Equilibrium Analysis of Non-Cooperative Game with Incomplete Information on Rough Set

设U是论域，R是一等价关系，则(U，R)称为近似空间. 设X是U的子集，x∈X⊂U，则[x]_R表示根据等价关系R构成的不可分辨元素的集合，为R-元素集，所有等价类集合记为ind(R). 用U中所有具有属性R的元素的集合来表达X时，则有的元素一定属于X，而有的元素不一定属于X. 当给定近似空间(U，R)，对于每一个子集X和一个等价关系R，可根据R的基本集合的描述来划分集合X，从而得出下近似和上近似的定义.

定义1^[5]  设X⊂U，R是一个等价关系，那么当X可以由ind(R)中的集合的并表示时，则X是R可定义的，否则，X是R不可定义的.

定义2^[5]  若集合R_－(X)={x丨x∈U，[x]_R⊂X }，则称R_－(X)是X(X⊂U)的R-下近似集.

定义3^[5]  若R^－(X)={x丨x∈U，[x]_R∩X≠Ø}，则称集合R^－(X)是X(X⊂U)的R-上近似集.

定义4^[5]  令R_－(X)={x丨x∈U，[x]_R⊂X}为下近似集，R^－(X)={x丨x∈U，[x]_R∩X≠Ø}为上近似集. 如果R^－(X)=R_－(X)，则称X关于近似空间(U，R)是可定义的，否则称X关于近似空间(U，R)是粗糙的，简称为粗糙集.

下近似表示根据等价分类R判断一些元素(具有不可分辨性)组成的集合一定属于X，即[x]_R中的元素根据等价分类R一定属于X. 上近似表示通过R，一些元素组成的集合与X的交集非空，即根据R其中有的元素可能属于X，有的元素可能不属于X. 上近似集和下近似集之差被称为X的R-边界集，记为BN_R(X)=R^－(X)－R_－(X). 由于存在边界区域，集合中的某些元素既不能在全域的某个子集上被分类，也不能在它的补集上被分类，这就产生了不确定性. 集合的边界区域越大，则精确度越低.

定义5^[11]  集合X的近似精确度：设R_－(X)和R^－(X)分别是集合X(X⊂U)的R-下近似集和R-上近似集，称d_R(X)= $\frac{{\left| {{R_ - }(X)} \right|}}{{\left| {{R^ - }(X)} \right|}}$为集合X的R－近似精度，其中· 表示基数，即集合元素的个数. 若R^－(X)≠Ø，则定义d_R(X)=1，此时信息是完备的. 本文证明需要用到以下几个定理.

定理1^[15]  x^*∈X是非合作博弈的Nash平衡点的充分必要条件为x^*∈X是最佳回应映射F：X→P₀(X)的不动点.

定理2^[15]  (Berge极大值定理)如果f：X×Y→ ${\mathbb{R}}$是连续的，G：Y→P₀(Y)在Y上是连续的，且∀y∈Y，G(y)是非空紧集，则V(y)在Y上必是连续的，且∀y∈Y，由M(y)= x∈G(y)：f(x，y)=V(y) 定义的集值映射M：Y→P₀(X)在Y上必是上半连续的.

定理3^[16]  (Kakutani-Fan-Glicksberg不动点定理)设X是一个局部凸Hausdorff拓扑向量空间的一个空紧凸集，令φ：X→2^X是X上的一个集值映射，φ上半连续且对于所有x∈X，φ(x)是非空闭凸的，则φ有一个不动点x₀∈X，使得x₀∈φ(x₀).

下面先给出文献[17]中经典的n人静态贝叶斯博弈模型. 记－i=N\{i}为除了局中人i以外其他n－1个局中人.

