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本文中记
$\mathbb{D}$ 为复平面上的单位圆盘，$\partial(\mathbb{D})$ 为单位圆周. 单位圆盘上的Hardy空间[1]H2定义为：由单位圆盘上的解析函数所构成的Hilbert空间. 设L2($\partial(\mathbb{D})$ )为单位圆周上的Lebesgue平方可积函数全体，Hardy空间的另一常用定义为其中
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} \hat{f}(n) z^n$ 为函数f的幂级数展开式. 由Fatou引理和调和延拓[2]知：两种关于Hardy空间的定义是等价的，从而H2可视为L2($\partial(\mathbb{D})$ )的子空间.Volterra算子是算子理论中一类重要的有界线性算子，在很多数学分支，例如线性微分方程的初值问题、优化、种群动态等问题上有着重要应用. Hardy空间H2上的经典的Volterra算子定义为
该算子是紧的、拟幂零的，没有特征值且谱集只有零点的线性算子[3]. 文献[4]给出了Hardy空间上Volterra算子的不变子空间的刻画：M是V的不变子空间当且仅当M=znH2(
$\mathbb{D}$ )，这里$n \in \mathbb{N}$ . 这之后，文献[5]研究并解决了定义在Hp空间上的Volterra型积分算子的有界性和紧性的刻画问题，紧接着，文献[6]给出了该算子在Bergman空间上的有界性和紧性的充要条件. 随后，文献[7]给出了该算子在BMOA空间上的有界性和紧性的完全刻画. 文献[8]研究了单位圆盘Hardy空间上的复Volterra算子的不变子空间问题.
设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 为解析函数，那么φ按照下述方式导出的H2上的线性算子Cφ称为H2上的由φ导出的复合算子[9]. 复合算子是解析函数论与算子理论相结合的产物，它是泛函分析中一类十分有趣的具体算子，其研究推动着算子理论的发展，并在动力系统、遍历理论、解析函数论等数学领域中有着重要的应用. Hardy空间上复合算子的研究涉及算子理论与解析函数中许多经典结果之间的联系，目前该类算子的研究已经取得比较系统的理论成果. 关于不同函数空间上的复合算子的范数、有界性、紧性、谱、Schatten类的结果可参见文献[9-12].
文献[11]用Berezin变换的方法研究了广义Fock空间的Volterra算子与复合算子乘积的有界性、紧性、Schatten-p类性质及本性范数估计. 这激发了我们引入Volterra-复合算子Vφ，其定义为
由该算子的定义可知Vφ=CφV，这是我们将Vφ命名为Volterra-复合算子的一个原因.
文献[13-14]研究了Hardy空间上Volterra算子的其他性质. 关于Hardy空间上算子理论的研究，虽然已经有超过60年的历史，但仍焕发着勃勃生机. 本文的第一、第三作者和其他人合作分别研究了Hardy空间及其子空间上的一些算子的性质[14-16]，这些结果对于研究其他函数空间上的算子理论有着积极作用.
在本文中，记σ(Vφ)为Volterra-复合算子Vφ的谱. 设T是
$\in \mathbb{R}^n$ 上的线性变换，则T的核定义为本文安排如下：首先，回顾了Volterra算子和复合算子的研究结果，并引入了Volterra-复合算子Vφ的定义；在第一节，刻画Vφ的有界性、紧性、核等一些基本性质；在第二节，给出Volterra-复合算子Vφ的特征值和奇异值.
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本节主要讨论Volterra-复合算子Vφ的有界性、紧性以及核的刻画，给出了3个定理.
引理1[9] 设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 为解析函数，p>0，则对一切f∈Hp，有下述结论给出了Volterra-复合算子的范数估计：
定理1 设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 为解析函数，那么Vφ为H2上的有界线性算子，并且证 因为Vφ=CφV，并且对
$\forall$ f∈H2，f有幂级数展开式将f(z)代入Vf(z)，则有
特别地，因为
其中的{zn：n≥0}是H2的一组标准正交基，所以V是权序列为
$\left\{\frac{1}{n+1}: n \geqslant 0\right\}$ 的向右加权移位算子，从而可知这样便有了
又由引理1可知
从而可以得到
定理2 设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 为解析函数，则Vφ是H2上的紧算子.证 由于Vφ=CφV，并且V是H2上的带权序列
$\left\{\omega_n=\frac{1}{n+1}\right\}_{n=0}^{\infty}$ 的加权移位算子，又因为$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \omega_n=0$ ，所以V是紧算子. 进一步，由于紧算子的全体是一个理想，所以Vφ=CφV是紧算子.定理3 设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 是非常值的解析函数，则ker Vφ={0}.证 设f∈H2，使得
即
两边同时对z求导，则可得f(φ(z))φ'(z)=0. 由于φ是非常值函数，所以φ'(z)≠0，从而f(φ(z))=0，即f|φ(
$\mathbb{D}$ )=0. 又因为φ($\mathbb{D}$ )⊆$\mathbb{D}$ 且f为解析函数，由解析函数的零点定理知，对z∈$\mathbb{D}$ ，恒有f(z)=0，从而ker Vφ={0}.
