A Generalization and Application of Lax-Milgram Theorem

1907年，法国数学家Fréchet证明了：对于定义在平方可积函数空间L²上的每一个连续(有界)线性泛函U(f)，存在L²中唯一的u(x)，使得对L²中的每一个f都成立

1909年，匈牙利数学家F.Riesz把上述结果推广到L^p空间(p≥1). 1927年，匈牙利数学家von Neumann引进了抽象的Hilbert公理化定义，自然地，就有相应的一般Hilbert空间上连续线性泛函的表示定理^[1-3].文献[4]推广了Fréchet-Riesz表示定理.文献[5]推广了Lax-Milgram定理，证明了变分不等式中的基本定理.文献[6-7]各自独立地推广了Lax-Milgram定理，实际上，他们给出的两种不同形式的条件是等价的.关于Lax-Milgram定理的最新应用可见文献[8-12].特别地，文献[8]试图给出经典Lax-Milgram定理和Stampacchia定理的非线性观点，但是假设了一些很难验证的条件，即使退化到双线性的情况，也得不到最小值点的唯一性，因为证明过程中没有充分利用双线性性质和强制性.

以上几个关于Fréchet-Riesz表示定理的推广都涉及双线性连续泛函，一个自然的问题是：当定义在Hilbert空间或者更一般的Banach空间的乘积空间上的二元泛函若仅对某一变量线性，而不是双线性时，能得到什么结果？我们研究p-Laplace算子相应的Dirichlet零边值问题

其中Δ_p：μ(x)→Δ_pμ=div(|▽μ|^p-2▽μ)，自然地会出现

我们观察到：当p＞1但p≠2时，a对μ不是线性的，但对ν是线性的.

本文先证明一个抽象的定理，然后应用于上述具体的问题.

定理1  设X是实数域$\mathbb{R}$上的自反Banach空间，考虑二元映射a(x，y)：X×X→$\mathbb{R}$.假设b：X→$\mathbb{R}$是连续线性泛函；a对第二个变量y是线性的，a(x，x)在X上是弱下半连续的，即：

(i) $\forall x\in X$，若{x_n}⊂X，${{x}_{n}}\xrightarrow{w}x$，则

(ii) 存在c，d＞0，使得$\forall x\in X$，有

则定义在X上的泛函

在X上达到下确界，即存在$\widetilde{x}\in X$，使得$I\left( \widetilde{x} \right)=\underset{x\in X}{\mathop{\inf }}\, \left\{ I\left( x \right) \right\}=e$，且$\widetilde{x}$满足方程

进一步，如果a(x，x)是严格凸泛函，则最小值点$\widetilde{x}$是唯一的.

证  步骤1  证明I(x)在X上弱下半连续.由于b(x)是X上的连续线性泛函，故b∈X^*.又由弱收敛的定义知，若${{x}_{n}}\xrightarrow{w}x$，则∀f∈X^*，有f(x_n)→f(x).自然地有b(x_n)→b(x)，故b是弱连续的.因此b既弱下半连续又弱上半连续，因此(-b)弱下半连续.又已知a(x，x)在X上弱下半连续，故I(x)= $\frac{1}{p}a\left( x, x \right)-b\left( x \right)$在X上是弱下半连续的.

步骤2  证明I(x)在X上是强制的.事实上，由(ii)知

步骤3  证明-∞ < e=inf{I(x)：x∈X} < +∞.事实上，由步骤2中已证明的I(x)的强制性知，存在常数M>0，使当‖x‖≥M时，有I(x)≥1.又因当‖x‖≤M时成立

故e≥-‖b‖·M＞-∞.又由已知假设a(x，x)≤d‖x‖^p知

故I(x)≢+∞，e＜+∞.

