Analysis on a SIS Epidemic Reaction-Diffusion-Advection Model with External Source and Frequency-Dependent Incidence Rate in an Open Spatial Heterogeneous Environment

由抛物方程的理论，系统(1)在$C^{2, 1}\left([0, L] \times\left(0, T_{\max }\right)\right)\left(0<T_{\max } \leqslant \infty\right) $上有唯一的经典解. 由I₀≥0且$I_0 \not \equiv 0 $和抛物方程的极大值原理可得该系统的解是正解. 本节将证明模型(1)解的一致有界性，从而得到解的全局存在性. 为了记号方便，规定：

对$g=\beta, \gamma, \mathit{\Lambda}, a $.

定理1  对于给定的初始值(S₀，I₀)，系统(1)的解全局存在且一致有界，即存在与初始值无关的常数M>0，使得对于某个充分大的常数T>0，有

证  只证明解的一致有界性. 即对任意正整数k，都存在与初始值无关的正常数M=M(k)，使得对于某个充分大的正数T，有

我们采用数学归纳法证明. 对于k = 1，取合适的ε>0，满足$a_*-\varepsilon \beta^*>0 $

其中：$ \vartheta=\int_0^L \mathit{\Lambda}(x) \mathrm{d} x, \theta=\min \left\{a_*-\varepsilon \beta^*, \frac{\varepsilon \gamma_*}{1+\varepsilon}\right\}>0$. 由Gronwall不等式，

故当k=1时，(2)式成立. 假设对于k-1，(2)式成立. 下证：对于k，(2)式仍成立. 事实上，在系统(1)第一、二个方程两边分别乘以$S^{k-1}, I^{k-1} $后积分，有

取合适的ε′，ε>0满足$\left(\beta^*+\gamma^*\right) \varepsilon^{\prime}-\gamma_*=\left(\beta^*+\gamma^*\right) C\left(\varepsilon^{\prime}, k\right)-a_*=-\frac{\gamma_*}{2} $. 由归纳假设，存在C>0，使得

由Gronwall不等式，

则(2)式对k成立. 再由(3)式，存在某个正数M，使得

令$k \rightarrow \infty $，有

从而，系统(1)的解一致有界且全局存在.

记系统(1)对应稳态系统的无病平衡点为$\operatorname{DFE}(\hat{S}, 0) $，流行病平衡点为EE. 我们首先证明DFE的存在唯一性.

定理2   系统(1)的无病平衡点$\operatorname{DFE}(\hat{S}, 0) $存在且唯一.

证  $\operatorname{DFE}(\hat{S}, 0) $的存在唯一性等价于系统

正解的存在唯一性. 作变换$\widetilde{S}=\mathrm{e}^{-\frac{q x}{d S}} S \text { ，则 } \widetilde{S} $满足

注意到a(x)>0，则特征值问题

的主特征值μ₁ < 0，其对应的主特征函数$ \varnothing_1>0$. 取$\widetilde{S}_1=\frac{\max \left\{\mathit\Lambda(x) \mathrm{e}^{-\frac{q x}{d S}}\right\}}{\min \{a(x)\}}, \widetilde{S}_2=\varepsilon \varnothing_1 $，且$ \varepsilon \leqslant\min \left\{-\frac{\mathit{\Lambda}(x) \mathrm{e}^{-\frac{q x}{d S}}}{\mu_1 \varnothing_1}\right\}$为一个充分小的正数，使得$ \widetilde{S}_1>\widetilde{S}_2$. 不难发现，$ \widetilde{S}_1, \widetilde{S}_2$是系统(5)的一对上下解. 从而，系统(5)存在正解. 设$\widetilde{S}_*, \widetilde{S}_{**} $为系统(5)的两个正解，则$\widetilde{S}_*-\widetilde{S}_{**} $满足系统

由文献[14]知，系统(6)有唯一解ω=0. 故$ \widetilde{S}_*=\widetilde{S}_{**}$. 因此，$ \operatorname{DFE}(\hat{S}, 0)$存在且唯一.

接下来，研究DFE的稳定性. 系统(1)对应的稳态系统在$ (\hat{S}, 0)$处线性化对应的特征值问题为

考虑其无耦合的特征值问题

由Krein-Rutman定理，特征值问题(8)的主特征值(记作λ₁)是简单的，且对应正的主特征函数. 参考文献[1, 9]中基本再生数R₀的定义，考虑

作变换$ \zeta(x)=\mathrm{e}^{-\frac{q x}{d I}} \xi(x) \text {, 则 } \zeta(x)$满足

由变分法可得R₀的表达式为

参考文献[9]的引理2.2，经过简单的计算可得λ₁与R₀有如下关系：

引理1  对任意的$ d_S, d_I, q, m>0 \text {, 有 } \frac{1}{R_0}-1 \text { 与 } \lambda_1$同号.

