Existence of Solutions for Quasilinear Kirchhoff Type Problem

考虑如下p阶Kirchhoff问题：

其中Ω是$\mathbb{R}$^N中的光滑有界区域，M：$\mathbb{R}$₊→$\mathbb{R}$₊是Kirchhoff函数. Δ_pu=div(|▽u|^p-2▽u)是p-拉普拉斯算子，$\frac{{\partial u}}{{\partial n}}$表示沿外法线的导数.

${p^ * } = \frac{{Np}}{{N - p}}$是临界索伯列夫指数，λ是正实数.

问题(1)有非局部项M(‖u‖^p)，因此问题(1)是一个非局部问题，与下面的Kirchhoff方程有关：

方程(2)由Kirchhoff提出，该方程推广了弹性弦自由振动的经典D′A lembert's波动方程. 在之后，有许多学者对Kirchhoff方程进行了研究，可以参见文献[1-4].

对于带有狄利克雷边界条件的临界Kirchhoff问题，可以参见文献[5-7]. 特别地，文献[8]用变分方法研究了如下问题解的存在性和多解性：

其中

并且λ>0，a>0，b>0，p(m+1) < p^*.

文献[9]利用Nehari流形和纤维映射方法得到了下列问题弱解的多解性：

这里M(s)=a+bs^k，其中a，b，k>0. 并且1 < q < p < r < p^*，λ是一个正实数.

文献[10-12]研究了具有非线性边界条件的问题. 文献[13]利用集中紧性原理和山路引理研究了下列拟线性椭圆问题解的存在性和多解性：

其中1 < p < q < r < p^*；g(x)≥0，g(x)|x|^br∈L^α(Ω)∩L^∞(Ω)，$\alpha = \frac{{{p^ * }}}{{{p^ * } - r}}$；g(x)，f(x)是连续函数.

受文献[13]的启发，我们考虑问题(1)解的存在性. 我们对Kirchhoff函数M作如下假设：

(M₁) M：$\mathbb{R}$₊ $\mathbb{R}$₊是一个连续函数，存在M₀>0，使得对t>0，有M(t)≥M₀；

(M₂) 存在δ∈(ξ，1]，使得对t>0，$\frac{{M(t)}}{{{t^{\frac{1}{\delta } - 1}}}}$是非增的，这里$\xi = \max \left\{ {\frac{1}{{{p^ * }}}, \frac{p}{q}} \right\}$.

注意到，由条件(M₂)可知，当0 < t₁ < t₂时，对t>0，$\frac{1}{\delta }\hat M$(t)-M(t)t是非增的，其中$\hat M(t) = \int_0^t M (s){\rm{d}}s$. 特别地，当t>0时，$\hat M(t) \ge \delta M(t)t$，且当0 < t≤1时，有$\hat M(t) \ge \hat M(1){t^{\frac{1}{\delta }}}$；当t≥1时，有$\hat M(t) \le \hat M(1){t^{\frac{1}{\delta }}}$.

若u∈W^1，p(Ω)满足

则称u是问题(1)的弱解.

定理1  假设1 < p < q < p^*，条件(M₁)，(M₂)成立，则存在λ_*>0，使得对∀λ∈[λ_*，+∞)，问题(1)至少有一个非平凡解.

定义X=W^1，p(Ω)为索伯列夫空间，相应的范数为

当r∈[p，p^*)时，嵌入X$\circlearrowleft$L^r(Ω)是紧的. 设S为嵌入X$\circlearrowleft$L^p*(Ω)的最佳常数，即

问题(1)的能量泛函为

易得I_λ(u)∈C¹(X，$\mathbb{R}$)，于是对∀φ∈X，有

引理1^{[14，定理2.8]}  设(X，‖·‖_X)是实Banach空间，I∈C¹(X，$\mathbb{R}$)满足I(0)=0，并且：

(i) 存在常数ρ，α>0，使得I|_∂Bρ≥α；

(ii) 存在e∈X\B_ρ，使得I(e) < 0.

则常数c= $\mathop {\inf }\limits_{\gamma \in \mathit{\Gamma }} \mathop {\max }\limits_{0 \le t \le 1} I(\gamma (t)) \ge \alpha $，且存在序列{u_k}⊂X，使得I(u_k)→c，I′(u_k)→0，其中

引理2  假设定理1的条件成立，则：

(i) 存在常数α，ρ>0，使得‖u‖=ρ时，有I_λ(u)≥α；

(ii) 存在e∈X，使得‖e‖>ρ，且I_λ(e)≤0.

证  利用迹定理和索伯列夫不等式，存在C₁>0，使得

由1 < p < q < p^*，即得(i).

根据条件(M₂)可得，当1≤t时，有$\hat M(t) \le \hat M(1){t^{\frac{1}{\delta }}}$. 因此，固定u∈X\{0}，当k充分大时，可得

即当k +∞时，I_λ(ku) -∞. 因此，存在‖e‖>ρ>0，使得I_λ(e) < 0.