模型(A)^[17]  设N={1，…，n}为局中人集合，∀i∈N，局中人的类型为集合Θ_i= θ₁⁽ⁱ⁾，…，θ_m⁽ⁱ⁾. 局中人i的类型上的概率分布(先验知识)为P_i. X_i= x₁⁽ⁱ⁾，…，x_l⁽ⁱ⁾为局中人i的策略集. u_i：X×Θ→ ${\mathbb{R}}$是局中人i的收益函数，其中$X = \prod\limits_{i = 1}^n {{X_i}} , \mathit{\Theta } = \prod\limits_{i = 1}^n {{\mathit{\Theta }_i}} $. 条件概率p_i=p_i(θ_j^(－i)丨θ_j⁽ⁱ⁾)，i∈{1，…，n}，j∈{1，…，m}表示局中人i在决定自己的类型为θ_j⁽ⁱ⁾的情况下，局中人i对其他局中人类型θ_j^(－i)∈Θ_－i=∏_s∈N\{i}Θ_s的不确定性. 用Γ={Θ₁，…，Θ_n；X₁，…，X_n；p₁，…，p_n；u₁，…，u_n}表示此博弈.

古诺双寡头竞争经济模型是不完全信息博弈的一个经典例子. 在古诺双寡头竞争经济模型中，假设企业不知道其它企业是低成本还是高成本的，但是假定一个企业知道其他企业类型的概率分布. 为了更贴近现实情况，假设P_i是不容易得到的，因此，在这种情况下，贝叶斯博弈模型不再是合适的分析工具. 粗糙集理论是建立在分类机制的基础上的，它将分类理解为在特定空间上的等价关系，而等价关系构成了对该空间的划分. 基于粗糙集对于信息的分类作用并根据已知信息便能够推断出局中人类型(或是属性)上的近似精确度. 例如可以从公司的财务报表知道成本、盈利等信息，并根据这些信息推断出这个公司是成本低还是高)和是否是盈利型的. 建立博弈模型如下：

模型(B)  设N={1，…，n}为局中人集合. 设∀i∈N，Y_i={y₁⁽ⁱ⁾，…，y_n⁽ⁱ⁾}为局中人i的信息集，Y_－i={y₁^(－i)，…，y_l^(－i)}，局中人i根据Y_－i中的知识对其他的n－1位局中人进行分类. Θ_i={θ₁⁽ⁱ⁾，…，θ_m⁽ⁱ⁾}为局中人i的类型集，Θ_－i={θ₁^(－i)，…，θ_l^(－i)}. X_i是局中人i的策略集. u_i：X×Θ→ ${\mathbb{R}}$是局中人i的收益函数. 定义局中人i对于局中人－i的类型判断映射g_i：Y_－i→Θ_－i. 局中人i确定局中人－i属于类型θ_j^(－i)的近似精确度为d_i(Y_－i)= $\frac{{\left| {{g_{{i_ - }}}\left( {{Y_{ - i}}} \right)} \right|}}{{\left| {g_i^ - \left( {{Y_{ - i}}} \right)} \right|}}$，0≤d_i(Y_－i)≤1. 当d_i(Y_－i)=1时为完备信息博弈. 由文献[11]可知，局中人i的类型变化计算出的近似精确度之和为1. 用G={X₁，…，X_n；Θ₁，…，Θ_n；d₁，…，d_n；u₁，…，u_n；Y₁，…，Y_n；}表示此博弈. 设局中人i的粗糙期望效用函数为

定义6  若存在策略组合x^*∈X满足

则称x^*是博弈G的一个粗糙Nash均衡，

定理4^[15]  i∈N，设X_i是局部凸Hausdorff拓扑线性空间中的非空凸紧集，u_i：X→ ${\mathbb{R}}$连续，且∀x_－i∈X_－i，x_i→u_i(x_i，x_-i)在X_i上是拟凹的，则此对策的Nash平衡点必存在.

定理5  设G={X₁，…，X_n；Θ₁，…，Θ_n；d₁，…，d_n；u₁，…，u_n；Y₁，…，Y_n }是一个满足以下条件的粗糙非合作博弈：设∀i∈N

(ⅰ) X_i是局部凸Hausdorff拓扑线性空间中的非空凸紧集，

(ⅱ) u_i：X×Θ→ ${\mathbb{R}}$连续，

(ⅲ) ∀x_－i∈X_－i，x_i→u_i(x_i，x_-i；θ_j⁽ⁱ⁾，θ_j^(－i))在X_i上是拟凹的，

(ⅳ) 令${f_i} = \sum\limits_{{x_{ - i}}} {{d_i}} \left( {{Y_{ - i}}} \right){u_i}\left( {{x_i}, {x_{ - i}};\theta _j^{(i)}, \theta _j^{( - i)}} \right)$，

则G有一个Nash均衡.

