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Orlicz-Brunn-Minkowski理论[1-3]基于Lp Brunn-Minkowski理论[4]发展而来，在凸体或星体(及其相关的如投影体、相交体等)的体积、混合体积、仿射表面积、宽度积分及弦长积分等研究目标上建立了Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz-Brunn-Minkowski不等式及其他一系列优美的结果[5-11]. 近期关于平面上的凸体或凸曲线的研究可参见文献[12-14].
本文研究的对象为欧氏空间
$\mathbb{R}^{n}$ 中的凸体，其集合记为${\mathscr{K}^n}$ .$\mathscr{K}_{o}^{n}$ 表示原点为内点的凸体之集. 设e1，…，em为$\mathbb{R}^{m}$ 中的标准正交基，函数φ(x1，…，xm)为定义在[0，∞)m上的对每一分量严格递减且满足φ(0)=∞，φ(ei)=1(i=1，2，…，m)的凸函数，由此类函数构成的函数集合用Φm表示.设
$K \in {\mathscr{K}^n}$ 的支撑函数h(K，·)为K的n维体积为
dS(K，u)表示K在u方向上的面积微元，K的宽度函数为
若存在正实数λ，使得b(K，u)=λb(L，u)，则称K与L具有相似宽度.
设φ∈Φ1，K，
$L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$ ，α≥0，β≥0(α，β不同时为0)，K，L的Orlicz组合[5, 8]α.φK+φβ.${ }_{\varphi} L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$ 由确定.
由Orlicz组合的定义可知
文献[9]研究了φ∈Φ1，K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$ 的Orlicz多元混合体积Vφ(K1，…，Kn-1，K，L)，其定义为同时建立了一系列不等式，如Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式:
Orlicz-Aleksandrov-Fenchel不等式 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$ ，φ∈Φ1，1≤m < n，则Orlicz Brunn-Minkowski不等式 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}_{o}^{n}$ ，φ∈Φ1，则对∀ε>0，有文献[14]研究了K1，…，
$K_{n} \in \mathscr{K}^{n}$ 的混合宽度积分B(K1，…，Kn)，其积分表达式为并建立了不等式
设α，β为非负且不同时为0的实数，文献[10]定义并研究了K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ 的Orlicz宽度线性加法b(+φ(K，L，α，β)，u)，其中
由Orlicz宽度线性加法的定义可知
设K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，0≤i < n，文献[10]将K，L的Orlicz混合宽度积分Bφ，i(K，L)定义为同时建立了如下Orlicz Minkowski不等式和Orlicz Brunn-Minkowski不等式：
Orlicz-Minkowski不等式 若K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，0≤i < n，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
Orlicz Brunn-Minkowski不等式 若K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ2，0≤i < n，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
本文在文献[9-10]的启发下，定义了关于K1，…，Kn-1，K，L的Orlicz多元混合宽度积分Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)，其表达式为
当K1，…，Kn-1中有n-i-1个与K相等，其余i个为单位球时，(5)式即为公式(4). 本文建立了Orlicz多元混合宽度积分的如下不等式：
定理1 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
定理2 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ2，α，β>0，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
为得到文中结论的证明，需借助以下引理:
引理1[10] 若K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ2，则当ε→0+时，有b(+φ(K，L，1，ε)，u)→b(K).引理2 若K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ=φ(x，y)=φ1(x)+φ2(y)，φ1，φ2∈Φ1，则证 由引理1、(3)式及凸函数的性质知
其中
引理3 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ2，则证 由引理1、引理2、(1)式，令
可以得到
由引理3与Bφ(K1，…，Kn-1，K，L)的定义，可得：
引理4 设K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，则引理5(Jensen不等式)[15] 设(X，μ)为概率测度空间，
$f: X \longrightarrow I \subset \mathbb{R}$ 为(X，μ)上的可积函数. 若φ：X→I是严格凸函数，则等号成立当且仅当f(u)=C(a.e. x∈X)，其中C为常数.
定理1的证明 由引理4、引理5及(1)式可得
由引理5不等式等号成立的条件知定理1中不等式等号成立的充要条件为K与L具有相似宽度.
由定理1、不等式(2)以及φ的单调递减性可得：
推论1 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，1≤m < n，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
在推论1中令φ(x)=x-p，可得：
推论2 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，1≤m < n，p≥1，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
当推论1中，当m=n-1时，有：
推论3 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ1，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
定理2的证明 由(1)，(3)式与引理4，令
可得
整理即得
由定理1不等式等号成立的条件知定理2中不等式等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
由定理2、不等式(2)以及φ的单调性，可得：
推论4 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，φ∈Φ2，1≤m < n，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
在定理2中令φ(x，y)=x-p+y-p，得：
推论5 若K1，…，Kn-1，K，
$L \in \mathscr{K}^{n}$ ，p≥1，则等号成立当且仅当K与L具有相似宽度.
On Orlicz Mixed Width Integral
- Received Date: 19/06/2021
- Available Online: 20/06/2022
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Key words:
- Orlicz mixed width integral /
- Orlicz-Aleksandrov-Fenchel inequality /
- Orlicz-Minkowski inequality /
- Orlicz-Brunn-Minkowski inequality
Abstract: Based on the Orlicz-Aleksandrov-Fenchel inequality and the Orlicz mixed width integral of the Brunn-Minkowski theory, the Orlicz-Minkowski inequality and Orlicz-Brunn-Minkowski inequality of Orlicz mixed width integral are established by Jensen's inequality. When φ(x, y)=x-p+y-p, the corresponding inequality of Orlicz mixed width integral to Lp-Minowski inequality and Lp-Brunn-Minkowski inequality of Lp mixed width integral.
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