Asymptotic Behavior of Tail Distortion Risk Measures Based on Regular Transformation Conditions

设X是$\mathbb{R}=(-\infty, \infty)$上的随机变量，其分布函数为F_X(x). 给定一个单调非减的右连续函数g：[0, 1] [0, 1]且满足g(0)=0，g(1)=1，则与失真函数g相关的随机变量X的失真风险度量^[4]可定义为：

其中$\bar{F}_X(x):=1-F_X(x)$是随机变量X的生存函数(右尾函数).

文献[5]首次提出p水平下的尾部失真风险度量，其方法是用失真函数g(·)引出一个新的失真函数g_p(·)，两者之间的关系为

其中参数p∈(0，1) 表示置信水平，并且证明了连续损失变量X的尾部失真风险度量仍然是一个失真风险度量.

在实际应用中，失真风险度量应当同时考虑损失和利润两个方面，文献[5]提出的p水平下的尾部失真风险度量只关注了损失而未将利润考虑进去. 因此，综合损失与利润两个方面，风险变量X的p水平下的尾部失真风险度量定义如下

注意，当风险变量X连续时，该定义与文献[5]中给出的定义意义相同.

在尾部失真风险度量的定义中，参数p清楚地代表了置信水平. 正是由于风险的尾部区域对应着重大损失，它的发生往往伴随着灾难性的后果. 如今，人们热衷于度量风险的尾部区域. 因此，在本文中，我们将研究当$p \rightarrow 1$时尾部失真风险度量的渐近行为. 从这个角度来看，使用极值理论是合适的.

极值理论通常把随机样本或者随机样本中极端事件发生的概率作为主要的研究对象并且视为统计推断中的主要依据. 本文所要体现的是极值理论在风险度量中的应用，用极值理论的方法来拟合金融数据有两个明显优势：①能够针对资产收益的尾部进行很好的刻画，得到的近似分布也更加贴近实际情况; ②该方法只关注尾部分布而不用考虑整体分布的情况，因此减少了模型选用不当的风险.

设{X_n，n≥1}是一列独立同分布的随机变量序列，其累积分布函数是F(x)，记M_n=max{X_i，1≤i≤n}为{X_n，n≥1}的最大值. 如果存在赋范化常数a_n>0和b_n，使得对一非退化分布函数G中所有连续点x，都有

那么，就称F(x)属于G的吸引场，记为F∈D(G). 由文献[6-7]可知G有3种类型. 在同类意义下，这3种类型可统一写为广义极值分布

其中$\gamma \in \mathbb{R}$，称γ为极值指数.

由于本文讨论的一阶渐近行为是建立在3种吸引场情况上的，因此我们用广义正则变换的概念对这3种吸引场进行统一描述. 对于一个正可测函数f(·)，有指数$\gamma \in \mathbb{R}$，如果存在一个辅助函数a(·)>0，对所有的x>0都满足

则定义正可测函数f(·)是指数为γ的广义正则变换，记为f(·)∈ERV_γ.

在下文中我们假定函数$U(t)=\left(\frac{1}{1-F}\right)^{\leftarrow}(t)=F^{\leftarrow}\left(1-\frac{1}{t}\right), t \geqslant 1$是指数为$\gamma \in \mathbb{R}$的广义正则变换(记为U∈ERV_γ)，其一阶辅助函数为a₀(·)>0，其中F (x)=inf{y：F(y)≥x}是F的广义逆函数.

通过文献[8]中的定理6可以将R_p(X)重新定义为：

此关系式将是我们推导R_p(X)渐近行为的起点.

从关系式(1)中我们可以看出，当$p \rightarrow 1$时当且仅当R_p(X) $F^{\leftarrow}(1)$，并且我们假设P(X=$F^{\leftarrow}(1)$)=0，否则当p趋近于1时, R_p(X)=$F^{\leftarrow}(1)$. 对于一个分布函数为F的风险变量X，我们考虑其分布函数是来自极值分布的三大吸引场的最大吸引域.

当上端点$F^{\leftarrow}(1)$=∞时，积分

通过等式左右两边变换可以得到R_p(X)的展开式即

因此我们研究R_p(X)在$p \rightarrow 1$时的渐近行为，进一步可以归结为讨论在$p \rightarrow 1$时积分

的收敛性.

同理可得，当上端点$F^{\leftarrow}(1) <\infty$时，我们研究$F^{\leftarrow}(1)-R_p(X)$在$p \rightarrow 1$时的渐近行为，进一步可以归结为讨论在$p \rightarrow 1$时积分

的收敛性.

下面给出本文的主要结果.

定理1    假设条件$U \in E R V_\gamma$成立，在重尾$(\gamma \geqslant 0)$情况下，存在η>0，使得积分$\int_1^{\infty} g\left(x^{-\frac{1}{\gamma+\eta}}\right) \mathrm{d} x$存在，那么：

1) 当上端点$F^{\leftarrow}(1)$=∞时，

2) 当上端点$F^{\leftarrow}(1) <\infty$时，

证    根据文献[6]中的定理B.2.18，可以得到在重尾(γ≥0)情况下，对于任意ε，δ>0，存在0 < p₀=p₀(δ) < 1，其中p₀≤p≤1，0 < s < 1，

为得到积分(3)和(4)的收敛值，我们还需验证下面两个不等式成立：存在δ>0，

a) 当γ=0时：利用条件$\int_1^{\infty} g\left(x^{-\frac{1}{\gamma+\eta}}\right) \mathrm{d} x < \infty$和分部积分法，得到

即不等式(5)成立; 应用勒贝格控制收敛定理，得到

即不等式(6)成立(最后一步成立是由于当γ=0时不等式(5)成立).

b) 当γ>0时：取$\delta=-\frac{\gamma}{2}$，得到

即不等式(5)成立; 由于$-\frac{1}{\gamma} <-\frac{1}{\gamma+\delta}$一定成立，因此得到

即不等式(6)成立.

最后应用勒贝格控制收敛定理即可证得.

定理2   假设条件$P\left(X=F^{\leftarrow}(1)\right)=0$成立，在重尾$(\gamma \geqslant 0)$情况下，存在$\eta>0$，使得积分$\int_1^{\infty} g\left(x^{-\frac{1}{\gamma+\eta}}\right) \mathrm{d} x$存在，可得到尾部失真风险度量$R_p(X)$的一阶渐近结果如下所示：

1) 当上端点$F^{\leftarrow}(1)$=∞时，

2) 当上端点$F^{\leftarrow}(1) <\infty$时，

证    前文中已得到R_p(X)的展开式，即

1) 当上端点$F^{\leftarrow}(1)$=∞时，

2) 当上端点$F^{\leftarrow}(1) <\infty$时，

再由定理1即可证得.