Backward Compact Random Attractors for Stochastic Lattice Plate Equation

本文将在空间l²上讨论带有乘法噪音的非自治随机格板方程

其中${\mathbb{Z}}$表示整数集，τ∈${\mathbb{R}}$，t>τ，λ>0，α∈${\mathbb{R}}$，${\dot u_i}(t)$是u_i关于时间t的第一阶导数，g=(g_i)_{i∈${\mathbb{Z}}$}是依赖时间t的随机序列，f_i：${\mathbb{R}}$ →${\mathbb{R}}$是具有任意阶多项式增长的非线性漂移函数，φ_i是非线性阻尼函数，W是定义在完备概率空间(Ω，${\mathscr{F}}$，{${\mathscr{F}}$_t}_{t∈${\mathbb{R}}$}，${\mathbb{P}}$)上的双边实值Wiener过程，其中(Ω，${\mathscr{F}}$，${\mathbb{P}}$)是一个概率空间，Ω={ω∈C(${\mathbb{R}}$，${\mathbb{R}}$)：ω(0)=0}，${\mathscr{F}}$=${\mathscr{B}}$(Ω)是Ω上的Borel σ-代数，${\mathbb{P}}$是在(Ω，${\mathscr{F}}$)上的Wiener测度.

接下来做一些假设：

(Ⅰ) f_i∈C¹(${\mathbb{R}}$，${\mathbb{R}}$)且对所有的s∈${\mathbb{R}}$，i∈${\mathbb{Z}}$满足：

其中p≥2，常数γ_i>0(i=1，2，3，4)，${F_i}(s) = \int_0^s {{f_i}} (r){\rm{d}}r$，由(2)-(3)式可知，存在常数c=c(γ₁，γ₂)使得

(Ⅱ) φ_i∈C¹(${\mathbb{R}}$，${\mathbb{R}}$)，存在正数α₁和α₂，使得

(Ⅲ) g=(g_i)_{i∈${\mathbb{Z}}$}，g∈L_loc²(${\mathbb{R}}$ ，l²)满足

为了将方程(1)化简，定义从l²到l²上的算子如下：

且对于u=(u_i)_{i∈${\mathbb{Z}}$}∈l²和v=(v_i)_{i∈${\mathbb{Z}}$}∈l²，有

为了证明随机方程(1)产生一个随机动力系统，我们将其转化为l²×l²上的一个随机微分方程，令

则

是方程dz+kzdt=dW(t)的一个路径解.

从文献[13]可知，随机变量|z(ω)|是缓增的，且满足

此外存在一个θ_t-不变集$\mathit{\tilde \Omega }$⊂Ω，使得对∀ω∈ $\mathit{\tilde \Omega }$，t | →z(θ_t ω)关于t是连续的，为了方便起见，后续仍用Ω代替$\mathit{\tilde \Omega }$. 为了简化方程(1)，令

则方程(1)可以重新改写成具有随机系数但没有乘法噪音的等价方程

令E=l²×l²，且有范数

其中‖·‖表示l²范数，为了后续计算，当λ+k²-α₂k>0时，定义一个新的范数‖·‖_E：

容易验证范数‖·‖_E与范数‖·‖_{l² ×l²}是等价的，且方程(1)的解产生的动力系统与通过方程(12)获得的是一样的，因此我们只需要考虑方程(12)的解产生的动力系统. 通过文献[14]中关于解的存在性和唯一性的经典理论方法可以得到，在假设(Ⅰ)下，方程(12)在E上存在唯一的连续依赖于初始值的解

则对于所有的t>τ，τ∈${\mathbb{R}}$，ω∈Ω，(u_τ，v_τ)∈E，可以获得一个协循环Φ：${\mathbb{R}}$₊×${\mathbb{R}}$×ω×E→E，

在下文中，${\mathscr{D}}$是E中所有后向缓增集构成的集族，集合D={${\mathscr{D}}$(τ，ω)}∈${\mathscr{D}}$当且仅当

引理1  若假设(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)成立，则对任意后向缓增集D∈${\mathscr{D}}$，∀τ∈${\mathbb{R}}$，ω∈Ω，Y_s-t∈${\mathscr{D}}$，存在T=T(τ，ω，D，η)≥0，使得

其中对∀τ∈${\mathbb{R}}$，ω∈Ω，有

证  对任意固定的τ∈${\mathbb{R}}$，ω ∈Ω，(u_s-t，v_s-t)∈D，将方程(12)中第二个等式与

作内积，有

且有

当α₁-k>0时，根据拉格朗日中值定理、假设(Ⅰ)-(Ⅱ)和Young不等式，有

利用(6)，(10)，(14)式，并将(15)-(20)式带入(13)式，整理有

其中

对(18)式利用Gronwall不等式，计算可得

由文献[10]可知，当

时，存在T₁，使得对∀r≤-T₁有

又因为|z(θ_rω)|是缓增的，通过(7)式和(20)式，可知

是收敛的.