证  对特征值问题(8)中的$ \psi(x) \text { 作变换 } \eta(x)=\mathrm{e}^{-\frac{q x}{d I}} \psi(x) \text {, 则 } \eta(x)$满足

方程(11)的两边同乘以ξ(x)后进行(0，L)上的积分，与方程(9)两边同乘以η(x)后进行(0，L)上的积分作差得

因为$ \int_0^L \xi \eta \mathrm{d} x \text { 和 } \int_0^L \beta(x) \frac{\hat{S}}{m+\hat{S}} \xi \eta \mathrm{d} x$为正，所以$ \frac{1}{R_0}-1 \text { 与 } \lambda_1$同号.

于是，DFE的稳定性可由R₀决定. 接下来，我们得到了DFE的稳定性.

定理3  若R₀ < 1，则DFE线性稳定；若R₀>1，则DFE不稳定.

证  设R₀ < 1，σ是特征值问题(7)的谱. 注意到$ \sigma=\sigma\{\psi=0\} \cup \sigma\{\psi \neq 0\} \text {. 当 } \sigma\{\psi=0\}$时，即考虑特征值问题

由a(x)>0知特征值问题(12)的主特征值大于0. 因此，问题(12)的所有特征值λ满足

当σ{ψ≠0}时，只需考虑无耦合的特征值问题(8). 由引理1，问题(8)的主特征值λ₁>0. 从而

综上，inf{Re λ}>0. 故当R₀ < 1时DFE稳定.

设R₀>1. 由引理1，特征值问题(8)的主特征值λ₁ < 0. 对于特征值问题(7)，取$\lambda=\lambda_1 \text { 且 } \psi=\psi_1 $是λ₁在特征值问题(8)中对应的主特征函数. 此时，φ在问题(7)中唯一可解，故存在问题(7)的非平凡解，使得Re λ < 0. 故当R₀>1时，DFE不稳定.

注1  参考文献[5]的定理3.2可证：当$ \beta(x)<\gamma(x)$(此时，R₀ < 1)或m充分大时，DFE全局吸引. 从而，DFE全局渐近稳定.

上一节，证明了当R₀ < 1时，DFE的局部稳定性. 本节将研究当R₀>1时，系统(1)的一致持续性.

定理4  给定(S₀，I₀)，若R₀>1，则系统(1)一致持续：存在ε₀> 0，使得

对x∈[0，L]一致成立. 此外，系统(1)至少存在一个EE.

证  令$E=C([0, L]), E^{+}=\{u(x) \in E \mid u(x) \geqslant 0, \forall x \in[0, L]\} $和$U=E^{+} \times E^{+} $；令$U_0=\left\{\left(S_0, I_0\right) \in U \mid I_0 \not \equiv 0\}\right.$和$ \partial U_0=\left\{\left(S_0, I_0\right) \in U \mid I_0 \equiv 0\right\}$，则$U=U_0 \cup \partial U_0, U_0 \text { 和 } \partial U_0 $分别是U的开、闭子集. 为证得该定理，我们将运用文献[15]的结论. 给定$ \left(S_0, I_0\right)$，系统(1)产生一个U到U上的半群T(t)：$T(t)\left(S_0, I_0\right)=(S(\cdot, t), I(\cdot, t)), \forall t \geqslant 0 $. 由定理1，T(t)在U上点耗散. 由文献[11]的定理21.2，T(t)是连续和紧的. 由强极大值原理，对t≥0，有$ T(t) U_0 \subseteq U_0 \text { 且 } T(t) \partial U_0 \subseteq \partial U_0 $. 令$M_{\partial} \stackrel{\Delta}{=}\left\{\left(S_0, I_0\right) \in \partial U_0 \mid T(t)\left(S_0, I_0\right) \in \partial U_0, \forall t \geqslant 0\right\} $，$\omega\left(\left(S_0, I_0\right)\right) \text { 是 }\left\{T(t)\left(S_0, I_0\right) \mid t \geqslant 0\right\} $的ω极限集.

先证$ \bigcup\limits_{\left.(S_0, I_0\right) \in M \partial} \omega\left(\left(S_0, I_0\right)\right)=\{(\hat{S}, 0)\}$. 事实上，对I₀≡0，则对任意的t≥0，有I≡0及S满足

由于系统(13)有唯一的正稳态解$\hat{S} $且全局渐近稳定，则$ \lim\limits _{t \rightarrow \infty} S(x, t)=\hat{S}(x) \text { 在 }[0, L]$上一致成立.

