Stability of Infectious Disease Models with Latent Infection and Vaccination

设S(a，t)，E(a，t)，I(a，t)和R(a，t)分别表示t时刻a年龄人类中易感者、潜伏者、感染者和免疫者的数量，建立如下年龄结构模型：

其中初始和边界条件为：S(a，0)=S₀(a)，E(a，0)=E₀(a)，I(a，0)=I₀(a)，R(a，0)=R₀(a)，S(0，t)=μN(t)，E(0，t)=I(0，t)=R(0，t)=0，N(t)= $\int_0^{a + } N (a, t){\rm{d}}a$表示t时刻人口总数，a₊表示生存最大年龄，N(a，t)表示t时刻a年龄的人口数；μ表示出生率和死亡率，p表示接种率，h表示疫苗免疫成功率，δ表示潜伏发病率，γ表示康复率；ε表示潜伏期相对感染期传播力比值；

表示t时刻a岁易感者承受的感染力，β₁(a₁)β₂(a₂)表示有效接触率，即一个a₁岁易感者遇到a₂岁感染者被感染的概率. 我们合理假设模型中各参数为正，且初值条件非负.

因为文中假设出生率和死亡率相等，并忽略因病死亡等情况，所以合理假设人口总数N(t)恒为N. 另外参考文献[11]，假设总人口处于稳定状态，N(a，t)=N_∞(a)=μNe^-μa. 令$x(a, t) = \frac{{S(a, t)}}{{{N_\infty }(a)}}$，y(a，t)= $\frac{{E(a, t)}}{{{N_\infty }(a)}}$，z(a，t)= $\frac{{I(a, t)}}{{{N_\infty }(a)}}$和r(a，t)= $\frac{{R(a, t)}}{{{N_\infty }(a)}}$，对模型(1)做归一变换. 由于免疫者不参与疾病流行，因此后续分析中将其省略，得到

模型的初始条件和边界条件为：x(a，0)=x₀(a)，y(a，0)=y₀(a)，z(a，0)=z₀(a)，x(0，t)=1，y(0，t)=z(0，t)=0. 感染力λ(a，t)= ${\beta _1}(a)\int_0^{a + } {{\beta _2}} (a)(\varepsilon y(a, t) + z(a, t)){\rm{d}}a$.

系统(2)的稳态解满足如下方程组：

显然y(a)=z(a)=0总是系统(3)第二和第三个方程的解，对应的有λ(a)=0，可以求得无病平衡点

下面探究地方病平衡点E^*=(x^*(a)，y^*(a)，z^*(a))的存在性，其中y^*(a)，z^*(a)≠0. 求解系统(3)得到

其中，

因为y^*(a)，z^*(a)>0，所以D>0，且x^*(a)，y^*(a)和z^*(a)由D唯一确定. 结合表达式(4)-(7)，可得等式：

等式(8)两边消去D，得到

观察表达式(4)，可知x^*(a)依赖于参数D，记等式(9)右边为P(D). 显然P(D)的单调性取决于x^*(a)于D的单调性，根据参数的正性及指数函数的单调性，可知P(D)严格单调递减，且P(-∞)=+∞，P(+∞)=0.

因为方程(9)的正解个数对应系统(2)正平衡点的个数，所以在P(0)≤1时，系统(2)不存在正平衡点；P(0)>1时系统(2)存在唯一的正平衡点. 因此P(0)为平衡点存在性的阈值，记R_V=P(0)，

表示有效再生数，即接种疫苗的种群中一个典型感染者在其感染期内能够感染的平均人数^[12]. 于是，由上述分析得到下面的定理1.

定理1  (i) R_V≤1时，系统(2)只存在一个无病平衡点E⁰；

(ii) R_V>1时，系统(2)存在一个无病平衡点E⁰和一个地方病平衡点E^*.

为了研究无病平衡点E⁰的局部性质，先对系统(2)在E⁰处线性化，令x(a，t)=x(a，t)-x⁰(a)，y(a，t)=y(a，t)，z(a，t)=z(a，t). 然后，对线性化后的系统考虑指数形式的特殊解：x(a，t)=F(a)e^mt，y(a，t)=H(a)e^mt，z(a，t)=G(a)e^mt，可求解得到

其中

结合方程(11)，(12)和(13)，整理得到

等式(14)两边消去λ(λ≠0)，得到m满足的特征方程：

将等式(15)右边记为L(m). 显然L(m)严格单调递减，且L(-∞)=+∞，L(+∞)=0，L(0)=R_V. 所以当R_V>1时，特征方程(15)有唯一的正实特征根；当R_V < 1时，有唯一的负实特征根. 由指数函数非负性及三角函数的有界性，可以验证此实根是实部占优的. 所以R_V也是无病平衡点局部渐近稳定性的阈值，综上所述，可得如下定理2：

定理2  (i) R_V < 1时，方程(15)的特征根都是负实部，无病平衡点E⁰局部渐近稳定；

(ii) R_V>1时，方程(15)存在正实部的特征根，无病平衡点E⁰不稳定.

