Two Types of Closed Convex Hypersurfaces with Constant Cross-sectional Curvature for the Central Affine Metric

本文中，Minkowski空间指具有光滑的强凸Minkowski范数F的n+1维实向量空间V，且n≥2. 其中Minkowski范数F指函数V [0，+∞)，满足：

(ⅰ) 正则性：F在V上连续，在V₀=V\{0}上光滑；

(ⅱ) 正齐次性：

(ⅲ) 强凸性：对于任意非零向量y ≠0，

正定.

V₀上的黎曼度量$\hat{\boldsymbol{g}}=\hat{\boldsymbol{g}}_{i j}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}) \mathrm{d} \boldsymbol{y}^i \otimes \mathrm{d} \boldsymbol{y}^j$显然是Hessian形度量^[12]. 在Finsler几何中通常定义Cantan张量为

Hessian度量$\widehat{\mathit{\boldsymbol{g}}}$的联络系数与Cantan张量的关系式为

根据Hessian几何的标准结果可知$\widehat{\mathit{\boldsymbol{g}}}$的Riemann曲率张量为

关于Hessian流形较为详细的研究可进一步参见文献[13].

接下来，本文主要考虑Minkowski空间(V，F)的单位球面

单位球面I_F在黎曼流形(V₀，$\widehat{\mathit{\boldsymbol{g}}}$)中的超曲面几何的讨论可参见文献[1]. 本文将从中心仿射几何的观点研究单位球面I_F. 事实上，单位球面I_F的这两种几何是完全相同的.

下面简要介绍超曲面的中心仿射几何结构. 事实上，仿射空间中非退化超曲面的中心仿射几何是相对微分几何的一个特殊情形，关于相对微分几何的理论可参见文献[6-8]. 我们将从参数化超曲面的角度给出中心仿射几何的一种描述.

设$\mathit{\boldsymbol{f}}: U \longrightarrow \mathbb{R}^{n+1}$为嵌入映射，其中U是$\mathbb{R}^{n}$中的连通开域. 那么M= f(U)称为$\mathbb{R}^{n+1}$中的嵌入超曲面. 本文假设M非退化，且其上有中心法化诱导的$G L(n+1; \mathbb{R})$不变黎曼度量h，称为中心仿射度量，$\mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{p}}) \in M$处的切空间${\mathit{\boldsymbol{T}}_{\mathit{\boldsymbol{f}}(\mathit{\boldsymbol{p}})}}$由$\left\{\left.\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}^1}\right|_\mathit{\boldsymbol{p}}, \cdots, \left.\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}^n}\right|_\mathit{\boldsymbol{p}}\right\}$张成，此外，我们假设向量场f与M处处横截，即

对任意p ∈U构成$\mathbb{R}^{n+1}$的一组基. 则f的Hessian具有以下分解：

设${\nabla _{\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}^i}}}}}\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}^j}}} = \mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma} }}_{ij}^k\frac{{\partial \mathit{\boldsymbol{f}}}}{{\partial {\mathit{\boldsymbol{x}}^k}}}$，则▽在TM上定义了一个无挠的仿射联络. 另外，$\boldsymbol{h}=\boldsymbol{h}_{i j} \mathrm{~d} \boldsymbol{x}^i \otimes \mathrm{d} \boldsymbol{x}^j$在TM上定义了一个半黎曼度量. 在本文中，我们只考虑h是正定的情况. 易知▽和h均为$G L(n+1; {\mathbb{R} })$不变量.

对方程(3)两边再求一次导数，可得

根据

以及▽的曲率定义

从(4)式，我们得到

令$\widehat{\mathit{\boldsymbol{C}}}= -\frac{1}{2} \nabla \boldsymbol{h}$，那么在局部坐标系下

容易证明$\widehat{\mathit{\boldsymbol{C}}}$是全对称的(0，3)-形张量.

