Zeros of Very Weak Solution Gradients for a Class of Differential Form Elliptic Equations

KANG Di; ZHAO Song; XU Xiujuan

doi:10.13718/j.cnki.xsxb.2023.03.004

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The article considers a class of differential form elliptic equations, and proves that the gradient of their very weak solutions satisfies the weak inverse Hölder inequality by tools such as Hodge decomposition, Poincaré inequality, and obtains that almost every zero of the gradient of the very weak solutions of this equation has infinite order.

Corresponding author: XU Xiujuan

Received Date: 09/08/2022

Available Online: 20/03/2023

Key words:

Abstract: The article considers a class of differential form elliptic equations, and proves that the gradient of their very weak solutions satisfies the weak inverse Hölder inequality by tools such as Hodge decomposition, Poincaré inequality, and obtains that almost every zero of the gradient of the very weak solutions of this equation has infinite order.

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设Ω是$\mathbb{R}$ⁿ(n≥2)中的正则区域，e₁，e₂，…，e_n为$\mathbb{R}$ⁿ的标准正交基. 由外积e_I=e_i₁∧e_i₂∧…∧e_{i_l}张成的l维线性空间记为Λ^l=Λ^l($\mathbb{R}$ⁿ)，I=(i₁，i₂，…，i_l)(1≤i₁ < i₂ < … < i_l≤n，l=0，1，…，n)取遍所有的l重数. 定义Hodge星算子*：Λ→Λ，对任意α，β∈Λ，满足*1=e₁∧e₂∧…∧e_n，且α∧*β=β∧*α=〈α，β〉*1.

微分形式是实值函数和分布的重要推广形式. Ω上的l-微分形式是Ω上的一个Schwartz分布，其值属于Λ^l($\mathbb{R}$ⁿ). 将所有的l-形式空间记为D′(Ω，Λ^l)，用L^p(Ω，Λ^l)表示l-形式

的空间，其中对于所有的有序l-重数I，ω_I∈L^p(Ω，$ \mathbb{R} $). 于是L^p(Ω，Λ^l)为一个Banach空间，其上的范数定义为

同样地，l-微分形式的Sobolev空间为

且具有范数

其中，对ω∈D′(Ω，Λ^l)，微分形式$\mathrm{d} \omega=\left(\frac{\partial \omega}{\partial x_1}, \frac{\partial \omega}{\partial x_2}, \cdots, \frac{\partial \omega}{\partial x_n}\right)$由微分形式$\frac{\partial \omega}{\partial x_i} \in D^{\prime}\left(\varOmega, \varLambda^l\right)$组成.

记外导数

其共轭算子

在D′(Ω，Λ^l+1)上定义为

上述符号及定义可参见文献[1].

本文考虑以下微分形式的椭圆方程

其中算子A：Ω×Λ^l($\mathbb{R}$ⁿ)Λ^l($\mathbb{R}$ⁿ)满足：对所有的x∈Ω和ξ∈Λ^l($\mathbb{R}$ⁿ)，有

这里

下面给出方程(1)很弱解的定义.

定义1 若u对所有具有紧支集的$\varphi \in W^{1, \frac{r}{r-p+1}}\left(\varOmega, \varLambda^{l-1}\right)$，满足

则称u∈W_loc^1，r(Ω，Λ^l－1)为方程(1)的很弱解.

这里“弱”指的是u的可积指数r可以小于自然指数p. 很弱解是弱解的推广，它降低了弱解的可积性要求. 近年来，关于很弱解的性质引起了很多学者的关注. 例如，文献[2]获得了拟线性椭圆方程

很弱解的梯度估计；文献[3]研究了散度型椭圆方程

很弱解梯度的零点性质；文献[4]研究了二阶非线性椭圆组

很弱解的局部正则性；文献[5]考虑了非线性椭圆方程

对应障碍问题很弱解的全局可积性；文献[6]研究了微分形式的非齐次椭圆方程

障碍问题很弱解的正则性. 更多关于椭圆问题的研究，参见文献[7-11].

受以上文献的启发，本文研究了方程(1)在条件(2)，(3)下的零点性质，得到如下主要定理：

定理1 存在常数$r_0=r_0\left(n, p, \frac{\beta}{\alpha}\right) \in(1, p)$，使得当r>r₀时，方程(1)的很弱解u∈W_loc^1，r(Ω，Λ^l－1)，du的几乎每一个零点都有无穷阶.

1. 弱逆Hölder不等式

为证弱逆Hölder不等式，需用到以下引理：

引理1^[12](Poincaré引理)  令D为立方体或球，w∈L^s(D，Λ^l)，dw∈L^s(D，Λ^l+1)，则

其中${\rlap{-} \smallint }_D$为D上的积分平均.

引理2^[13]   令X和Y为内积空间中的向量，则当0≤ε < 1时，有

引理3^[14]   设f(x)为定义在0≤T₀≤t≤T₁上的非负有界函数，若对T₀≤t < s≤T₁，有

其中A，B，σ，θ为非负常数，θ < 1，则存在常数C(σ，θ)，使得对任意R，ρ，当T₀≤ρ < R≤T₁时，有

下面给出du满足的弱逆Hölder不等式.

引理4  存在$r_0=r_0\left(n, p, \frac{\beta}{\alpha}\right) \in(1, p)$，使得当r>r₀时，方程(1)的很弱解u∈W_loc^1，r(Ω，Λ^l－1)的梯度du满足弱逆Hölder不等式

其中C为常数，B_R⊂⊂Ω.