再证对任意的(S₀，I₀)∈U₀，都存在δ₀>0，使得$ \limsup\limits_{t \rightarrow \infty} \left\|T(t)\left(S_0, I_0\right)-(\hat{S}(x), 0)\right\| \geqslant \delta_0$. 事实上，由引理1，当R₀>1时，λ₁ < 0. 由主特征值的连续性，存在ε₀，使得$ \lambda_1\left(\varepsilon_0\right)<-\varepsilon_0<0$，其中λ₁(ε₀)是问题

的主特征值，Ψ₀为λ₁(ε₀)对应的主特征函数. 固定ε₀，假设对于任给的ε>0，有

取ε < ε₀，存在T>0，使得当t≥T时，有$\hat{S}-\varepsilon_0<\hat{S}-\varepsilon<S(x, t)<\hat{S}+\varepsilon<\hat{S}+\varepsilon_0, 0 \leqslant I(x, t)<\varepsilon<\varepsilon_0 $. 对上述ε₀，不难发现I是

的上解. 若(S₀，I₀)∈U₀，则$ S(\cdot, t) \gg 0, I(\cdot, t) \gg 0, \forall t \geqslant 0$. 不妨设$ \left(S_0, I_0\right) \in \operatorname{int}\left(E^{+}\right) \times \operatorname{int}\left(E^{+}\right)$，则存在c>0，使得$I(x, T) \geqslant c \mathit\Psi_0(x) $. 而$ c \mathrm{e}^{-\lambda_1\left(\varepsilon_0\right) t} \mathit\Psi_0(x)$是系统(14)的解. 因此，I(x，t)≥ $c \mathrm{e}^{-\lambda_1\left(\varepsilon_0\right) t} \mathit\Psi_0(x) \rightarrow \infty(t \rightarrow \infty) \text { 在 }[0, L] $上一致成立，这与I有界矛盾，结论成立. 由以上两个结论可知，$ (\hat{S}, 0)$是T在U中孤立的不变集，且$ W^S((\hat{S}, 0)) \cap U_0=\varnothing$，其中$W^S((\hat{S}, 0)) \text { 是 }(\hat{S}, 0) $在T上的稳定集. 结合文献[12]定理3.3类似的论述可得系统(1)的一致持续性. 此外，由文献[13]定理1.3.7，一致持续性蕴含EE的存在性.

上述研究表明系统(1)解的性态主要由R₀决定，接下来我们将研究R₀的性质. 为了书写方便，将q=0时的R₀记作$\hat{R}_0=R_0\left(m, d_S, d_I, 0\right) $.

定理5  设$a^{\prime}(x)-\frac{\mathit\Lambda^{\prime}(x)}{\hat{S}(x)} \leqslant 0 $. 固定$d_I, d_S, m>0 $，则R₀在[0，+∞)上关于q严格单调递减. 同时，$ \lim\limits _{q \rightarrow 0} R_0=\hat{R}_0, \lim\limits _{q \rightarrow \infty} R_0=0$.

证  先证$\hat{S} $在(0，L)内关于x严格单调递增. 事实上，$\hat{S} $满足系统

令$ u=\frac{\hat{S}_x}{\hat{S}}$，则u满足

由极大值原理，当$a^{\prime}(x)-\frac{\mathit{\Lambda}^{\prime}(x)}{\hat{S}(x)} \leqslant 0 $时，有u>0. 从而，$ \hat{S}_x>0, x \in(0, L)$.

再证$\hat{S} $在[0，+∞)上关于q严格单调递减. 事实上，在系统(15)两边同时对q求导得

由于$\hat{S} $在(0，L)内关于x严格单调递增，所以当$ a^{\prime}(x)-\frac{\mathit\Lambda^{\prime}(x)}{\hat{S}(x)} \leqslant 0$时，有$ \hat{S}_x>0$. 故由极大值原理，$\hat{S}_q^{\prime}<0 $.

最后证R₀对q的单调性. 在系统(10)两边同时对q求导得

其中ζ′表示ζ对q的导函数. 系统(17)第一个方程两边同乘以$ \mathrm{e}^{\frac{q x}{d I}} \zeta$后对x进行(0，L)上的积分，与系统(10)第一个方程两边同乘以$\mathrm{e}^{\frac{q x}{d I}} \zeta^{\prime} $后对x进行(0，L)上的积分相减得

由于$\hat{S} $在[0，+∞)上关于q严格单调递减，所以$\hat{S}_q^{\prime}<0 $. 从而，$ R_0^{\prime}(q)<0$，即R₀在[0，+∞)上关于q严格单调递减.