步骤4  由Tonelli定理^[3]知，I(x)在X上存在最小值点，记为$\tilde{x}$.令φ(ε)=I($\tilde{x}$ +εω)，ε＞0，ω∈X.因为$\tilde{x}$最小化I(x)，故∀ε＞0，有φ(ε)≥φ(0)，故有一阶必要条件φ′(0)=0.下面具体计算φ′(0).注意到

对φ(ε)关于ε求导，有

由此即得${\tilde{x}}$满足的方程.

步骤5  若a(x，x)在X上是严格凸的，下面进一步证明最小值点是唯一的.设${{\tilde{x}}_{1}}$，${{\tilde{x}}_{2}}$是最小值点，由a(x，x)严格凸，b(x)线性，故b也是凸的，I(x)在X上是严格凸的，则

故$I\left( \frac{{{{\tilde{x}}}_{1}}+{{{\tilde{x}}}_{2}}}{2} \right)$，$\frac{{{{\tilde{x}}}_{1}}+{{{\tilde{x}}}_{2}}}{2}$也是最小值点.进一步由I的表示式有

由于a是严格凸的，(1)式成立当且仅当${{{\tilde{x}}}_{1}}\text{=}{{{\tilde{x}}}_{2}}$.

定理1的应用

设Ω是${{\mathbb{R}}^{n}}$中的有界开集，x=(x₁，…，x_n)∈Ω，1＜p＜+∞，考虑p-Laplace算子

给定f∈L^q(Ω)，其中q是p的共轭指数，即$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$.考虑以下的Dirichlet边值问题：

我们在上述假设下利用定理1来证明问题(2)有唯一解.

定义Sobolev空间

作为W^1，p(Ω)的子空间，W₀^1，p(Ω)的标准范数是‖μ‖_W0^1，p(Ω)=‖μ‖_L^p+‖Dμ‖_L^p.由Poincaré-Friedrics不等式^[3]可知，‖Dμ‖_L^p是‖μ‖_W0^1，p(Ω)的等价范数.设X=W₀^1，p(Ω)，则由1 < p < +∞，故W₀^1，p(Ω)是自反的Banach空间.∀μ，ν∈W₀^1，p(Ω)，定义

下面用散度定理(或分部积分公式)可得

因为p＞1，且$a(\mu , \mu ) = \int_\mathit{\Omega } {{{\left| {{\nabla _\mu }} \right|}^p}} {\rm{d}}x = \mu _{W_0^{1, p}\left( \mathit{\Omega } \right)}^p$是弱下半连续严格凸泛函，而b(μ)是线性连续泛函，由定理1知，对定义在W₀^1，p(Ω)上的泛函$I\left( \mu \right) = \frac{1}{p}a\left( {\mu , \mu } \right) - b\left( \mu \right)$，存在唯一的$\tilde \mu $∈W₀^1，p(Ω)，使得I($\tilde \mu $)=inf {I($\tilde \mu $)：μ∈W₀^1，p(Ω)}，且$\tilde \mu $满足

注意到$\left\langle {{a_\mu }(\tilde \mu , \tilde \mu ), \nu } \right\rangle = {\left. {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\varepsilon }}a(\tilde \mu + \varepsilon \nu , \tilde \mu )} \right|_{\varepsilon = 0}}$，令$g(\varepsilon ) = a(\tilde \mu + \varepsilon \nu , \tilde \mu )$，则有

则$g'(0) = (p - 1)\int_\mathit{\Omega } | \nabla \tilde \mu {|^{p - 2}}\nabla \tilde \mu \cdot \nabla \nu {\rm{d}}x$.又因$a(\tilde \mu , \nu ) = \int_\mathit{\Omega } | \nabla \tilde \mu {|^{p - 2}}\nabla \tilde \mu \cdot \nabla \nu {\rm{d}}x$，故$\frac{1}{p}\left\langle {{a_n}(\tilde \mu , \tilde \mu ), \nu } \right\rangle + \frac{1}{p}a(\tilde \mu , \nu ) - b(\nu ) = 0$，即

由散度定理可得

由Reymond变分基本引理^[3]有