On Finite Groups with Hall S-Quasinormally Embedded Schmidt Subgroups

本文所涉及的群均为有限群. Schmidt子群为所有真子群幂零的非幂零群. 关于Schmidt子群的结构及其在有限群理论中的应用见文献[1]. 每个非幂零群都包含Schmidt子群，自然地，Schmidt子群具有的性质在有限群的研究中扮演着十分重要的角色. 许多学者对其进行了研究，并获得了丰富的结果. 文献[2]研究了所有Schmidt子群均为次正规群的有限群的结构. 文献[3]对这类群做了更深入的研究. 文献[4-5]分别研究了所有Schmidt子群均为Hall子群和Hall正规嵌入子群(如果群G的子群H为H^G的Hall子群，则称H为G的Hall正规嵌入子群)的有限群的结构.

文献[6]引入了Hall S-拟正规嵌入子群的概念：设H为G的子群，如果H为G中的S-拟正规闭包H^sqG的Hall子群，则称H为G的一个Hall S-拟正规嵌入子群. 其中，H^sqG指G中包含H的所有S-拟正规子群(与群G的所有Sylow子群可置换)的交. 由于S-拟正规子群的交仍为S-拟正规子群，故H^sqG为G的S-拟正规子群. 显然H^sqG≤H^G. Hall S-拟正规嵌入子群是比Hall正规嵌入子群更广泛的一个概念^[6].

本文继续研究了Schmidt子群的嵌入性对群结构的影响. 得到了：当G的每个Schmidt子群都为Hall S-拟正规嵌入子群时，G的导子群幂零. 本文的结论推广了已有相关文献的结论.

本文所涉及的所有术语和符号都是标准的(见文献[1]).

引理1^[2]  假定G是有限群，则下列命题成立：

(i) 如果G没有p-闭的Schmidt子群，则G是p-幂零群；

(ii) 如果G没有偶数阶2-幂零的Schmidt子群，则G是2-闭群；

(iii) 如果p-可解群G没有含素因子p的p-幂零的Schmidt子群，则G是p-闭群.

引理2^[6]  设H是群G中的Hall S-拟正规嵌入子群，则下列命题成立：

(i) 如果H≤M≤G，那么H是M中的Hall S-拟正规嵌入子群；

(ii) 如果N$\trianglelefteq$G，那么HN/N是G/N中的Hall S-拟正规嵌入子群.

根据文献[2]，我们规定，S_〈p，q〉指具有正规Sylow p-子群P和非正规Sylow q-子群Q的Schmidt群.

引理3  假设K和D是群G的子群，且D$\trianglelefteq$K. 如果K/D为S_〈p，q〉-群，则D在K中有一个满足K=DL的最小阶子群L，并有：

(i) L是一个p-闭的{p，q}-子群；

(ii) L的所有真正规子群幂零；

(iii) L中包含一个S_〈p，q〉-子群P$\rtimes$Q，使得D不包含Q，并且L=(P$\rtimes$Q)^L=Q^L；

(iv) 如果L中的S_〈p，q〉-子群P$\rtimes$Q是(P$\rtimes$Q)^sqG的Hall子群，则L=P$\rtimes$Q.

证  (i)-(iii)的证明由文献[2]的引理2给出. 下证(iv)成立.

设P$\rtimes$Q是(P$\rtimes$Q)^sqG的Hall子群，由引理2得，P$\rtimes$Q是(P$\rtimes$Q)^sqL的Hall子群. 又由

得

因此P$\rtimes$Q在L中为S-拟正规的，故由文献[7]的引理2可知，P$\rtimes$Q在L中为次正规的. 由此知P$\rtimes$Q包含在L的一个正规子群中. 但由(ii)知，L的所有真正规子群幂零，这与P$\rtimes$Q为Schmidt群矛盾. (iv) 得证.

引理4  设群G中每个S_〈p，q〉-子群是Hall S-拟正规嵌入子群，则下列命题成立：

(i) 如果H≤G，那么H中的每个S_〈p，q〉-子群在H中是Hall S-拟正规嵌入的.

(ii) 如果N$\trianglelefteq$G，那么G/N中的每个S_〈p，q〉-子群在G/N中是Hall S-拟正规嵌入的.

证  (i)假设A是H中的S_〈p，q〉-子群. 则由引理4的条件及引理2得，A在H中是Hall S-拟正规嵌入的.

(ii) 假设K/N是G/N中的S_〈p，q〉-子群，由引理3知，N在K中存在一个极小补子群L，且L为G的Schmidt子群. 由引理4的条件及引理2得，K/N=LN/N在G/N中是Hall S-拟正规嵌入的.

引理5^[4]  如果H是由群G中的所有S_〈p，q〉-子群生成，则G/H中无S_〈p，q〉-子群.

引理6^[5]  令群G为p-可解群. 假设G的任一真子群和真同态像的p-长不超过1，而l_p(G)>1. 则：

(i) Φ(G)=O_p′(G)=1；

(ii) G有唯一极小正规子群N=F(G)=O_p(G)=C_G(N)；

(iii) l_p(G)=2；

(iv) G=N$\rtimes$S，其中S=Q$\rtimes$P为一个p-幂零的Schmidt子群，且|P|=p.