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本节主要讨论了Volterra-复合算子Vφ的特征值和奇异值问题.
引理2[9] 设φ为内函数，则Cφ为等距算子当且仅当∫φdm=0(即φ(0)=0).
定义1 设H是可分的Hilbert空间，T是H上的有界线性算子，若对λ∈
$\mathbb{C}$ ，存在非零向量x ∈H，使得Tx =λx，则称λ是T的特征值，称x是T的对应特征值λ的特征向量.定理4 对
$\forall$ a∈$\mathbb{D}$ ，z∈$\mathbb{D}$ ，记$\varphi_a(z)=\frac{a-z}{1-\bar{a} z}$ ，则Vφa没有非零的特征值，即σ(Vφa)={0}.证 假设λ≠0是Vφa的特征值，则存在非零函数f∈H2，使得Vφaf=λf，即
首先等式两边作用复合算子Cφa，可得
注意到
从而
再将V作用于等式(1)的两边，由φa°φa(z)=z可得
将f(z)在
$\mathbb{D}$ 中展开成幂级数$f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \hat{f}(n) z^n$ ，则代入(2)式，得
比较(3)式中左右两端中常数项的系数，则有
$\lambda^2 \hat{f}(0)=0$ ，因为λ≠0，从而$\hat{f}$ (0)=0.比较(3)式中左右两端z的系数，则
进而得到
$\hat{f}$ (1)=0.同理比较(3)式两端z2的系数，可得
从而推得
$\hat{f}$ (2)=0.依次进行下去，比较(3)式两端z的同次幂系数，可以得到，当n≥0时，皆有
$\hat{f}$ (n)=0. 从而f=0，这与f非零矛盾，故Vφa没有非零特征值，由定理2知，Vφa是紧的，所以σ(Vφa)={0}.定义2 设T是可分Hilbert空间上的有界线性算子，若λ是正算子T*T的特征值，则称λ为T的奇异值.
下述定理给出了Vφ的奇异值刻画：
定理5 设φ：
$\mathbb{D}\longrightarrow\mathbb{D}$ 是内函数且φ(0)=0，则Vφ的奇异值全体为$\left\{\frac{1}{n+1}: n=0,1,2, \cdots\right\}$ .证 由φ为内函数且φ(0)=0，根据引理2可知Cφ为等距算子，即有
这样我们可以得到
又因为
所以
从而可以得到V*1=0.
同理，由于
所以有
从而
于是
这表明V*V是对角线为
$\left\{\frac{1}{(k+1)^2}\right\}_{k=0}^{\infty}$ 的正对角算子，因此V*V的特征值为$\left\{\frac{1}{(k+1)^2}\right\}_{k=0}^{\infty}$ ，从而Vφ*Vφ的特征值为$\left\{\frac{1}{(k+1)^2}: k \geqslant 0\right\}$ ，故可得Vφ的奇异值为$\left\{\frac{1}{k+1}: k \geqslant 0\right\}$ .例1 设φ=zN，其中N为大于1的正整数，则σ(Vφ)={0}.
证 假设λ≠0是Vφ的特征值，那么存在非零函数f∈H2，使得
根据定义知
则有
首先，比较(4)式两端的常数项，可得
由于λ≠0，所以
$\hat{f}$ (0)=0. 比较(4)式两端z的系数可得由λ≠0可推出
$\hat{f}$ (1)=0. 依次进行下去，比较(4)式两端z的同次幂的系数，则当i>0时，$\hat{f}$ (i)=0，故f=0，而这与假设相矛盾. 因此Vφ没有非零的特征值，又由定理2知Vφ是紧的，所以σ(Vφ)={0}.
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