Finite Groups with Some <i>CSS</i>-Subgroups

DIAO Qianyu; LIU Jianjun

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2022.09.004

Let H be a subgroup of a finite group G. H is called a CSS-subgroup of G if there exists a normal subgroup K of G such that G=HK and H∩K is a SS-quasinormal subgroup. In this paper, we investigate the structure of G by supposing that some maximal subgroups of the Sylow subgroups of G are CSS-subgroups or S-quasinormally embedded subgroups, and obtain some sufficient conditions for a finite group to be p-supersolvable or p-nilpotent, generalizing some known results.

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本文所涉及的群均为有限群，所有术语和符号都是标准的(见文献[1]). 通过子群的广义正规性以及同阶子群来研究有限群的结构，一直是群论研究的主要课题之一，并且已有许多结果，如文献[2-11]. 设H为有限群G的一个子群，如果H和G的所有Sylow子群可置换，即对任意G的Sylow子群S有HS=SH，则称H为G的S-拟正规子群^[5]. 在此基础上，文献[6]引入了S-拟正规嵌入子群的概念：设H为G的一个子群，如果H的每个Sylow子群都是G的某个S-拟正规子群的Sylow子群，则称H为G的S-拟正规嵌入子群. 文献[6]证明了：如果G的每个Sylow子群的所有极大子群都是G的S-拟正规嵌入子群，则G是超可解群. 随后，文献[7]将该结论推广到了群系. 文献[8]介绍了SS-拟正规子群的定义：设H为G的一个子群，如果存在G的子群B，使得G=HB，且H与B的每个Sylow子群S都可置换，则称H为G的SS-拟正规子群. 作为进一步推广，文献[9]引入了CSS-子群的概念：设H为G的一个子群，如果存在G的正规子群K，使得G=HK，且H∩K是G的SS-拟正规子群，则称H为G的CSS-子群. 通过这个概念，文献[9-11]研究了Sylow子群的所有极大子群以及G的极小子群对群结构的影响. 文献[12]定义了：设d为p-群P的最小生成元个数，$\mathscr{M} $_d(P)={P₁，…，P_d}为P的极大子群的集合，且$\bigcap\limits_{i = 1}^d {{P_i}} = \mathit{\Phi }(P)$，其中Φ(P)为P的Frattini子群.

本文假设$\mathscr{M} $_d(P)中的元为G的CSS-子群或者S-拟正规嵌入子群，将研究群G的结构.

引理1^[6]  设U为群G的S-拟正规嵌入子群，H≤G，K为G的正规子群，则：

(i) 如果U≤H，那么U为H的S-拟正规嵌入子群；

(ii) UK是G的S-拟正规嵌入子群，且UK/K是G/K的S-拟正规嵌入子群.

引理2^[9]  设H为群G的CSS-子群，则：

(i) 如果H≤M≤G，那么H为M的CSS-子群；

(ii) 设N$\trianglelefteq$G且N≤H，则H是G的CSS-子群当且仅当H/N是G/N的CSS-子群；

(iii) 设π为素数集合，N为G的正规π′-子群，如果H为G的π-子群，则HN/N是G/N的CSS-正规子群.

引理3^[8]  设p为素数，P为G的一个p-子群. 如果P是G的SS-拟正规子群，则P与G的每个Sylow q-子群可置换，其中q≠p.

引理4^[13]  设N为群G的一个正规子群(N≠1). 如果N∩Φ(G)=1，则N的Fitting子群F(N)是G的包含在F(N)里的极小正规子群的直积.

定理1  设p为|G|的素因子，P为G的Sylow p-子群. 如果G为p-可解群，且某固定的$\mathscr{M} $_d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G为p-超可解群.

证  假设定理1结论不成立，且设G为极小阶反例. 设

我们按下列步骤证明定理1：

步骤1  O_p′(G)=1.

假设O_p′(G)≠1. 由于PO_p′(G)/O_p′(G)是G/O_p′(G)的Sylow p-子群，并且

因此可得

由引理2和引理1知，P_iO_p′(G)/O_p′(G)(i=1，…，d)是G/O_p′(G)的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，从而G/O_p′(G)满足定理条件. 由G的极小性知G/O_p′(G)为p-超可解群，故G为p-超可解群，矛盾.

步骤2  Φ(P)_G=1，从而O_p(G)为初等交换群.

假设Φ(P)_G≠1，则

由引理2和引理1知，P_i/Φ(P)_G(i=1，…，d)是G/Φ(P)_G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 从而G/Φ(P)_G满足定理条件，由G的极小性知G/Φ(P)_G为p-超可解群. 故G/Φ(G)为p-超可解群，从而G为p-超可解群，矛盾.

步骤3  所有包含在O_p(G)中的G的极小正规子群都是p阶循环群.

由步骤1及G为p-可解群知O_p(G)>1. 任取G的极小正规子群N且N≤O_p(G). 如果N≤Φ(P)，则由步骤2可知N≤Φ(P)=1，矛盾. 所以N$\nleqslant$Φ(P). 不妨设N$\nleqslant$P₁∈$\mathscr{M} $_d(P). 令N₁=N∩P₁，则

根据假设，P₁为G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 我们断言N是p阶循环群.

