Blow-Up for a Class of Semilinear Time Fractional Order σ-Development Equation with Memory Term

本文研究以下半线性时间分数阶σ-发展方程的柯西问题：

其中α∈(0，1)，σ≥1，γ∈(0，1)，p>1，ε充分小. ∂_t^1+αu为1+α阶Caputo型分数阶导数，定义为

这里

为Riemann-Liouville型积分，Γ(β)为Gamma函数. 算子(－Δ)^σ定义为

上述时间分数阶σ-发展方程(1)在物理学、力学和其他应用科学中有着大量应用^[1-3]，通常用于刻画具有幂律变特性的粘弹性介质中机械波的传播问题，也可描述介于扩散和波传播模型的中间现象，且这种现象通常发生在粘弹性介质中，融合了表现波传播的类固体材料和支持扩散过程类流体材料的特性，近年来关于该类方程解的适定性研究引起了不少研究者的关注^[4-7].

注意到非线性项有如下性质

进而有

因此，当指数γ→1^－且参数α，σ取极限情形时，本文所研究的非线性记忆项的柯西问题(1)可转化为非线性项为|u|^p的经典问题. 探讨问题(1)与经典柯西问题解的性质之间的联系是一件很有意义的事情.

当α=0，σ=1，γ=1时，问题(1)转化为如下半线性热传导方程的柯西问题：

文献[8]给出了其临界指数$\tilde{p}=1+\frac{2}{n}$，即在p> $\tilde{p}$时该问题在小初值情况下存在整体解，1 < p≤$\tilde{p}$时该问题的解在有限时刻爆破. 对于超临界与次临界的情形，文献[8]分别进行了解的整体存在性与爆破证明，对于临界的情形，文献[9-10]研究了解的爆破情况.

当α=0，σ=1，γ∈(0，1)时，问题(1)则转化为如下带记忆项半线性热传导方程的柯西问题：

文献[11]证明了在

时解在有限时刻爆破，并证明了p>p_å时小初值情况下存在整体解，此处

可以看到当γ→1^－时，此时的临界指数与Fujita临界指数一致.

当α=1，σ=1，γ=1时，问题(1)转化为如下半线性波动方程的双初值问题：

文献[12]在

和p>1，n=1时证明了解在有限时刻爆破. 根据Strauss猜想^[13]，问题(3)的临界指数p₀(n)为二次方程

的正根，并且在n≥2，p>p₀(n)时，问题(3)在小初值情况下存在整体解，在p≤p₀(n)时问题(3)的解在有限时刻爆破. 文献[14-16]在超临界情况下针对不同空间维数证明了整体解的存在性，文献[17-18]在临界情况下、文献[19-20]在次临界情况下分别针对不同空间维数证明了解的有限时刻爆破.

对于时间分数阶方程，当α∈(0，1)，σ=1，γ=1时，问题(1)转化为如下时间分数阶扩散-波动方程的柯西问题：

文献[4]得到了在小初值情况下，u₁=0及u₁≠0时该问题的两个临界指数，分别为

当α→0⁺时，$\tilde{p} \rightarrow 1+\frac{2}{n}$为Fujita临界指数，当α→1^－时$\bar{p} \rightarrow 1+\frac{2}{n-1}$，这与文献[12]所得到的指数相对应.

文献[6]证明了当小初值$u_0 \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right) \cap L^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$且指数满足

时问题(1)存在唯一整体解. 那么在1 < p≤p_c时，问题(1)的解又有怎样的性质呢？本文拟通过构造合适的测试函数，在1 < p < p_c与p=p_c的情形下于不同空间维数中分别证明解在有限时刻爆破，并得到生命跨度上界的估计. 下面给出本文主要结论.

定理1   当α∈(0，1)，σ≥1，γ∈(0，1)时，假设初值$u_0 \in L^1\left(\mathbb{R}^n\right) \cap L^{2}\left(\mathbb{R}^n\right)$且满足

若

则问题(1)的解在有限时刻爆破. 且在$p<1+\frac{2 \sigma(2+\alpha-\gamma)}{(1+\alpha) n}<p_c$时，可以得到t∈[0，T]时问题(1)生命跨度的上界估计

其中

C是与ε无关的正常数.

