Dynamic Model and Analysis of Measles Vaccination Game

首先分析麻疹传播动态. 用S，I，R，V分别表示易感者、感染者、恢复者、有效接种者所占的比例. 考虑强制接种和自愿接种相结合. 种群中强制接种麻疹疫苗的个体比例为ρ，其余的个体可自愿接种，其接种比例为x. σ和ϕ分别表示疫苗效力和疫苗失效率，β为疾病传播速率，γ为恢复速率，μ为出生率和死亡率. 然后根据博弈理论分析个体的疫苗决策行为. 这里假设个体根据过去一段时间内的策略收益差来进行决策. 设接种疫苗所需的成本为c_v(包括疫苗费用、路费等)，未接种个体被感染后所需的成本为c_i(包括治疗的费用、造成的损失等). 另外，种群中的疾病发生率为βI. 由此，接种策略和不接种策略的期望收益可以分别表示为：

函数g(t)=f_v-f_n是决策个体在当前状态下所获得的信息. 另外，结合具有伽玛分布的指数记忆衰退函数Γ(t|1，α)=αe^-αt，建立我们的信息函数：

设υ是个体模仿别人策略的速率，根据文献[7-8]中分析疫苗接种行为变化的过程来建立博弈动态模型. 另外，考虑麻疹传播过程，变量R不影响其他变量的变化，所以接下来不再分析恢复者比例变化情况. 那么，可以得到以下模型：

根据系统(2)的建立过程，感染个体的平均传染周期为$\frac{1}{\gamma+\mu}$，疾病传播速率为β，所以，基本再生数R₀的表达式为：

因为时滞不影响平衡点的存在性，所以，令方程组中各个方程右端为0，发现有5种可能情况. 另外，由S+I+V+R=1及x的生物意义，需满足0≤S，I，V，x≤1. 容易发现系统(2)一直存在两个无病平衡点：

接着，记无病状态下种群中的易感者比例为S_DEF，一个感染者进入这个种群后，在其平均感染周期内可感染的易感者的数量为有效再生数. 根据(3)式的生物意义得到有效再生数的表达式：

根据表达式(4)，可以写出无病平衡点E₁，E₂状态下的有效再生数，分别记为：

下面考虑其余3种情形并利用(5)式来分析平衡点的存在条件. 首先考虑x=0，I≠0的情形，计算得到

显然，

如果S₃>1或V₃>1，那么，I₃ < 0. 因此，I₃>0，就有

成立. 另外，I₃>0等价于R_v⁰>1.

总结以上过程可知：当R_v⁰>1时，存在边界平衡点

同理可证：当R_v¹>1时，存在边界平衡点

最后，用同样的方法分析x≠0，I≠0的情况，记

可以证得：当R_v¹<R_c<R_v⁰时，存在内部平衡点

接下来分析系统(2)各平衡点的稳定性. 记系统(2)的平衡点为E_n=(S_n，I_n，V_n，x_n). 在平衡点附近作线性化变换，分析得到其特征方程为：

其中：

经分析，有以下定理成立：

定理1     系统(2)的边界平衡点的稳定性如下：

(i) 当R_v⁰ < 1时，无病平衡点 < E₁局部渐近稳定.

(ii) 无病平衡点E₂一直不稳定.

(iii) 边界平衡点E₃局部渐近稳定的条件是：

(iv) 当R_v¹>R_c时，边界平衡点E₄局部渐近稳定.

证   以平衡点E₃为例，分析边界平衡点的稳定性. 这里不再分析平衡点E₁，E₂，E₄的局部稳定性. 将平衡点E₃的值代入特征方程(6)，可以得到特征根有如下关系：

可以知道，λ₃ < 0，λ₄ < 0. 若 λ₁ < 0，即

另外，R_v⁰>1时，平衡点E₃存在. 所以，当(7)式成立时，边界平衡点E₃局部渐近稳定. 证毕.

下面分析时滞τ对内部平衡点E₅稳定性的影响并证明Hopf分支的存在. 当τ>0时，将其代入方程(6)，可整理为

其中：

在方程(8)中令λ=iω，并分离实部和虚部，得到下面两个超越方程：

将超越方程两边分别平方，并将两个超越方程相加，令z=ω²，可以得到：

其中：

如果方程(10)满足Routh-Hurwitz判据^[9]，即

则方程(10)不存在正实根，即不存在满足超越方程(9)的正ω. 总结以上过程，可以得到以下定理：

定理2   当τ>0时，如果(11)式成立，那么系统(2)的内部平衡点E₅是局部渐近稳定的.

下面分析Hopf分支的存在性，需说明特征方程(8)存在纯虚根并满足横截条件. 参考文献[10]可知(10)式正根存在的条件. 假设方程(10)有正根z，那么$\omega=\sqrt{z}$. 由(9)式可以得到：

那么，当τ=τ^(j)时，±iω是特征方程(8)的一对纯虚根.

设

由Butler引理^[11]可知，当τ < τ₀时，特征方程(8)的所有根都有负实部，平衡点E₅局部渐近稳定.

接下来判断当τ经过τ₀时，是否满足横截条件$\frac{\mathrm{dRe}\left(\lambda\left(\tau_{0}\right)\right)}{\mathrm{d} \tau} \neq 0$. 方程(8)两边关于τ求导，

其中：

那么，若h^′(z^*)≠0，则横截条件成立，系统(2)在τ=τ₀处发生Hopf分支. 总结以上过程，有以下定理成立：

定理3   如果方程(10)有正根且h^′(z^*)≠0，那么在τ=τ₀处系统(2)发生Hopf分支. 当τ∈[0，τ₀)时，平衡点E₅局部渐近稳定；当τ>τ₀且在τ₀附近时，系统(2)不稳定，存在从平衡点E₅分支出来的周期解.

取参数σ=0.8，μ=0.1，β=0.5，γ=0.1，ρ=0.6，ϕ=0.01，c_v=10，c_i=2 000，υ=0.01，α=0.4，这时，存在内部平衡点E₅=(0.4，0.012 6，0.574 7，0.475 7). 另外可以得到τ=1.18时，方程(10)有正根，即特征方程(8)有纯虚根且有z^*=0.024 5，h′(z^*)=1.43×10^-5≠0，由定理3可知，系统在τ=τ₀=1.18处发生Hopf分支.

本文建立麻疹疫苗接种博弈的动力学模型来分析个体的疫苗接种行为. 其中，我们考虑影响个体决策的是过去一段时间内的疾病信息和疫苗信息. 分析得到了有效再生数R_v的表达式，分析了系统的平衡点并证明了其局部稳定性，还得到了Hopf分支的存在性. 观察模型(2)和策略收益的表达式(1)，基于博弈论分析自愿接种比例x随信息参数和时间的变化时，疫苗效力σ的增大、疫苗失效率ϕ的减小和疫苗接种风险成本c_v的降低都会增大接种策略的收益，这也就有利于提高自愿接种意愿，即提高自愿接种个体的疫苗水平x，进而更好地控制麻疹的传播. 另外，根据内部平衡点E₅稳定的条件(11)，模仿率υ越大，平衡点越趋于不稳定状态，即个体决策在接种和不接种之间来回切换. 依据Hopf分支周期解的存在性分析，当个体采纳的信息区间长度τ>τ₀时，系统存在不稳定的情况，个体决策会出现反复，疾病可能会再次爆发.