令$\boldsymbol{C}=\nabla-\nabla^\boldsymbol{h}$，其中▽^h是h的Levi-Civita联络. 用$\tilde{\mathit{\boldsymbol{ \boldsymbol{\varGamma}}}}_{i j}^k$记▽^h的联络系数，因此

因为▽^hh =0，由(7)式可知

根据(6)式，可知

因此，我们得到

由(7)式容易得到联络▽和▽^h的曲率之间的关系

此处$\tilde{\boldsymbol{R}}$表示▽^h的曲率张量，C_{ij, k}^l表示▽^hC的系数. 从(5)式和(9)式，我们可以得到

根据张量的对称性，(10)式等价于下面两个方程：

和

这里的(11)和(12)两式即为超曲面中心仿射几何的结构方程.

此外，Tchebychev形式$\widehat{\mathit{\boldsymbol{T}}}$定义为3-形式的迹

$\widehat{\mathit{\boldsymbol{T}}}$关于h的对偶向量场T称为Tchebychev向量场.

下面的引理1给出了Minkowski空间(V，F)的几何量与单位球面I_F的中心仿射几何量之间的关系.

引理1 ^[14]   对于Minkowski空间(V，F)，设i：I_F→V是单位球面I_F的嵌入映射. 对每个点v ∈I_F，如果选择$\boldsymbol{y}=-\boldsymbol{v} \in \boldsymbol{T}_v V$以及$\boldsymbol{Y}=-\mathrm{d} F \in \boldsymbol{T}_\boldsymbol{v}^* V$，那么{Y，y}给出了I_F上的中心仿射法化. 进一步，中心仿射度量和3-形式满足

根据引理1，可得下面的引理：

引理2   对于给定的Minkowski空间(V，F)，黎曼流形(V₀，$\widehat{\mathit{\boldsymbol{g}}}$)平坦当且仅当I_F的中心仿射度量具有常截面曲率1.

证   根据黎曼流形(V₀，$\widehat{\mathit{\boldsymbol{g}}}$)曲率张量的表达式(1)以及3-形式与Cartan张量的关系式(14)，可知$\mathit{\boldsymbol{\hat R}} = {\bf{0}}$，蕴涵

在I_F上成立. 根据(12)式可知，I_F的中心仿射度量的曲率张量满足

即I_F的中心仿射度量具有常截面曲率1. 另外，只需注意到Cartan张量的齐次性，上述过程反过来即可给出充分性的证明.

根据引理2可知，Laugwitz关于Minkowski空间的猜测^[3]可等价转化为闭凸超曲面的唯一性问题.

本节将在n+1维线性空间V上附加一个欧式内积〈，〉. 对于V中的闭超曲面，我们将用欧氏超曲面几何量来表示中心仿射几何量. 令D是一个原点在内部的凸体，假设边界$M=\partial D$光滑. 设M的欧氏外法向量为ξ. 令Ⅰ和Ⅱ分别为M的第一和第二基本形式. 令▽^e为第一基本形式Ⅰ的Levi-Civita联络，令ω(Ⅰ)表示第一基本形式Ⅰ下的体积元. 令ρ(v)=〈v，-ξ(v)〉为M的支撑函数. M的Guass曲率有如下表示：

引理3   M的中心仿射度量h可用欧氏几何量表示为

中心仿射度量h的体积元ω(h)可表示为

Tchebychev形式$\widehat{\mathit{\boldsymbol{T}}}$=dτ，其中τ为Tchebychev势函数

仿射联络与欧氏联络▽^e的关系为

中心仿射3-形式$\widehat{\mathit{\boldsymbol{C}}}$可以表示为

证   令X，Y为M上的两个向量场，那么有

其中$\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}$是向量场Y和X在平坦联络$\bar{\nabla}$下的协变导数，第一个等号是$\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}$关于中心仿射法化的分解，第二个等号是$\bar{\nabla}_{\boldsymbol{X}} \boldsymbol{Y}$关于欧氏法化的分解.

用ξ对(21)式两边做内积，可得

整理后便得到(16)式. 进一步，根据(15)和(16)式，可得

因此(17)式成立.