引理7^[5]  令n≥2为一个正整数，r为一个素数，π为一个素数集合. 假设对任意的t∈π且对任意的n₁，当1≤n₁ < n时，满足t|rⁿ-1，t$⫮$r^n₁-1成立，则群GL(n，r)包含一个循环的π Hall-子群.

定理1  假设群G中每个Schmidt子群都为G中的Hall S-拟正规嵌入子群，则G′幂零.

证  为证明定理1，我们按照以下步骤证明：

步骤1  G可解.

由奇阶群可解定理知，仅需考虑G为偶数阶群的情况. 如果G不可解，由引理1(ii)可知，在G中存在2-幂零的偶阶Schmidt子群A. 令A=P$\rtimes$Q，其中P为正规的Sylow p-子群且p>2，Q为非正规的循环2-群. 由定理1的条件知，A是G的Hall S-拟正规嵌入子群，因此A为A^sqG的Hall子群，故Q为A^sqG的Sylow q-子群. 由此知，A^sqG有循环的Sylow 2-子群，则A^sqG为2-幂零群. 由A^sqG在G中为S-拟正规的，可知A^sqG在G中为次正规子群，故A^sqG≤D，其中D为群G中最大的正规2-幂零子群. 对任意的g∈G，(A^sqG)^g在G中为次正规的，且(A^sqG)^g为2-幂零群，则(A^sqG)^g≤D，故

从而(A^sqG)^G是G的2-幂零子群. 令H为群G中所有(A^sqG)^G的乘积，其中A为G的任一2-幂零偶数阶Schmidt子群，故H$\trianglelefteq$G，且H为G的2-幂零子群. 由引理5得，G/H中不包含2-幂零的偶数阶Schmidt子群，则由引理1知，G/H为2-闭群，故G/H可解，从而G可解. 矛盾.

步骤2  l_p(G)=1，这里p为π(G)中的任意元.

设G为一个极小阶反例. 由引理4知，定理1的条件对子群、商群是遗传的. 故对G的任一真子群和真同态像p-长为1. 根据G的极小性，l_p(G)> 1，由引理6知

其中S=Q$\rtimes$P为G的极大子群且为G的Schmidt子群. 由已知得，S为S^sqG的Hall子群，则仅有S=S^sqG或S^sqG=G成立. 若S=S^sqG，则S在G中为次正规的. 又由S的极大性得S $\trianglelefteq$G. 所以S^sqG=G. 于是S为G的Hall子群，即N≤S. 这个矛盾说明：对任意p∈π(G)，l_p(G)=1.

步骤3  完成证明.

事实上，仅需证明G满足G∈NA，其中NA为导群幂零的群类.

假设G为极小阶反例. 由文献[8]知，NA为饱和群系. 且由G的极小性知Φ(G)=1. 设N₁和N₂为G的极小正规子群，则G/N₁，G/N₂∈NA，从而

矛盾. 因此，G有唯一极小正规子群. 又由G可解和Φ(G)=1，得N=C_G(N). 此时由文献[9]的定理3.3知G为本原群. 由文献[10]的定理1.8得

其中p∈π(G)，N为p-群且为G的极小正规子群，M为G的极大子群. 由l_p(G)=1得，N为G的Sylow p-子群. 令

设R为G的Sylow r-子群，故N$\rtimes$R不为p-幂零群. 根据引理1(iii)得，N$\rtimes$R中存在p-闭的Schmidt子群H=N₁$\rtimes$R₁. 由定理1的假设知，G中存在H的S-拟正规闭包H^sqG且H为H^sqG的Hall子群. 设H^sqG=K. 由定义可知，K在G中为S-拟正规的. 由文献[11]的定理1.2.14得K^G/K_G为幂零群，故K/K_G为幂零群，从而N≤K. 再由H为K的Hall子群得

这表明N为K的Sylow p-子群，故|N|=|H|_p，从而N=N₁. 此时Φ(N)=1，则

由Schmidt群的结构知，假设对任意的r∈π和任意的n₁，当1≤n₁ < n时，满足

故由引理7得，GL(n，p)中包含一个循环的Hall π-子群H，又由

知，存在x∈GL(n，p)，使得M≤H^x，这意味着M循环. 从而G的导子群包含在一个交换群中，故G为幂零的. 矛盾.

推论1sup>^[5]  假设群G中每个Schmidt子群都为G中的Hall正规嵌入子群，则G′幂零.

注1  定理1和推论1中的条件并不等价. 也就是说，条件“群G的所有Schmidt子群都是G的Hall S-拟正规嵌入子群”并不能推出“群G的所有Schmidt子群都是G的Hall正规嵌入子群”. 如：令G为24阶二面体群D₂₄. 显然G中存在非平凡的Schmidt子群H，这意味着H$ \cong $S₃. 而H是G的S-拟正规子群，故也是G的Hall S-拟正规嵌入子群. 所以G中所有的Schmidt子群都是G的Hall S-拟正规嵌入子群. 然而，H不是H^G$ \cong $D₁₂的Hall子群，也就是说G中所有的Schmidt子群都不是G的Hall正规嵌入子群.