证  任取x₀∈Ω，固定R₀：R₀≤d=dist(x₀，∂Ω). 令B_R=B_R(R₀)⊂⊂Ω为任意立方体.

取截断函数η(x)∈C₀^∞(B_R)，满足

且在$B_{\frac{R}{2}}$上η≡1. 为了给方程(1)选取一个适当的检验函数，作关于$\left|\mathrm{d}\left(\eta\left(u-u_{B_R}\right)\right)\right|^{r-p} \mathrm{~d}\left(\eta\left(u-u_{B_R}\right)\right) \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\left(B_R, \varLambda^l\right)$的Hodge分解^[15]，可得

其中dφ，$h \in L^{\frac{r}{r-p+1}}\left(B_R, \varLambda^l\right)$，且有

令

由引理2，可得

将(6)式中的φ充当(4)式中的检验函数，并利用(8)式，可得

因为du_{B_R}=0，于是由(3)式，可得

下面估计I₁. 由(2)式、Hölder不等式和(7)式，可得

由于

将(13)式代入(12)式，再使用Young不等式和引理1，可得

下面估计I₂. 由(2)式、(9)式、Hölder不等式、Young不等式和引理1，可得

下面估计I₃. 由Young不等式，可得

下面估计I₄. 由(9)式、Hölder不等式、Young不等式和引理1，可得

下面估计I₅. 由Young不等式、(7)式和引理1，可得

结合(10)式、(11)式、(14)式-(18)式，可得

令r足够接近p，且ε足够小，使得

又因为在本文情况下，r充分接近于p，于是常数C(n，p，r)与r无关. 因此，由(19)式和(20)式，可得

再使用引理3，可得(5)式. 证毕.

2. 主要定理的证明

定义2^[16]  若

则称x₀∈Ω为函数h∈L_loc¹(Ω)的本性零点. 其中Q(x₀，R)是以x₀为心、2R为边长的立方体. 本性零点的阶数定义为

引理5^[16]   令h∈L_loc¹(Ω)对所有立方体Q⊂2Q⊂Ω满足弱逆Hölder不等式

则h的每一个零点都有无穷阶. 其中1 < p < ∞，常数A_p与立方体无关.

定理1的证明  根据弱逆Hölder不等式(5)和引理5，可得所需结论. 证毕.

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[1]	高红亚, 陈艳敏. 共轭A-调和张量新的双权积分不等式[J]. 数学年刊A辑(中文版), 2006, 27(5): 625-634. Google Scholar
[2]	郑神州, 王喜芬. 拟线性次椭圆方程很弱解的正则性[J]. 数学物理学报, 2010, 30(2): 432-439. Google Scholar
[3]	高红亚, 张华, 佟玉霞. 一类散度型椭圆方程很弱解梯度的零点[J]. 河北大学学报(自然科学版), 2005, 25(1): 9-12. doi: 10.3969/j.issn.1000-1565.2005.01.003 CrossRef Google Scholar
[4]	谢素英, 戴滨林. 一类非线性椭圆组很弱解的局部正则性[J]. 应用数学, 2001, 14(4): 93-97. Google Scholar
[5]	佟玉霞, 杨雅琦, 周艳霞. 非线性椭圆障碍问题很弱解的全局可积性[J]. 应用数学, 2021, 34(1): 98-106. doi: 10.13642/j.cnki.42-1184/o1.2021.01.011 CrossRef Google Scholar
[6]	杨超, 谢素英. 微分形式椭圆方程障碍问题很弱解的正则性[J]. 杭州电子科技大学学报(自然科学版), 2019, 39(3): 92-96. Google Scholar
[7]	张爱旎, 邓志颖. 一类分数阶p-q型临界椭圆边值问题的非平凡解[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2022, 44(6): 88-93. Google Scholar
[8]	蒙璐, 储昌木, 雷俊. 一类带有变指数增长的Neumann问题[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(6): 82-88. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.06.011 CrossRef Google Scholar
[9]	唐映, 储昌木. 带类p(x)-拉普拉斯算子的问题在全空间上的多重解[J]. 西南师范大学学报(自然科学版), 2022, 47(10): 37-44. Google Scholar
[10]	周树清, 高红亚, 朱焕然. 一类拟线性椭圆方程的很弱解的唯一性[J]. 数学年刊A辑(中文版), 2007, 28(1): 121-130. Google Scholar
[11]	杜广伟, 钮鹏程. 非线性次椭圆方程障碍问题很弱解的高阶可积性[J]. 数学物理学报, 2017, 37(1): 122-145. Google Scholar
[12]	STROFFOLINI B. On Weakly A-Harmonic Tensors[J]. Studia Mathematica, 1995, 114(3): 289-301. Google Scholar
[13]	IWANIEC T, MIGLIACCIO L, NANIA L, et al. Integrability and Removability Results for Quasiregular Mappings in High Dimensions[J]. Mathematica Scandinavica, 1994, 75(2): 263-279. Google Scholar
[14]	GIAQUINTA M, GIUSTI E. On the Regularity of the Minima of Variational Integrals[J]. Acta Mathematica, 1982, 148(1): 31-46. Google Scholar
[15]	IWANIEC T, LUTOBORSKI A. Integral Estimates for Null Lagrangians[J]. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1993, 125(1): 25-79. Google Scholar
[16]	IWANIEC T, MARTIN G. Geometric Function Theory and Nonlinear Analysis[M]. Oxford: Clarendon Press, 2001. Google Scholar

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

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