情形1若P₁是G的CSS-子群，则存在G的正规子群K，使得G=P₁K，且P₁∩K是G的SS-拟正规子群. 由N的极小性知N∩K=1，N.

如果N∩K=1，则NK/K是G/K的极小正规子群. 由于

为p-群，于是N$ \cong $NK/K为p阶循环群.

如果N∩K=N，即N≤K，则

是K的Sylow p-子群. 令K_q为K的Sylow q-子群，其中q≠p，则K_q也是G的Sylow q-子群. 由引理3知

于是

由步骤2知，N为交换群，故N₁$\trianglelefteq$N. 因此

易知

所以

由N的极小性知N₁=1，且N为p阶循环群.

情形2  若P₁是G的S-拟正规嵌入子群，则存在G的S-拟正规子群H，使得P₁是H的Sylow p-子群. 于是对任一Q∈Syl_q(G)，其中q≠p，有HQ=QH，即HQ是G的一个子群. 则

且由步骤2可得N为初等交换群，从而N₁$\trianglelefteq$N. 于是

由N的极小性知N₁=1，且N为p阶循环群.

步骤4  极小阶反例不存在.

由步骤1、步骤2及已知可得

如果存在G的极小正规子群N，使得

由步骤2和步骤3可知，N在P中有补. 根据文献[14]的定理17.4，假设N在G中有补M. 又因N≤Φ(G)，故G=NM=M，矛盾. 于是

再由引理4知

其中N_i为G的极小正规子群，且|N_i|=p(i=1，…，r). 由G/C_G(N_i)≤Aut(N_i)知，G/C_G(N_i)为p-超可解群. 故

为p-超可解群，于是G为p-超可解群，矛盾.

注1  在定理1中，假设“G是p-可解群”是必不可少的. 比如，取G=A₅，p=5. 则G的每个Sylow 5-子群的极大子群都是单位元群，显然是G的CSS-子群，也是S-拟正规嵌入子群. 但是G不是5-超可解群.

推论1  设p为|G|的任一素因子，P为G的Sylow p-子群. 如果G为可解群，且某固定的$\mathscr{M} $_d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G是超可解群.

定理2  设p为|G|的素因子且p为奇素数，P为G的Sylow p-子群. 假设N_G(P)是p-幂零群且某固定的$\mathscr{M} $_d(P)中的每个元是G的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群，则G为p-幂零群.

证  假设定理2结论不成立，且设G为极小阶反例. 设

我们按下列步骤证明该定理：

步骤1  O_p′(G)=1.

证明同定理1.

步骤2  若P≤H < G，则H是p-幂零群.

因为N_G(P)是p-幂零群，且N_H(P)≤N_G(P)，所以N_H(P)是p-幂零群. 根据引理2和引理1知，P_i(i=1，…，d)是H的CSS-子群或S-拟正规嵌入子群. 即H满足定理2的条件. 由G的极小性知，H是p-幂零群.

步骤3  G=PQ，其中Q为G的Sylow q-子群，q≠p.

如果对P的所有特征子群T，N_G(T)都是p-幂零的. 显然P≤N_G(T). 于是

由T$\trianglelefteq$N_G(T)知

所以N_G(T)/C_G(T)是p-群. 根据文献[15]知G为p-幂零群，矛盾. 故存在P的非平凡特征子群T，使得N_G(T)是非p-幂零的. 选取T，使得T的阶足够大. 从而对于任意满足T < K≤P的P的特征子群K，N_G(K)都是p-幂零的. 显然T$\trianglelefteq$N_G(P)，则

因为N_G(T)是非p-幂零群，则由步骤2可得，N_G(T)=G，即T$\trianglelefteq$G. 于是对于满足

的P的特征子群K，N_G(K)都是p-幂零的. 故N_G(K)/C_G(K)是p-群，从而N_{G/O_p(G)}(K/O_p(G))/C_{G/O_p(G)}(K/O_p(G))也是p-群. 再次根据文献[15]可知，G/O_p(G)是p-幂零的，从而G是p-可解的. 由文献[16]的定理6.3.5知，对任意q∈π(G)，q≠p，存在G的Sylow q-子群Q，使得PQ≤G. 若PQ < G，则由步骤2知PQ是p-幂零的，于是

又因G为p-可解群且O_p′(G)=1，于是

矛盾，故G=PQ.

步骤4  极小阶反例不存在.

由步骤1和步骤3知O_p(G)> 1. 设N为G的任一包含在O_p(G)里的极小正规子群. 若N≤Φ(P)，则N≤Φ(G). 易证商群G/N满足定理2的条件，则由G的极小性知，G/N为p-幂零群. 从而G为p-幂零群，矛盾. 于是N$\nleqslant$Φ(P). 不妨设N$\nleqslant$P₁，即P=NP₁. 同定理1可证N为p阶循环群. 所以N在P中有补. 根据文献[14]的定理17.4可知，N在G中有补，即存在M≤G，使得G=N$\rtimes$M. 显然N$\nleqslant$Φ(G). 故

再由引理4知

其中N_i为G的极小正规子群，且

于是

从而

故P=O_p(G)，从而G=N_G(P)为p-幂零群，矛盾.

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