注1   考虑次临界情形p < p_c. 当α→0⁺，σ=1，γ→1^－时，$p_c \rightarrow 1+\frac{2}{n}$为Fujita临界指数，此时要求空间维数n≥1；当α→1^－，σ=1，γ→1^－时有$p_c \rightarrow 1+\frac{2}{n-1}$，这与文献[12]所得到的指数相对应，此时要求空间维数n≥2.

考虑临界情形p=p_c. 可以看到此时γ不能太靠近1，当α→1^－，σ=1时有$p_c \rightarrow 1+\frac{4-2 \gamma}{n-2+2 \gamma}$，这与文献[11]所得到的临界指数一致.

定义1^[21](Riemann-Liouville型分数阶积分)   令T>0，f∈L¹(0，T)，α∈(0，1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶积分分别定义为

与

此处Γ(α)为伽马函数.

定义2^[21](Riemann-Liouville型分数阶导数)   令T>0，f∈AC[0，T]，α∈(0，1)阶左侧与右侧Riemann-Liouville型分数阶导数分别定义为

与

对于以上微积分定义，有如下性质成立：

命题1^[21]   令T>0，α∈(0，1)，若f∈J_t|T^α(L^p(0，T))，g∈J_0|t^α(L^q(0，T))，则以下分部积分成立：

其中

与

此处要求

命题2^[22]   令T>0，α∈(0，1)，则对任意f∈L^r(0，T)，1≤r≤∞，等式

在t∈(0，T)上几乎处处成立.

引理1^[23]   令$\langle x\rangle=\left(1+|x|^2\right)^{\frac{1}{2}}$，设$m \in \mathbb{N}, s \in[0, 1)$，则对$\forall q>n$以及$x \in \mathbb{R}^n$，有如下不等式成立：

此处f^∧g表示存在一正常数C，满足f≤Cg.

引理2^[23]   令σ≥1，记φ=φ(x)=〈x〉^－q，q>0. 对于任意R>0，定义φ_R为

则(－Δ)^σ(φ_R)满足以下伸缩变换性质

在证明爆破之前，通过Caputo型分数阶导数的定义(2)及分部积分公式(6)，先给出问题(1)弱解的定义.

定义3   令p>1，T>0，u₀∈L²($\in \mathbb{R}^n$). 若函数

且对任意测试函数φ_R(x)∈H^2σ($\in \mathbb{R}^n$)，φ(t)∈C²([0，T])，有

则称u是问题(1)的局部弱解. 若T=∞，则称u是问题(1)的整体弱解.

现在引入测试函数$\varphi(t)=D_{t \mid T}^{1-\gamma} \tilde{\varphi}(t) \text {, 其中 } \tilde{\varphi}(t)=\omega(t)^\beta$，β足够大，

关于此测试函数，有

且有如下求导性质：

引理3^[22]   令T>0，α∈(0，1)，β>α，对任意t∈[0，T]，存在C=C(α，β)，有

以及

定理1的证明

引入测试函数

在$\in \mathbb{R}^n$上可积. 这里

[σ]为σ的取整. 由引理1，可以看出对$\forall \sigma$≥1，有

现将测试函数$\varphi_{\mathbb{R}}$和φ带入(7)式中，有

记Φ_R(x，t)= $\varphi_R(x) \tilde{\varphi}(t)$，由命题1、命题2以及引理3，可得

现假设u(x，t)为问题(1)的整体解，令$I_R=\int_0^T \int_{R^n}|u|^p {\mathit{{\mathit{\Phi}}}}_R(x, t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} t$，下面分别建立I₁和I₂的估计，

以及

从而有

此处p'为p的共轭指数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1 \text {. 令 } R=T^{\frac{1+\alpha}{2 \sigma}}$，由Young不等式可得

此处取$\theta \in\left(0, \frac{1}{C^{\prime}}\right)$，进而有

由(5)式，当且当p < p_c时有

令T→∞，可以推出

故u=0，这与假设(4)矛盾，所以问题(1)在次临界条件下不存在整体解.

当p=p_c时，有

此时令

由(8)式及Young不等式可得

当K足够大时，由(5)式可以推出

同样产生了矛盾，故问题(1)在临界条件下不存在整体解.

由(9)式可知

当$p<1+\frac{2 \sigma(2+\alpha-\gamma)}{(1+\alpha) n}<p_c$时即可得到此时生命跨度的上界估计

其中

C是与ε无关的正常数.