Finiteness Theorems for L^p-Tuned 1-Form on Minimal Hypersurfaces in Spherical Space

设M^m(m≥3)是球空间$\mathbb{S}^{m+1}$中的完备非紧定向极小超曲面，M^m上的稳定算子定义为

其中Ric是$\mathbb{S}^{m+1}$的Ricci曲率，n是M^m在$\mathbb{S}^{m+1}$中的单位法向量场，|A|是M^m的第二基本形式模长. 记Ω为M^m的一个有界区域，则Ω的指数ind(L_Ω)定义为L在Ω上负特征值的个数，M^m的指数ind(L)定义为

易见，ind(L)=0当且仅当M^m是稳定的. M^m具有有限的指数，则存在一个紧致子集D⊂M，使得M\D是稳定的(参见文献[20]的命题1)，即对任意的f∈C₀^∞(M\D)，有

其中dM表示M^m的体积元. 记B_x0(r₀)为M^m上的以r₀为半径、x₀为球心的测地球.由稳定算子特征值的区域单调性，若D⊂B_x0(r₀)，则M\B_x0(r₀)是稳定的. 不失一般性，设D=B_x0(r₀)，便有

为证明主要定理，我们需要如下引理：

引理1^[21]  设M^m是m维完备非紧黎曼流形，E是M^m上L^p调和q-形式空间的一个有限维子空间，则对任意的x∈M，r>0，存在ω∈E，使得

引理2^[18]  设M^m(m≥3)是球空间$\mathbb{S}^{m+n}$中的完备非紧子流形，则对任意f∈C₀^∞(M)，有

其中C₀>0是仅依赖于m的正常数，H是M^m的平均曲率向量.

定理1的证明  对任意ω∈H¹(L^p(M))，使用Bochner公式^[22]有

其中ω^#表示ω的对偶向量场. 另一方面，直接计算易得

联立(2)，(3)式，并结合Kato不等式^[23]

便有

依据文献[24]对子流形Ricci曲率的估计，对$\mathbb{S}^{m+1}$中的极小超曲面M^m有

因此，对任意的p≥0，结合(4)，(5)式，直接计算有

以下为方便起见，积分都省去体积元.

一方面，由(1)式，令$f=\eta|\boldsymbol{\omega}|^{\frac{p}{2}}$，对任意的η∈C₀^∞(M\B_x0(r₀))，有

由于$\mathbb{S}^{m+1}$沿n的Ricci曲率Ric(n)=m. 应用散度定理，(7)式可化为

将(6)式代入(8)式，可以得到

由(9)式和假设2≤p < $\frac{2 m}{m-1}$，有

其中常数C₁>0，C₂>0，且仅与m，p的取值有关. 此外，应用引理2(M^m极小，故H=0，令f=$\eta|\boldsymbol{\omega}|^{\frac{p}{2}}$)，并结合Cauchy-Schwarz不等式，有

联立(10)，(11)，(12)式，便有

其中C₃=C₀(2C₁+2+m²C₂).

对(13)式，由η∈C₀^∞(M\D)的任意性，可选取r>r₀+1，使得对常数C₄>0，任意的x∈M，

则有

其中C₅=C₃C₄. 令r→∞，又因ω∈H¹(L^p(M))，所以

对(14)式的左边项应用Hölder不等式，有

将(15)式代入(14)式，可以得到

因此

其中C₆=Vol(B_x0$\left.\left(r_0+2\right)\right)^{\frac{2}{m}}$·C₅+1.

另一方面，记T=$\left.\left|(m-1)-\frac{m-1}{m}\right| \boldsymbol{A}\right|^2 \mid$，则由(5)式可知

对任一x∈M，记B_x(1)为M上以x为球心、1为半径的测地球. 对任意给定的p≥2，ξ∈C₀^∞B_x(1)，(17)式两边同乘ξ²|ω|^p-2并积分，有

对(18)式的左边项应用散度定理及Cauchy-Schwarz不等式并整理，可得

另外，应用Cauchy-Schwarz不等式，我们有

于是，联立(19)，(20)式，并结合引理2，令$f=\xi|\boldsymbol{\omega}|^{\frac{p}{2}}$，则有

其中

易见，E≤mp+1≤m²p，F≤p≤m²p，所以，(21)式可化为

对上述p≥2，ξ∈C₀^∞(B_x(1))，给定k(k=0，1，2，…)，令$p_k=\frac{2 m^k}{(m-2)^k}$，$\rho_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{2^k}$，使得对x′∈B_x(1)，有

则由(22)式，我们有

(23) 式不等号两边各项指数同乘$\frac{1}{p_k}$，并记C₇=C₀m²·(2³+$\sup\limits_{B_x(1)} T$+1)，可得

进一步，对(24)式，从k=0开始作指数迭代，有

容易算得$\prod\limits_{k=0}^{\infty}\left(C_7 2^k p_k\right)^{\frac{1}{p_k}}$收敛，所以存在仅依赖于m，$\sup\limits_{B_x(1)} T$的常数C₈>0，使得

对上述x∈M，选取x∈B_x0(r₀+1)，使得|ω|(x)=$ \sup\limits_{\left({B_{x_0}}r_0+1\right)}$ |ω|(x)，则由(25)式有

因此，记C₉= (C₈)²，可以得到

最后，联立(16)，(26)式，便有

其中C₁₀=C₆·C₉. 于是，对H¹(L^p(M))的任意一个有限维子空间E，结合(27)式和引理1，有

记

则dim E≤C₁₁，其中C₁₁>0是仅与m，p，Vol(B_x0(r₀+2))，$\sup\limits_{{{{B}}_{x_0}}\left(r_0+2\right)} T$有关的常数. 因此，H¹(L^p(M))的维数有限. 进一步，若取p=2，则M^m上L²调和1-形式空间的维数有限，所以M^m最多仅有有限多个非抛物端. 定理1证毕.

定理2的证明  任意的ω∈H¹(L^p(M))，由定理1的证明，(9)式成立，即

记S(η)=$\left(\int_{\operatorname{supp} \eta}|\boldsymbol{A}|^m\right)^{\frac{1}{m}}$，使用Hölder不等式和Sobolev不等式，便有

对任意的ε>0，由Cauchy-Schwarz不等式，有

联立(28)，(29)式，可以得到

其中

选取足够小的ε>0，由于条件假设p>$\frac{2 m}{m-1}$，故G>0. 不难验证，若

则E>0，F>0.

令$C_1^{\prime}=\frac{G}{E}$，$C_2^{\prime}=\frac{G}{F}$，则

其中C′₁>0，C′₂>0是仅依赖于m，p的常数，即在定理的假设条件下同样有(10)，(11)式成立(仅相差常数部分). 同理，应用引理2有(12)式成立. 因此，由定理1的证明可得H¹(L^p(M))的维数有限. 定理2证毕.