Iterated Fractional Tikhonov Method for Sideways Fractional Heat Equation Problem

我们考虑如下的问题：

其中，时间分数阶导数$\frac{\partial^\beta u}{\partial t^\beta} $由文献[12]中β(0 < β < 1)阶Caputo导数定义.

注1  当β=1时，问题(1)是经典的热传导问题的侧边值问题^[12].

在实际问题中，这里的输入数据g(t)往往是由物理测量得到的，记$g^\delta(t) \in L^2(\mathbb { R }) $为带噪音的测量数据，且满足

其中δ>0是噪音水平，‖·‖表示L²-范数. 进一步，我们给出如下的先验界：

其中E是大于0的有界常数.

为了在频域中考虑问题(1)，我们将关于t的函数延拓到整个实轴，令t < 0的部分为0. 定义函数f(t)的Fourier变换为

相应函数$ \stackrel{\wedge}{f}(\xi)$的Fourier逆变换为

对问题(1)关于变量t作Fourier变换：

通过计算，得到问题(5)的精确解为

等价于

其中

令

则η的实部和虚部分别表示为

因此

注意到，当$ 0<x<1, |\xi| \rightarrow \infty \text { 时, }\left|\mathrm{e}^{(1-x) \sqrt{(\mathrm{i} \xi)^\beta}}\right| \rightarrow \infty$. 因为要求$u(x, t) \in L^2(\mathbb{R}) $，所以精确数据${\stackrel{\wedge}{g}}^\delta(\xi) $必须为急降函数. 但实际测量数据$ \stackrel{\wedge}{g}(\xi)$一般不会是急降函数. 这种情况下数据g(t)非常小的扰动，都会让放大因子$\left|\mathrm{e}^{(1-x) \sqrt{(\mathrm{i} \xi)^\beta}}\right| $将解无限放大，导致解的爆破. 因此，问题(1)是严重不适定的. 本文采用迭代的分数次Tikhonov正则化方法来求解问题(1)，并给出先验和后验参数选取规则下的误差估计.

本节中，我们采用固定迭代的分数次Tikhonov正则化方法^[14]来求解问题(1)，并给出先验和后验参数选取方法及误差估计.

引入迭代格式：

其中，u_α，γ⁰为迭代初值，$ \frac{1}{2} \leqslant \gamma \leqslant 1, \alpha>0$是正则化参数，迭代步数m>0是固定的. 令$u_{\alpha, \gamma}^{m, \delta} $表示固定迭代的分数次Tikhonov正则化方法关于扰动数据g=g^δ的第m次迭代解.

注2  如果γ=1，我们会得到标准的Tikhonov方法. 选择$\frac{1}{2}<\gamma<1 $，可以防止平滑效应并获得更精确的不连续解的数值结果^[16].

对于任意给定的$ m \in \mathbb{N} \text { 和 } \frac{1}{2}<\gamma<1$，(8)式中的IFTRM是一种基于滤波器的滤子正则化方法，其滤子函数为

注3  当γ=1，m=1时，恢复为经典的Tikhonov滤波器；当γ=1时，恢复为迭代Tikhonov滤波器. 我们的滤子方法的主导思想是用$\frac{F_{\alpha, \gamma}^{(m)}(\sigma)}{\sigma} \text { 代替 } \frac{1}{\sigma} \text {, 以便用 } u_{\alpha, \gamma}^{m, \delta} \text { 来近似 } u $，如下所示：

其中$ \sigma=\mathrm{e}^{(x-1) \sqrt{(\mathrm{i} \xi)^\beta}}$.

我们首先证明几个辅助引理.

引理1^[17]  如果常数α>0，a < b，则有如下不等式成立：

引理2  对常数γ>0，α>0，m>0，0x β < 1，我们有

证  根据文献[14]中的命题18，我们有

其中F_α，γ(σ)是分数次Tikhonov方法滤子函数

由(11)式和(12)式，我们得到

引入新变量$ s=\mathrm{e}^{-a} \text {, 记 } \mathrm{e}^{a x}=c_1$. 令

对$\gamma>\frac{1}{2} $，函数A(s)是连续的. 由于$ A(s) \geqslant 0, \lim\limits_{s \rightarrow 0} A(s)=0, \lim\limits_{s \rightarrow \infty} A(s)=0$，最大点满足A′(s_*)=0. 由(14)式，我们得到

将s_*代入A(s)中得最大值

记$m 2^{-\gamma} \gamma^{-\gamma}(2 \gamma-1)^{\gamma-\frac{1}{2}} c_1^{-2 \gamma+1}=c_2 $.

