Error Bounds for Linear Complementarity Problems of ∑₁-SDD Matrix and B-∑₁-SDD Matrix

设$ S\subseteq \mathbb{N}, \bar{S}=\mathbb{N}\backslash S $，对$ \forall i\in \mathbb{N}, {{r}_{i}}(\boldsymbol{A})=\sum\limits_{j\in \mathbb{N}\backslash \left\{ i \right\}}{\left| {{a}_{ij}} \right|}, r_{i}^{S}(\boldsymbol{A})=\sum\limits_{j\in S\backslash \left\{ i \right\}}{\left| {{a}_{ij}} \right|} $.

文献[5]首次给出了H-矩阵的新子类∑₁-SDD矩阵.

定义1^[5]  对于矩阵$ \boldsymbol{A}=\left({{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $，如果存在非空子集$ S\subseteq \mathbb{N} $，使得：

(ⅰ) $ \left|a_{i i}\right|>r_{i}^{S}(\boldsymbol{A})+1, i \in S $；

(ⅱ) $ \left(\left|a_{i i}\right|-r_{i}^{S}(\boldsymbol{A})-1\right)\left(\left|a_{j j}\right|-r_{j}^{\bar{S}}(\boldsymbol{A})-1\right)>r_{i}^{\bar{S}}(\boldsymbol{A}) r_{j}^{S}(\boldsymbol{A}), i \in S, j \in \bar{S} $.则称A是∑₁-SDD矩阵.

引理1^[5]  设A是主对角元素为正的∑₁-SDD矩阵，S满足定义1. 则存在对角矩阵W =diag(w₁，w₂，…，w_n)，且

对$ i\in \mathbb{N}, $和γ∈I_s，有

当r_j^S(A)=0时，$ \frac{a_{j j}-r_{j}^{\bar{S}}(\boldsymbol{A})-1}{r_{j}^{S}(\boldsymbol{A})}=\infty $. 则AW是严格对角占优矩阵.

引理2^[13]  设矩阵A是H-矩阵，则|A^-1|≤〈A〉^-1. 其中

A ≤ B指的是a_ij≤b_ij，$ i, j\in \mathbb{N} $.

本部分利用构造的方法，给出仅与矩阵元素有关的∑₁-SDD矩阵无穷范数的上界.

定理1  设矩阵$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $是∑₁-SDD矩阵，则

证  由引理2知|A^-1|≤〈A〉^-1，则

令

则〈A〉x=e=(1，…，1)^T，定义$ {x_{{i_0}}} = \mathop {\max }\limits_{i \in S} {x_i}, {x_{{j_0}}} = \mathop {\max }\limits_{j \in \bar S} {x_j} $，由〈A〉x=e有

则

即

对于

同理得

联合(1)，(2)式，整理化简得

令

则

本部分利用定理1中∑₁-SDD矩阵逆矩阵无穷范数的上界，得到它线性互补问题的上界估计式.

定理2  设矩阵$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $是∑₁-SDD矩阵，$ S\subseteq \mathbb{N}, S\ne \mathit{\varnothing} , {{a}_{ii}}>0 $，令$ \boldsymbol{\tilde{A}}=\boldsymbol{I}-\boldsymbol{D}+\boldsymbol{DA}=\left( {{{\tilde{a}}}_{ij}} \right), \boldsymbol{D}=\text{diag}\left( {{d}_{i}} \right), 0 <{{d}_{i}}\le 1 $，则对$ \forall i, j\in \mathbb{N} $，有

且对$ i \in S, j \in \bar S $，有

即矩阵Ã是∑₁-SDD矩阵.

证  由Ã的定义知，(4)式显然成立.

下面重点证明(5)式. 由(4)式和Ã的定义知

又由∑₁-SDD矩阵的定义知a_ii>r_i^S(A)+1，所以$ \left| {{{\tilde{a}}}_{ii}} \right|>r_{i}^{S}\left( {\boldsymbol{\tilde{A}}} \right)+1 $.

同理对任意j∈S，有

则

则由定义1知，Ã是∑₁-SDD矩阵.

定理3  设$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $是∑₁-SDD矩阵，$ S\subseteq \mathbb{N}, S\ne \mathit{\varnothing} , {{a}_{ii}}>0 $，令

则

证  令Ã= I - D + DA =(ã_ij)，由的定义知，对任意i∈S，j∈S，有

则对任意i∈S，j∈S，有

同理对i∈S，j∈S，类似地有

则由定理1知

例1  设$ {{\boldsymbol{A}}_{1}}=\left( \begin{matrix} 16 & -9 & -9 \\ -9 & 27 & -9 \\ -9 & -9 & 27 \\ \end{matrix} \right) $. 经验证，当S={1}时，A₁为∑₁-SDD矩阵，且$ {{I}_{s}}=\left[ \frac{6}{5}, \frac{17}{9} \right) $. 应用定理3，当d_i，d_j=1时，计算得

例2  设$ {{\boldsymbol{A}}_{2}}=\left( \begin{matrix} 4 & -1 & 0 & -1 \\ -1 & 6 & -1 & 0 \\ -2 & -1 & 8 & -1 \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{4} & 4 \\ \end{matrix} \right) $，经验证，当S={1，2}时，A₂为∑₁-SDD矩阵，且$ {{I}_{s}}=\left[ \frac{1}{2}, 2 \right) $. 应用定理3，当d_i，d_j=1时，计算得

本部分给出了形式比较简洁，易于计算的线性互补误差界的上界.

令$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}}, \boldsymbol{A}={{\boldsymbol{B}}^{+}}+\boldsymbol{C} $，

B⁺是Z-矩阵(非主对角元素非正的矩阵)，C是非负矩阵.

定义2  若矩阵$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $能写成(6)式的形式，且B⁺是主对角元素为正的∑₁-SDD矩阵，则称A是B-∑₁-SDD矩阵.

引理3  若A是B-∑₁-SDD矩阵，则A是P-矩阵.

定理4  设$ \boldsymbol{A}=\left( {{a}_{ij}} \right)\in {{\mathbb{R}}^{n, n}} $是B-∑₁-SDD矩阵，$ \mathit{\varnothing} \ne S\subset \mathbb{N}, {{\boldsymbol{B}}^{+}} $如(6)式定义，则

证  因为A是B-∑₁-SDD矩阵，A = B⁺+C，B⁺是主对角元素为正的∑₁-SDD-Z矩阵. 设矩阵D =diag(d_i)，0 < d_i≤1，

由文献[11]知$ \boldsymbol{\tilde{B}}_{D}^{+} $仍是主对角元素为正的∑₁-SDD矩阵，且$ \boldsymbol{\tilde{B}}_{D}^{+} $是非奇异M-矩阵. 由文献[11]中定理2的证明知

因为$ \boldsymbol{\tilde{B}}_{D}^{+} $是∑₁-SDD矩阵，由定理1的证明知

本文首先给出了∑₁-SDD矩阵逆的无穷范数的新上界，其次研究了目前较少有文献研究的∑₁-SDD矩阵和B-∑₁-SDD矩阵的线性互补问题的误差界，这是对该类矩阵这方面研究空白的填充，也是对线性互补误差界问题研究的进一步拓展.