定理3  在R_V < 1时，无病平衡点E⁰全局渐近稳定.

证  沿特征线对系统(2)积分^[13]，当t>a时，

其中

显然t>a时，0 < x(a，t)≤e^-(hp+μ)a(t>a). 所以

因为f(a，t)为有界连续函数，所以存在上极限，记Y(a)= $\mathop {\lim \;{\rm{sup}}}\limits_{t \to + \infty } f(a, t)$. 将(17)式和(18)式代入不等式(19)中，并在(19)式两边对t取上极限，根据Fatou引理^[14]有：

其中

结合C的表达式及不等式(20)，得到不等式：

显然，R_V < 1时，C=0，根据不等式(20)可知Y(a)=0. 再结合f(a，t)和Q(t)表达式可知$\mathop {\lim \;{\rm{sup}}}\limits_{t \to + \infty } Q(t)$=0，此时$\mathop {\lim \;{\rm{sup}}}\limits_{t \to + \infty } y(a, t)$= $\mathop {\lim \;{\rm{sup}}}\limits_{t \to + \infty } z(a, t)$=0. 因为y(a，t)，z(a，t)∈[0, 1]，所以$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } y\left( {a, t} \right)$= $\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } z\left( {a, t} \right)$=0.

(16) 式两边对t取极限，就可得到$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } x\left( {a, t} \right)$=x⁰(a). 所以R_V < 1时E⁰是全局吸引的，再结合定理2可知，R_V < 1时E⁰全局渐近稳定.

下面探究地方病平衡点E^*的局部渐近稳定性. 对系统(2)于E^*处线性化，令$\hat x$(a，t)=x(a，t)-x^*(a)，$\hat y$(a，t)=y(a，t)-y^*(a)和$\hat z$(a，t)=z(a，t)-z^*(a)，并考虑特解$\hat x$(a，t)=T(a)e^wt，$\hat y$(a，t)=J(a)e^wt和$\hat z$(a，t)=Z(a)e^wt. 因为$\hat \lambda = \int_0^{{a_ + }} {{\beta _2}} (a)(\varepsilon J(a) + Z(a)){\rm{d}}a \ne 0$，我们再令T₁(a)= $\frac{{T(a)}}{{\hat \lambda }}$，J₁(a)= $\frac{{J(a)}}{{\hat \lambda }}$和Z₁(a)= $\frac{{Z(a)}}{{\hat \lambda }}$，可得微分方程组：

求解微分方程组(21)，并交换积分顺序，可得

其中

将等式(22)和(23)代入系统(21)的第4个方程，并将右端的函数定义为Ω(w)，所以得到w满足的特征方程：Ω(w)=1，其中，

定理4  在R_V>1时，若满足δ> hp，y^*(a₊)≤e^{-(δ+ μ)a₊}或者δ≤hp，则有地方病平衡点E^*是局部渐近稳定的.

证  若δ> hp，且y^*(a₊)≤e^{-(δ+ μ)a₊}，整理可得不等式：

结合X(a，k)表达式(24)，可得

若δ≤hp，同样有X(a，k)≥0. 此时Ω(w)关于w严格单减，Ω(-∞)=+∞，Ω(+∞)=0.

另外，结合P(D)的表达式和等式(9)，可得：

其中

显然Ω(0) < 1，所以Ω(w)=1有唯一负实部特征根. 而且此实根是实部占优的，即Ω(w)=1的特征根都是负实部，可知E^*是局部渐近稳定的.

本文提出了一个考虑潜伏感染和疫苗接种的SEIR年龄结构模型，分析得到有效再生数R_V的表达式，并验证了无病平衡点E⁰和地方病平衡点E^*的存在性；借助特征方程得到R_V>1时E⁰不稳定，然后利用特征线法证明了R_V < 1时E⁰全局渐近稳定；此外讨论了R_V>1时地方病平衡点E^*局部渐近稳定的条件. 观察有效再生数R_V的表达式可知，提高疫苗接种率p、增大疫苗免疫成功率h或者减小潜伏期相对于感染期传播力的比值ε都会减小R_V的值，也即能更好地控制疾病的流行^[15].