因为D∈ ${\mathscr{D}}$，(u_s-t，v_s-t) ∈D(s-t，θ_-tω)，l²⊂l^p，则通过(6)，(20)式，对∀t≥T₁，有

对(19)式关于s∈(-∞，τ]取上确界，对∀τ∈${\mathbb{R}}$，ω∈Ω，Y_s-t∈D，存在T=T(τ，ω，D，η)≥0，当t≥T(≥T₁)时，有

推论1  若假设(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)成立，且满足引理1，则由文献[7, 15]中拉回一致吸收集存在的条件可知，协循环{Φ(t)}_t≥0存在${\mathscr{D}}$ -拉回后向一致吸收集${\mathscr{K}}$ ∈ ${\mathscr{D}}$，其中

${\mathscr{K}}$₀为拉回随机吸收集.

引理2  若假设(Ⅰ), (Ⅱ), (Ⅲ)成立，(u_s-t，v_s-t)∈D(s-t，θ_-tω)，τ ∈${\mathbb{R}}$，ω ∈Ω，D∈ ${\mathscr{D}}$，则对∀η>0，存在

使得对∀t≥T，方程(12)的解满足

证  定义一个光滑函数ρ，当s∈${\mathbb{R}}$时，有0≤ρ≤1，且当|s|≤1时，ρ=0；当|s|≥2时，ρ=1. 则存在常数μ₁，对∀s∈${\mathbb{R}}$，有|ρ′(s)|≤μ₁.

令

将方程(12)中的第二个等式与ρv作内积，有

当α₁-k>0时，通过Young不等式以及(14)式，有

与文献[12]的方法类似，通过(9)，(10)，(14)式可知

将(24)-(27)式带入(23)式，并根据假设(Ⅰ)，(Ⅱ)，整理有

对(28)式利用Gronwall不等式，并取上确界，计算可得

与(21)式类似，可得

根据z(θ_rω)的缓增性和(11)式可知，对∀ε>0，存在C=C(ε，ω)，使得

则通过(8)，(20)，(30)式可知，存在常数M和T(≥T₁)，当t>T时，有

所以通过(6)，(29)，(31)-(39)式，对∀η>0，存在

使得对∀t≥T，有

引理3  若假设(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)成立，则协循环{Φ(t)}_t≥0在吸收集${\mathscr{K}}$ ∈ ${\mathscr{D}}$上是后向渐进紧的.

证  对任意固定的τ∈${\mathbb{R}}$，ω∈Ω，Y_τ∈ ${\mathscr{K}}$ (τ_k-t_k，θ_-tkω)，取任意序列{τ_k}，τ_k≤τ，t_k +∞(k +∞)，定义

下证{Y_k}在E上是预紧的. 由引理2可知，存在K，N，使得当k≥K时，有

由引理1可知，{Y_k}在E中是有界的，因此{(Y_k，i)_|i|≤N}_k在${\mathbb{R}}$^2N+1中有界，所以{(Y_k，i)_|i|≤N}_k在${\mathbb{R}}$^2N+1中有一个有限的ε-网，结合(34)式可以得到{Y_k}在E中有一个有限的2ε-网，所以{Y_k}在E中是预紧的，进而{Φ(t)}_t≥0在吸收集K上是后向渐进紧的.

定理1  若假设(Ⅰ)，(Ⅱ)，(Ⅲ)成立，则方程(1)生成的动力系统存在后向紧随机吸引子.

证  由推论1和引理3可知，协循环{Φ(t)}_t≥0存在${\mathscr{D}}$-拉回后向一致吸收集且在吸收集上是后向渐进紧的，因此满足文献[15](定理3.9)中拉回吸引子的存在性条件，因此方程(12)生成的非自治随机动力系统Φ(t)存在唯一的后向紧${\mathscr{D}}$-拉回吸引子${\mathscr{A}}$∈${\mathscr{D}}$和唯一可测的${\mathscr{D}}$₀-拉回吸引子${\mathscr{A}}$₀∈${\mathscr{D}}$₀. 再根据文献[16](定理6.1)可知${\mathscr{A}}$=${\mathscr{A}}$₀，所以吸引子${\mathscr{A}}$也是随机的，因此Φ(t)存在唯一的后向紧${\mathscr{D}}$-拉回随机吸引子${\mathscr{A}}$∈${\mathscr{D}}$，从而方程(1)存在后向紧随机吸引子.