证  首先，$X = \prod\limits_{i = 1}^n {{X_i}} $必是局部凸Hausdorff拓扑线性空间中的非空凸紧集，其中，∀i∈N，∀x_－i∈X_－i=∏_s∈N\{i}X_s. 令

由于u_i连续，则显然f_i连续，且对于任意x_－i，x_i→f_i(x_i，x_－i；θ_j⁽ⁱ⁾，θ_j^(－i))是连续的，又X_i是局部凸Hausdorff拓扑线性空间中的非空凸紧集，可知X_i是闭集. 记

则w_i^m∈X_i，因X_i是闭集，w_i∈X_i. 又f_i(w_i^m，x_－i)=c，因f_i连续，故f_i(w_i，x_－i)=c，w_i∈F_i(x_－i)，F_i(x_－i)必是闭集. 又w_i¹，w_i²∈F_i(x_－i)，∀ε∈(0，1)，因w_i¹，w_i²∈X_i且X_i是闭集，故εw_i¹+(1－ε)w_i²∈X_i，f(εw_i¹+(1－ε)w_i²，x_－i)≤c，又f_i(w_i¹，x_－i)=f_i(w_i²，x_－i)=c，∀x_－i∈X_－i，x_i u_i(x_i，x_－i；θ_j⁽ⁱ⁾，θ_j^(－i))在X_i上是拟凹的，故x_i→f_i(x_i，x_－i；θ_j⁽ⁱ⁾，θ_j^(－i))在X_i上是拟凹的，则f(εw_i¹+(1－ε)w_i²，x_－i)≥min{f_i(w_i¹，x_－i)，f_i(w_i²，x_－i)}=c. 故f(εw_i¹+(1－ε)w_i²，x_－i)=c，εw_i¹+(1－ε)w_i²∈F_i(x_－i)，F_i(x_－i)必是凸集. ∀i∈N，F_i(x_－i)是非空闭凸集，因此$F(x) = \prod\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \left( {{x_{ - i}}} \right)$必是非空闭凸集. ∀i∈N，因f_i(x_i，x_－i；θ_j⁽ⁱ⁾，θ_j^(－i))连续，而X_i是闭集，由定理2，集值映射F_i：X_－i→p₀(X_i)必是上半连续的. 因此$F(x) = \prod\limits_{i = 1}^n {{F_i}} \left( {{x_{ - i}}} \right)$在X上必是上半连续的，由定理3知存在x^*∈X，使x^*∈F(x^*). 最后由定理1知x^*必是G的Nash均衡点.

推论1  当d_i(Y_－i)=1时，定理5与Nash均衡定理4是等价的，此时为完全信息静态博弈.

设n个企业生产同一产品，用c_i^H表示企业i是高成本，c_i^L表示企业i是低成本，其中i∈{1，…，n}. 集合T_i={c_i^H，c_i^L}为企业i的类型集. 销售价格为P(Q)=a-Q，Q=q₁+…+q_n为市场产品总量. 将每个企业的单位成本记为c_i. 企业i的净收益函数为C_i=q_i(a－Q－c_i). 对于每个企业所属类型的概率分布是未知的，设有限集X_i={x₁，…，x_n}为企业i的信息集. 设定判断机制(等价分类关系)，即R_i：x_i→{c_i^H，c_i^L}. 因为企业i是知道自己的类型的，故只需对其他n－1个企业的类型做出近似判断. 企业i首先对企业j的类型作判断. 此时固定其他n－2个企业的类型，为了便于分析，可假设其他n－2个企业的类型同时为低成本或高成本. 假设企业j根据判断R_j被判定为高成本的元素有m个，即高成本下近似集的基数为m，此时等价关系为c_j^H，故下近似集可记为丨R_{i_}(c₂^H)丨=m，X_j的上近似集为其自身，基数为n，记为丨R_i^－(c_j^H)丨=n，则企业i认为企业j是高成本的近似精度为${d_i}\left( {c_j^H} \right) = \frac{{\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_j^H} \right)} \right|}}{{\left| {R_i^ - \left( {c_j^H} \right)} \right|}} = \frac{m}{n}$. 又设低成本的元素有l个，也就是低成本下近似集的基数为l，此时等价关系为c_j^L，故下近似集可记为丨R_{i_}(c_j^L)丨=l，则企业i认为企业j是低成本的近似精度为${d_i}\left( {c_j^L} \right) = \frac{{\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_j^L} \right)} \right|}}{{\left| {R_i^ - \left( {c_j^L} \right)} \right|}} = \frac{l}{n}$，且d_i(c_j^H)+d_i(c_j^L)=1. 企业i的粗糙期望效益为

