhoff方程正基态解的存在性，并且推广了文献[1]中的结果. 文献[4]讨论了非线性项f无紧性条件下Kirchhoff方程的基态解. 文献[5]考虑了具有一般位势的Kirchhoff方程的Nehari-Pohozaev型基态解. 对于Kirchhoff方程基态解的存在性问题已经得到广泛的研究，但对于f满足超线性条件时基态解的结果还很少. 受文献([1-9])的启发，本文主要考虑如下的Kirchhoff方程的基态解：

其中a，b是正常数，${\nabla _\lambda } = ({\lambda _1}{\partial _{{x_1}}}u, \cdots , {\lambda _N}{\partial _{{x_N}}}u) $，并且${\Delta _\lambda } $是强退化椭圆算子，具体形式为

关于该算子更多的性质，参见文献[10-13].这里非线性项f满足以下条件：

(f₁)  $f \in C({{\mathbb{R}}^3} \times {\mathbb{R}}, {\mathbb{R}}) $，并且存在常数c₀>0，2 < p < 2_λ^*，有

其中$2_\lambda ^* = \frac{{2Q}}{{Q - 2}} $，Q表示${{\mathbb{R}}^N} $相对于一组扩张的齐次维度，更多细节可参见文献[10]；

(f₂)  $\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{t \to 0} \frac{{f\left( {x, t} \right)}}{{\left|\; {\;t\;} \right|}} \to 0 $，对x∈ ${{{\mathbb{R}}^3}} $一致成立；

(f₃)  存在μ>4使得f(x，t)t≥μF(x，t)，$\forall \left( {x, t} \right) \in {{\mathbb{R}}^3} \times {\mathbb{R}} $.

位势V(x)满足如下条件：

(V)   $\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{x \in {{\mathbb{R}}^N}} V\left( x \right) > 0, \;\;\mathop {{\rm{lim}}}\limits_{\left|\; x \right| \to \infty } \;V\left( x \right) = + \infty $.

首先，定义空间

显然，E是Hilbert空间，具有内积

和范数

为了方便，记‖·‖表示E的范数，‖·‖_q表示空间${L^\mathit{q}}({{\mathbb{R}}^3}) $的范数. 显然，常数a>0，$\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\left( {a{{\left|\; {{\nabla _\lambda }u}\; \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right)} {\rm{d}}x $与$\int_{{{\mathbb{R}}^3}} {\left( {{{\left|\; {{\nabla _\lambda }u}\; \right|}^2} + V\left( x \right){u^2}} \right)} {\rm{d}}x $是等价的，所以u在E上的范数为

其次，我们在E上定义方程对应的能量泛函

不难得到J∈C¹(E，${\mathbb{R}} $)，具有导数

注1  本文主要在${{\mathbb{R}}^3} $中讨论Kirchhoff方程基态解的存在性，最大的困难在于全空间${{\mathbb{R}}^3} $中我们无法得到嵌入紧性.因此，为了找到J的临界点，我们将通过Nehari流形的方法寻找最小能量解，并且该解就是方程的解.

根据条件(f₁)-(f₃)以及标准的证明可知泛函J具有山路几何结构，从而有相应的序列{u_n}⊂E，使得J(u_n)≤c，J′(u_n)→0(n→∞)，即{u_n}为(PS)序列. 设

并且$\mathop {{\rm{inf}}}\limits_{u \in {\mathcal{N}}} J\left( u \right) = m $，如果$u \in \mathcal{N} $，J(u)=m，则u∈E是基态解.

引理1  设条件(f₁)-(f₃)和(V)成立，则任意的(PS)序列{u_n}是有界的.

证    设{u_n}为(PS)序列，就有J(u_n)≤c，J′(u_n)→0.那么根据条件(f₃)可知

(4) 式意味着{u_n}在E上有界.

引理2  设条件(f₁)-(f₃)和(V)成立，则$\mathcal{N} \ne \emptyset $，并且存在常数k>0，使得$\forall u \in \mathcal{N}, J\left( u \right) > k $.

证    根据引理1，存在一个(PS)序列{u_n}⊂E，对某个M>0有‖u_n‖≤M. 设{u_n}的子序列仍为{u_n}，使得在E中有${u_n}\rightharpoonup{u_0} $，在${L^q}\left( {{\mathbb{R}^3}} \right) $(2 < q < 2_λ^*)中有u_n→u₀.下面通过反证法证明u₀≠0. 假设u₀=0，根据条件(f₁)，(f₂)，对任意的ε>0，存在常数C_ε使得

由文献[14]的引理2.2有

令$\varepsilon = \frac{c}{{3C_2^2{M^2}}} $，M²=c，因此我们可以得到

显然这是矛盾的，所以u₀≠ 0. 又根据文献[6]的引理2.2和条件(f₁)，可以得到

因此

从而得到

所以$\left\langle {{J^\prime }\left( {{u_0}} \right), v} \right\rangle = 0 $，u₀≠0，得到$\mathcal{N} \ne \emptyset $.

下面证明J(u)>k. 因为对每一个$u \in \mathcal{N} $都有〈J′(u)，u 〉=0，所以由(5)式可以得到

因此，存在常数γ>0，任取$u \in \mathcal{N} $，使得‖u‖²≥γ. 又根据条件(f₃)，可以推出

所以存在常数k>0，使得$\forall u \in \mathcal{N} $，J(u)>k.

定理1  设条件(f₁)-(f₃)和(V)成立，则方程(1)存在一个基态解.

证    根据引理2，可以得到${u_n} \subseteq \mathcal{N} $，m>0，有J(u_n)→m. 由前面引理相似的证明，存在u∈E\{0}，使得在E中，${u_n}\rightharpoonup{u} $；在$x \in {\mathbb{R}^3} $中几乎处处有u_n→u. 并且J′(u)=0，J(u)≥m. 由法图引理可知

这就意味着$u \in \mathcal{N} $，有J(u)=m. 所以u∈E是J的基态解.