将(15)式代入(13)式，可得

引理3  对常数γ>0，α>0，m>0，0 < β < 1，我们有

证  根据文献[14]中的命题18，我们得到

此外根据文献[15]中的命题3.2，我们有

其中F_α，1(σ)是经典的Tikhonov方法滤子函数

结合(16)-(18)式，我们有

由引理1，可得

定理1  假定噪音假设(4)式和先验界(5)式成立，如果选择

就有误差估计

证  由三角不等式和Parseval公式可得

记$I_1=\left\|\stackrel{\wedge}{u}_{\alpha, \gamma}^{m, \delta}(x, \xi)-\stackrel{\wedge}{u}_{\alpha, \gamma}^m(x, \xi)\right\|, I_2=\left\|\stackrel{\wedge}{u}(x, \xi)-\stackrel{\wedge}{u}_{\alpha, \gamma}^m(x, \xi)\right\| $.

首先估计I₁，

由(6)式可得

因此，由引理2、引理3可得

接下来估计I₂，由先验界$\mathrm{e}^{\sqrt{(\mathrm{i} \xi)^\beta}} \stackrel{\wedge}{g}(\xi) \leqslant E $，得

最后，将(22)式和(23)式代入(19)式，有

在这一节中给出后验参数选取规则，并且正则化参数α由Morozov’s偏差原理确定^[17]. 由Morozov’s偏差原理，可寻找一个α满足方程

其中$ \frac{1}{2}<\gamma<1, \tau>1$是常数，α是正则化参数.

下面的结论是显然的：

引理4  设$H(\alpha)=\left\|F_{\alpha, \gamma}^{(m)}(\sigma) \stackrel{\wedge}{g}^{{\delta}}(\xi)-\stackrel{\wedge}{g}^{{\delta}}(\xi)\right\| \text {, 并且 } 0 <\tau \delta<\left\|\stackrel{\wedge}{g}^{{\delta}}(\xi)\right\| $，则：

(ⅰ) H(α)是连续函数；

(ⅱ) $ \lim\limits_{\alpha \rightarrow 0} H(\alpha)=0$；

(ⅲ) $ \lim\limits_{\alpha \rightarrow 0} H(\alpha)=\left\|\stackrel{\wedge}{g}^\delta(\xi)\right\|_{L^{2}(\mathbb{R})}$；

(ⅳ) H(α)是严格单调增函数.

注4  根据引理4可知，若$0<\tau \delta<\left\|\stackrel{\wedge}{g}^\delta(\xi)\right\| $，则方程(24)的解存在且唯一.

引理5  若α满足方程(24)，则有不等式

证  由方程(24)和三角不等式得

引理6  对常数γ>0，α>0，m>0，我们有

证

由引理1，可得

引理7  若α满足方程(24)，则有如下不等式成立：

证  由引理6，有

因此

定理2  设噪音假设(4)式和先验界(5)式成立，且正则化参数α由方程(24)确定，那么就有以下的误差估计：

证  记

由Parseval公式及(25)，(26)式可知

由赫尔德不等式和(20)，(21)式得

根据引理5及三角不等式得

同理于引理2，我们得到

又根据引理7可得

因此

分数次Tikhonov正则化方法虽然克服了解的过度光滑的缺陷，但还是无法克服经典的Tikhonov正则化方法所产生的饱和效应. 对此，文献[14]在分数次Tikhonov方法的基础上提出了迭代的分数次Tikhonov方法，这一迭代方法超出了分数次Tikhonov方法的饱和效果. 但是，如何确定迭代次数仍然是一个开放的问题.

文中采用固定迭代的分数次Tikhonov正则化方法求解分数次热方程侧边值问题，同时，通过理论分析给出了先验和后验参数选取规则，得到误差估计，证明了所用方法的有效性. 这种迭代的分数次Tikhonov正则化方法也同样适用于分数次数值微分问题和时间分数阶扩散方程等其他不适定问题.