我们将V上由内积诱导的体积元记作Det，M上由中心仿射法化和Det诱导的体积元ω可表示为

由于Tchebychev形式$\widehat{\mathit{\boldsymbol{T}}}$=dτ，而$\tau=\frac{1}{n} \ln \left|\frac{\omega}{\omega(\boldsymbol{h})}\right|$，由(17)和(22)式可得(18)式.

另外，由(16)和(18)式容易得到

因此(19)式成立. 而(20)式是(19)式和(6)式的直接推论.

定理1′    对于原点在内部，边界为光滑强凸超曲面的凸体D，若D的重心在原点且M=∂D的在中心仿射度量下的体积为同维数欧氏球面的体积，则M为椭球面.

证   根据文献[15]，D的n+1-仿射表面积为

由(17)式可知，$\mathit{\Omega}_{n+1}(D)=\int_M \omega(\boldsymbol{h}) \mathrm{d} M$正是M在中心仿射度量下的体积.

根据仿射等周不等式^[15]，可知

其中ω_n为欧氏空间$\mathbb{R}^{n+1}$中标准球面Sⁿ的体积，等号成立当且仅当D是中心在原点的椭球. 定理1′得证.

根据引理1可知定理1与定理1′等价.

从定理1的证明可知，仿射等周不等式在Laugwitz猜测的研究中有重要意义，如何获得更加一般的几何不等式是一个亟待研究的课题，这方面的研究方法很多，其中曲率流是很有效的方法^[16-20].

设M为$\mathbb{R}^{n+1}$中的非退化超曲面，而h是M上的中心仿射度量. 设{e₁，…，e_n}是相对于度量h的局部幺正标架场，其对偶标架场为{θ¹，…，θⁿ}.

在标架场{θ¹，…，θⁿ}下，超曲面M的结构方程(12)可表示为

超曲面M的Simon 3-形式$\mathit{\boldsymbol{\widetilde C}}$定义为3-形式C的无迹部分，

其中

超曲面M的中心仿射Tchebychev算子定义为$\mathscr{T}=\nabla^h \boldsymbol{T}$，无迹Tchebychev算子定义为$\mathscr{T}$的无迹部分$\tilde{\mathscr{T}}=\mathscr{T}-\frac{1}{n} \operatorname{tr} \mathscr{T} \cdot \mathrm{id}$.

引理4   设M为$\mathbb{R}^{n+1}$中的非退化超曲面，如果M的中心仿射度量h具有常截面曲率c＞0，且具有平行无迹Tchebychev算子$\nabla^{\boldsymbol{h }}\tilde{\mathscr{T}}=0$，那么

其中Δ^h表示由度量h给出的Laplace算子.

证   直接计算可得

其中$\Delta^{\boldsymbol{h }} \tilde{\boldsymbol{C}}_{k i j}=\sum\limits_t \tilde{\boldsymbol{C}}_{k i j, t t}$为Simon 3-形式的Laplace. 在下面的计算中我们将省略求和符号，重复指标默认为求和.

根据(11)和(24)式可知，在适当的标架场下，有

由Ricci恒等式可知

由(27)和(28)式以及假设$\nabla^{\boldsymbol{h}} \widetilde{\mathscr{T}}=0$，我们有

假设度量h具有常截面曲率c＞0，那么

由(26)，(27)和(28)式，可得

由此(25)式得证.

定理2′   对于$\mathbb{R}^{n+1}$中原点在内部的闭凸超曲面M，如果M的中心仿射度量h具有常曲率c＞0，并且具有平行的无迹Tchebychev算子$\nabla^{\boldsymbol{h }}\tilde{\mathscr{T}}=0$，那么M是中心在原点的椭球面.

证   根据引理4和散度定理可知

因此$\|\tilde{\boldsymbol{C}}\|^2=0$. 由(24)式可得

根据截面曲率的假设(30)式和结构方程(23)式，可得

由(32)式，可得

结合(31)和(33)式，可知

所以‖T‖²为常数. 因T =▽^hτ，而M是闭超曲面，故T必有零点. 所以T = 0. 根据Blaschke-Deicke定理可知定理2′成立.

同样，根据引理1可知定理2与定理2′等价.