Backward Compact Random Attractors for Stochastic Zakharov Lattice Equation

本文将在l²×$\ell $²空间上讨论如下带有乘法噪音的非自治随机Zakharov格点方程：

其中α，λ，β，γ>0，$\mathbb{Z}$是整数集

(W₁，W₂) 是定义在度量动力系统(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$，{θ_t}_{t∈ $\mathbb{R}$})上相互独立的双边实值维纳过程，其中

$\mathscr{F}$是Ω上由紧开拓扑生成的Borel σ-代数，$\mathbb{P}$是(Ω，$\mathscr{F}$)上的维纳测度. 在Ω上定义映射族

$ \circ $表示Stratonovich积分意义下的乘法噪声. 对于外力项

有如下假设：

(F1) g∈L_loc²($\mathbb{R}$，l²)是后向缓增的，满足

(F2) h∈L_loc²($\mathbb{R}$，$\ell $²)是后向缓增的，满足

(F3) $2\mu > \frac{{4a\lambda }}{{\sqrt \pi }} + \frac{{a\left( {\lambda + 2\lambda \varepsilon - \alpha {\lambda ^2}} \right)}}{{\sqrt {\lambda \beta \pi } }} + \frac{{{a^2}{\lambda ^2}}}{{2\sqrt {\lambda \beta } }} + \frac{{2b}}{{\sqrt \pi }}$，其中

令

空间l²或$\ell $²上的有界线性算子A的定义为

则A=B^*B=BB^*，并且满足‖Bb‖²≤ 4‖b‖².

对任意u=(u_k)_{k∈$\mathbb{Z}$}，v=(v_k)_{k∈ $\mathbb{Z}$}∈l²，$\ell $²，定义空间l²和$\ell $²上的内积和范数分别为

其中v与v共轭，E=l_λβ²×l²×$\ell $²，并且‖·‖_λβ与‖·‖等价.

令

其中${z_1}(\theta ) = - \int_{ - \infty }^0 {{{\rm{e}}^s}} {\theta _t}{\omega _1}(s){\rm{d}}s$是方程dX+Xdt=dW₁(t)的解，${z_2}(\theta ) = - \int_{ - \infty }^0 {{{\rm{e}}^s}} {\theta _t}{\omega _2}(s){\rm{d}}s$是方程dY+Ydt=dW₂(t)的解，$\varepsilon = \frac{{\alpha \beta \lambda }}{{\lambda {\alpha ^2} + 4\beta }}$，易得$|v| = |\hat v|$，并且由文献[10]可得，z₁(θ_tω₁)，z₂(θ_tω₂)关于t连续，且

则方程(1)可以转化为以下等价形式：

令

令φ₀=(u₀，y₀，v₀)^T，则方程(8)可以改写为如下简单矩阵形式：

由文献[8, 10]可知，若假设(F1)-(F3)成立，对∀T>0，φ₀∈E，方程(8)存在唯一的解φ(·，τ，ω，φ₀)∈C([τ，+∞)，E)，且依赖于初值φ₀连续. 因此方程(8)在(Ω，$\mathscr{F}$，$\mathbb{P}$，{θ_t}_{t∈ $\mathbb{R}$})上能生成一个连续的随机动力系统{Φ(t)}，对φ₀∈E，t≥0，τ∈ $\mathbb{R}$，ω∈Ω，有

可以验证φ是一个非自治的随机动力系统，即满足

在下文中，设$\mathscr{D}$是X中所有后向缓增集构成的集合，若集合D∈$\mathscr{D}$当且仅当

则可以证明$\mathscr{D}$是包含封闭的，即若A⊂ $\tilde A$且$\tilde A$∈$\mathscr{D}$，有A∈ $\mathscr{D}$成立.

引理1  若假设(F1)-(F3)成立，则对任意后向缓增集D∈$\mathscr{D}$，∀τ∈ $\mathbb{R}$，ω∈Ω，存在T=T(D，τ，ω)≥1，使得当φ_s-t∈D(s-t，θ_-sω) 时，有

其中

证  对任意固定的τ∈ $\mathbb{R}$，ω∈Ω，φ_s-t∈D(s-t，θ_-tω)，令

其中s≤τ. φ(r)与方程(9)作内积，可得

对于(13)式中的每一项，利用Hölder不等式以及Young不等式，可得

令

则由(13)-(15)式可得

对(16)式利用Gronwall不等式，可得

由假设(F3)可得

对(17)式关于s∈(-∞，τ]取上确界，结合(10)式可知，存在T(D，s，ω)≥1，使得当t≥T时，有

因此(11)式得证，即

引理2  若假设(F1)-(F3)成立，则对∀η>0，(τ，ω，D)∈($\mathbb{R}$ ×Ω× $\mathscr{D}$)，φ_s-t∈D(s-t，θ_-sω)，存在T(η，τ，ω，D)>0，k(η，τ，ω，D)≥1，使得

证  构造一个光滑函数ρ(s)∈C¹([0，∞)，[0，1])，满足：当|s| ≤1时，ρ(s)=0；当|s|≥2时，ρ(s)=1；当1≤s≤2时，0≤ρ(s)≤1；且|ρ′(s)| < ρ₀，ρ₀>0. 令

其中

$\mathit{\boldsymbol{\hat \varphi }}$(r)与(9)式作内积(·，·)_E，并取其实部，可得

易证

则有

将(19)-(21)式代入(18)式，可得

其中c₁，c₂，…，c₉为常数，对(22)式利用Gronwall引理，可得

因为φ_s-t∈D(s-t，θ_-tω)(s≤τ)，结合(10)式可得

由引理1和假设(F1)-(F3)可得，存在T>0，当t>T时，有

因此，由(25)-(28)式可得，对∀η>0，(τ，ω，D)∈($\mathbb{R}$ ×Ω× $\mathscr{D}$)，φ_s-t∈D(s-t，θ_-tω)，存在T(ε，τ，ω，D)>0，k(ε，τ，ω，D)≥1，使得

定理1  若假设(F1)-(F3)成立，则方程(1)所生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证  因为{φ(t)}_t≥0满足文献[12](定理3.9)中的拉回吸引子的两个存在性条件：

(ⅰ) 非自治随机动力系统{φ(t)}_t≥0存在D-拉回随机吸收集K∈D，其中

(ⅱ) 非自治随机动力系统{φ(t)}_t≥0存在$\mathscr{D}$ -拉回后向一致吸收集$\mathscr{K}$ ∈ $\mathscr{D}$，其中

由文献[4]可得，非自治动力系统{φ(t)}_t≥0在吸收集K∈$\mathscr{D}$上是后向紧的. 因此方程(8)生成的非自治随机动力系统φ(t) 存在唯一的后向紧$\mathscr{D}$-拉回吸引子$\mathscr{A}$ ∈ $\mathscr{D}$和唯一的可测D-拉回吸引子A∈D. 再由文献[13]中的定理6.1知$\mathscr{A}$ =A，故吸引子$\mathscr{A}$也是随机的，即φ(t)存在唯一的后向紧$\mathscr{D}$-拉回随机吸引子$\mathscr{A}$∈$\mathscr{D}$. 再由文献[14-15]可知方程(1)与(8)生成的随机动力系统共轭，进而可得方程(1)存在后向紧随机吸引子.