On Penultimate Approximation for Distribution of a Class of Hill-Type Estimator

设{X_n，n≥1}为独立同分布随机变量序列，{X_i，n，1≤i≤n}为其升序统计量，公共分布函数F满足1-F∈ $R{V_{ - \frac{1}{\gamma }}}$，γ>0被称为重尾指数^[1]. 当F未知时，文献[2]提出如下Hill型估计量来估计γ：

其中矩统计量

Γ(·)表示伽玛函数. 注意M_n⁽¹⁾(k)=γ_n⁽¹⁾(k)为文献[3]提出的Hill估计量. 文献[4-5]研究了其相合性. 文献[6-7]讨论了其渐近正态性. 文献[8]给出Hill估计量分布的渐近展开. 文献[9]在下列二阶正规变化条件下，研究了Hill估计量分布的次渐近逼近：存在辅助函数A(t)→0 (t→∞)在无穷远处符号恒定，使得对x>0

其中ρ≤0，A∈RV_ρ，$U = {\left( {\frac{1}{{1 - F}}} \right)^ \leftarrow }$. 近期有关尾指数估计量的研究可参见文献[10-13].

设{E_i，i≥1}为独立同标准指数分布的随机变量序列，μ：=E(E₁^α)，σ²：=Var(E₁^α)，G_k，α(x)：= $P\left\{ {\sum\nolimits_{i = 1}^k {\frac{{E_i^\alpha - \mu }}{{\sigma \sqrt k }}} \le x} \right\}$. 本文将基于G_k，α给出M_n^(α)(k)和γ_n^(α)(k)分布的次渐近逼近.

本文主要结论如下:

定理1  令(2)式成立，$\sqrt k A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to 0$，$\frac{{\log n}}{k} \to 0$以及${k^{\frac{3}{2}}}A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to \infty $. 对x一致地有

定理2  令(2)式成立，$\sqrt k A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to 0$以及存在η∈(0，1)使得${k^{\eta + \frac{1}{2}}}A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to \lambda \in [0, \infty ]$. 如果λ=∞，(3)式对x一致成立，否则对x一致地有

定理3  令(2)式成立，$\sqrt k A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to 0$以及存在η∈(0，$\frac{1}{2}$]使得${k^{\eta + \frac{1}{2}}}A\left( {\frac{n}{k}} \right) \to \lambda \in [0, \infty )$. 对x一致地有

其中

以及

其中

为了证明本文结论，先给出如下3个引理：

引理1  令(2)式成立. 对x>0且x≠1，有

证  由(2)式易得

再结合(2)式，引理1得证.

引理2  令(2)式成立. 对任意ε>0，存在一个函数A₀~A和充分大的t₀使得对t≥t₀，x≥1，一致地有

证  由(2)式易知log U(x)-γlog x∈ERV_ρ，结合文献[14]中定理B.2.18可得，对任意ε>0，存在一个函数A₀~A以及充分大的t₀使得对t≥t₀，x≥1，一致地有

结合三角不等式可得

由拉格朗日中值定理和Potter界可得

结合引理1得证.

引理3  对任意数列f_k 0，对x一致地有

证  易知E(E₁^α)³ < ∞，结合文献[15]中定理2.4.3可得

其中Φ，ϕ分别为标准正态分布函数和概率密度函数，μ₃: =E(E₁^α-μ)³ < ∞. 代入(9)式左边，引理3得证.

定理1的证明  令{Y_i，i≥1}为独立同标准帕累托分布的随机变量序列，{Y_i，n，1≤i≤n}为其升序统计量. 由全概率公式和文献[9]中引理2可得

其中t_n↓0. 注意到$\left\{ {{X_i}} \right\}_{i = 1}^n\mathop = \limits^d \left\{ {U\left( {{Y_i}} \right)} \right\}_{i = 1}^n$. n充分大时可将引理2中的tx，t分别取为Y_n-i+1，n，Y_n-k，n，1≤i≤k. 如果n充分大进一步使得(1-t_n)^ρ-ε≤1+ε，(1+t_n)^ρ-ε≥1-ε，(1-t_n)^ε≥1-ε和(1+t_n)^ε≤1+ε成立，由Potter界可得${(1 - \varepsilon )^2} \le \frac{{{A_0}\left( {{Y_{n - k, n}}} \right)}}{{{A_0}\left( {\frac{n}{k}} \right)}} \le {(1 + \varepsilon )^2}$. 那么

结合$\left\{ {\frac{{{Y_{n - i + 1, n}}}}{{{Y_{n - k, n}}}}} \right\}_{i = 1}^k$和Y_n-k，n的独立性，$\sum\nolimits_{i = 1}^k {\frac{{{Y_{n - i + 1, n}}}}{{{Y_{n - k, n}}}}} \mathop = \limits^d \sum\nolimits_{i = 1}^k {\exp } \left( {{E_i}} \right)$以及全概率公式，有

其中

以及

其中Var(V₁) < ∞. 由引理3可得

由切比雪夫不等式可得

那么

同理可得下极限的下界. 分别令ε→0，定理1得证.

定理2的证明  由全概率公式，文献[9]中引理4可得

由(11)-(13)式，定理2得证.

定理3的证明  令${x_k} = \sqrt k \left( {{{\left( {1 + \frac{x}{{\alpha \sqrt k }}} \right)}^a} - 1} \right)$，有

由定理2和引理3知，(5)式成立. 结合(5), (10)式知(6)式成立.