由引理2可知，泛函I_λ(u)满足山路定理的几何结构，从而存在(PS)_cλ序列，其中

且

引理3  如果条件(M₁)-(M₂)和1 < p < q < p^*成立，则当λ→∞时，c_λ→0.

证  取u₀∈X使得‖u₀‖_L^p*=1，则有

从而存在t_λ>0，使得

且t_λ满足

下证当λ→+∞时，t_λ→0.

事实上，{t_λ}是有界的.

由条件(M₂)有

不妨假设对λ>0，有t_λ≥1. 从(3)式可以得到

由δ∈(ξ，1]可知{t_λ}是有界的. 则存在序列{λ_n}⊂$\mathbb{R}$₊和t₀≥0，使得当n→∞时，有λ_n→+∞，t_λn→t₀，

若t₀>0，可得

这是不可能的. 因此当λ→∞时，t_λ→0，则有

从而存在λ_*>0，使得λ≥λ_*，

引理4  若${c_\lambda } < \left( {\frac{1}{q} - \frac{1}{{{p^*}}}} \right){\left( {{M_0}S} \right)^{\frac{N}{P}}}$，则I_λ(u)满足(PS)_cλ条件.

证  步骤1  证明(PS)_cλ序列的有界性.

设{u_n}⊂X是I_λ(u)的一个(PS)_cλ序列，即当n→∞，有

则

因为δ∈(ξ，1]，1 < p < q < p^*，则{u_n}是X上的有界序列.

步骤2  证明在L^p*(Ω)中，u_n→ u.

由步骤1可知，{u_n}在X上有界，从而存在弱收敛子列，仍然记为{u_n}，在X中，{u_n}是弱收敛的，u_n$\rightharpoonup$u；在L^r(Ω)中，{u_n}是强收敛的，u_n→u，其中r∈(p，p^*)；在Ω中，u_n→u几乎处处成立. 运用文献[13]中引理4.1的集中紧性原理，在$\mathscr{M}$($\mathbb{R}$^N)中有

这里μ，υ是非负有界测度，$\mathscr{M}$($\mathbb{R}$^N)是$\mathbb{R}$^N上的有界测度空间. 在至多可数的集J上，存在$\mathbb{R}$^N中的不相等的点族{x_j∈Ω|j∈J}，以及一个正数族{v_j∈Ω|j∈J}，使得

其中δx_j是x_j上的Dirac测度. 定义函数φ∈C₀^∞($\mathbb{R}$^N)，$\varepsilon = \frac{1}{2}\mathop {\inf }\limits_{{x_j} \in J} {\rm{dist}}\left( {{x_j}, \partial \mathit{\Omega }} \right)$，使得在${B_{\frac{\varepsilon }{2}}}\left( {{x_j}} \right)$中，φ≡1；在Ω\B_ε(x_j)中，φ=0；且存在C₂>0使得|▽φ|≤C₂. 由(4)式可知

即

由{‖u_n‖}有界和勒贝格控制收敛定理以及迹定理，可得

由Hölder不等式可得

当ε→0时，由(6)，(7)，(8)式以及条件(M₁)可得M₀∫_Ωφdμ≤∫_Ωφdυ，即M₀μ_j≤υ_j. 由(5)式可得v_j≥ ${\left( {{M_0}S} \right)^{\frac{N}{p}}}$或v_j=0. 接下来证明v_j≥ ${\left( {{M_0}S} \right)^{\frac{N}{p}}}$是不可能的. 假设存在j₀，使得v_j0≥ ${\left( {{M_0}S} \right)^{\frac{N}{p}}}$，得到

矛盾，因此当n→∞时，∫_Ω|u_n|^p*dx→∫_Ω|u|^p*dx.

步骤3  证明在X中，u_n→u.

由(4)式可知，在X^*中，I′_λ(u_n)→0；在X中，u_n$\rightharpoonup$u. 于是当n→∞时，〈I′_λ(u_n)，u_n-u〉→0. 所以

由Hölder不等式和u_n→u在L^p*(Ω)中强收敛，可得

由Hölder不等式和迹嵌入定理，对r∈[p，p^*)，嵌入X$\circlearrowleft$L^r(∂Ω)是紧的，可得

由(9)-(11)式和{M(‖u_n‖^p)}是有界的，可得

在证明中将会用到下面不等式：

其中C_1p，C_2p是与p有关的正数.

分为以下两种情况讨论：

情形1  当p≥2时，由(12)，(13)式以及{u_n}在X中弱收敛，u_n$\rightharpoonup$u，可得

情形2  当1 < p < 2时，{‖u_n‖}是有界的. 对所有a，b>0，有

我们有

所以当n→∞时，{u_n}在X中强收敛于u.

定理1的证明

由引理3可知，当λ→+∞时，0 < c_λ→0，所以存在λ_*>0，当λ≥λ_*时，有

通过引理4可知I_λ(u)满足(PS)_cλ条件，由极大极小值原理可知，泛函I_λ在c_λ处存在临界点u_λ，由I_λ(u_λ)=c_λ>0，故u_λ≠0.