最后，由R₀对q的连续性可知，$\lim\limits _{q \rightarrow 0} R_0=\hat{R}_0 $. 再参考文献[10]中引理4.9的证明方法可得$ \lim\limits _{q \rightarrow \infty} R_0=0$.

注2  特别地，若Λ(x)，a(x)恒为正常数或$a^{\prime}(x) \leqslant 0, \mathit\Lambda^{\prime}(x) \geqslant 0 $，则满足以上定理5的条件，进而R₀在[0，+∞)上关于q严格单调递减，因此对流速度q的增加有利于传染病的控制.

定理6  设$a^{\prime}(x)-\frac{\mathit\Lambda^{\prime}(x)}{\hat{S}(x)} \leqslant 0 $. 固定m，d_S>0，以下是R₀对d_I，q的依赖性：

(i) 若$ \int_0^L \beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)} \mathrm{d} x>\int_0^L \gamma(x) \mathrm{d} x$，则存在唯一的阈值$ \bar{q}$，使得当$ 0<q<\bar{q} \text { 时 } R_0>1$，当q>$ \bar{q}$时R₀ < 1.

(ii) 若$\int_0^L \beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)} \mathrm{d} x<\int_0^L \gamma(x) \mathrm{d} x $，且$\beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)}-\gamma(x) \text { 在 }(0, L) $内变号，则存在唯一的阈值$d_I^*>0 \text { 满足方程 } \hat{R}_0\left(d_I^*\right)=1 $，使得

(a) 对于d_I∈(0，d_I^*)，存在唯一的阈值$\tilde{q} $，使得当0 < q < $\tilde{q} $时R₀>1，当q>$\tilde{q} $时R₀ < 1；

(b) 对于d_I∈[d_I^*，∞)，对任意的q>0，有R₀ < 1.

证  (i) 由定理5，$ \lim\limits _{q \rightarrow \infty} R_0=0$. 再由文献[5]的命题2.3，若$ \int_0^L \beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)} \mathrm{d} x>\int_0^L \gamma(x) \mathrm{d} x$，则$\lim\limits _{q \rightarrow 0} R_0=\hat{R}_0>1 $. 因此，至少存在一个阈值$\bar{q}>0 \text {, 使得 } R_0(\bar{q})=1 $. 由定理5知，当$ a^{\prime}(x)-\frac{\mathit\Lambda^{\prime}(x)}{\hat{S}(x)} \leqslant 0$时$ R_0^{\prime}(q)<0$. 从而$\bar{q} \text { 是 } R_0(q)=1 $唯一的根.

(ii) 由定理5，$R_0^{\prime}(q)<0 \text { 且 } \lim\limits _{q \rightarrow \infty} R_0=0 $. 由文献[5]的命题2.3，若$ \int_0^L \beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)} \mathrm{d} x<\int_0^L \gamma(x) \mathrm{d} x$，且$\beta(x) \frac{\hat{S}(x)}{m+\hat{S}(x)}-\gamma(x) $在(0，L)内变号，则当d_I∈(0，d_I^*)时$ \lim\limits _{q \rightarrow 0} R_0=\hat{R}_0>1$，当d_I∈[d_I^*，∞)时$\lim\limits _{q \rightarrow 0} R_0=\hat{R}_0<1 $. 对于d_I∈(0，d_I^*)，存在阈值$ \tilde{q}>0$，使得当$ 0<q<\tilde{q} \text { 时 } R_0>1$，当$q>\tilde{q} \text { 时 } R_0<1 $. 对于d_I∈[d_I^*，∞)，则不存在这样的q^*>0满足R₀(q^*)=1. 即对任意q≥0，有R₀ < 1.

注3  对比文献[5]的命题2.3中$ \hat{R}_0$的性质，我们发现在开放对流环境下，对流率q使得基本再生数的性质发生显著变化. 首先在风险较高的区域，当q充分大时，R₀ < 1. 其次在低风险区域，即使当d_I较小时，只要q充分大，仍然有R₀ < 1. 综上可知，在开放对流环境下，对流率的增加有利于疾病的控制.

本文研究了一个开放对流环境下服从频率依赖发生率和带有外源输入的SIS模型，证得了解的一致有界性和全局存在性，论证了基本再生数R₀是系统(1)动力学行为的一个阈值，发现在一定条件下R₀关于q单调递减，且定理6表明在开放对流环境下，对流速度q的增加有助于传染病的控制. 但当R₀ < 1时，DFE的全局稳定性仍是一个具有挑战性的难题. 同时，本文仅讨论了流行病平衡点的存在性，实际上，流行病平衡点的渐近行为也是一个值得进一步研究的问题.