根据前面的假设，其他n－2个企业的类型同时为低成本时(因为为低成本和高成本的分析方法和过程是一样的)，令${f_i} = \frac{m}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^H - {\Delta ^L}} \right) + \frac{l}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^L - {\Delta ^L}} \right)$，其中

企业i会选择使得粗糙期望效用函数最大化的产量，设为q_i^*，即q_i^*∈ ${\mathop{\rm argmax}\nolimits} \left\{ {{f_i} = \frac{m}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^H - {\Delta ^L}} \right) + \frac{l}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^L - {\Delta ^L}} \right)} \right\}$.

令$\frac{m}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^H - {\Delta ^L}} \right) + \frac{l}{n}{q_i}\left( {a - {c_i} - q_j^L - {\Delta ^L}} \right) = 0$，对q_i求一阶导数得$q_i^* = \frac{1}{2}\left( {a - {c_i} - \frac{m}{n}q_j^H - } \right.\left. {\frac{l}{n}q_j^L - {\Delta ^L}} \right)$.

当企业i是低成本时有

当企业i是高成本时有

同时，企业j在做决策时也会考虑其他人的类型，讨论企业j对企业i类型所做的判断. 设根据判断X_i={x₁，…，x_n}里企业i为高成本的元素有k个，也就是高成本下近似集的基数为k，此时等价关系为c_j^H，故有$\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_i^H} \right)} \right| = k, \left| {R_i^ - \left( {c_i^H} \right)} \right| = n$，故企业j认为企业i是高成本的近似精度为${d_j}\left( {c_i^H} \right) = \frac{{\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_i^H} \right)} \right|}}{{\left| {R_i^ - \left( {c_i^H} \right)} \right|}} = \frac{k}{n}$. 又设为低成本的元素有h个，故有$\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_i^L} \right)} \right| = h, \left| {R_i^ - \left( {c_i^L} \right)} \right| = n$，故企业j认为企业i是低成本的近似精度为${d_j}\left( {c_i^L} \right) = \frac{{\left| {{R_{{i_ - }}}\left( {c_i^L} \right)} \right|}}{{\left| {R_i^ - \left( {c_i^L} \right)} \right|}} = \frac{l}{n}$，且${d_j}\left( {c_i^H} \right) + {d_j}\left( {c_i^L} \right) = 1$. 同理，当企业j是低成本时有

当企业j是高成本时有

因为企业i对其他n－2个企业的分析过程和对企业j的类似. 故用相同的方法可以求出其他n－2个企业的最优产量q_g^L*，q_g^H*，g≠i，j. 故当每个企业都选择最优产量时，所构成的产量组合就为粗糙Nash均衡. 因为每个企业有两种类型，故共有2ⁿ种均衡组合.

值得注意的是，本文中仅讨论了固定其他n－2个企业都是低成本的情况，当然也可以假设其他n－2个企业的类型不相同或都为高成本，这正好符合现实经济的复杂性和变动性.

本文研究了基于粗糙集上的不完全信息非合作博弈. 证明了粗糙Nash均衡的存在定理. 模型(B)是对模型(A)的一种扩展，极大地保留了原始信息的客观性，具有更强的实用性和理论价值. 本文仅研究了模型(B)的均衡解存在性问题，对于其均衡解的稳定性研究将是下一步的工作.