σ_c-Connectedness in L-Closure Spaces

连通性是一种重要的拓扑性质，文献[1-4]在L-拓扑空间中建立了多种连通理论. 文献[5]提出了有序闭远域的概念，并建立了L-拓扑空间的U-收敛理论. 以有序闭远域为基础，文献[6-8]建立了拓扑分子格中的σ-收敛、σ-连续序同态、σ-分离等理论. 作为L-拓扑空间的推广，文献[9]提出了分明闭包空间和F-闭包空间的概念. 文献[10]将其推广到L是完全分配格的情形，即L-闭包空间. 本文将有序闭远域的概念推广到L-闭包空间中，在L-闭包空间中建立了σ_c-连通性的概念，讨论了σ_c- 连通性的基本性质，给出了σ_c-连通性成立的樊畿定理.

在本文中，L表示F格(即具有逆序对合的完全分配格)，X是分明集合. L^X表示X上的L-集全体，M(L)与M^*(L^X)分别表示L与L^X中的所有分子之集. 1和0分别表示L^X中的最大元和最小元. 其他相关概念请参见文献[1-2, 11-14].

定义1 ^[10]   设L为一个完全分配格，若∀A，B∈L^X，映射c：L^X→L^X满足

(a) c(0)=0；

(b) A≤c(A)；

(c) 当A≤B时，c(A)≤c(B)；

(d) c(c(A))=c(A).

则称c为一个L-闭包算子，(L^X，c)为一个L-闭包空间. 如果F=c(F)，则称F为(L^X，c)中的一个L-闭集. 若F为(L^X，c)中的L-闭集，则称F′为(L^X，c)中的L-开集. 记

δ_c表示(L^X，c)中的所有L-开集构成的集族. 对∀A∈L^X，令

定义2    设(L^X，c)是L-闭包空间，x_α∈M^*(L^X). 如果L^X中的两个L-闭集P，Q满足x_α $ \not \leq $P且Q≤P_c^o，则称P和Q构成x_α的一对有序L-闭远域，记作〈P，Q〉∈η_c(x_α)×η_c(x_α).

定义3    设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X，x_α∈M^*(L^X). 如果对x_α的每一对有序L-闭远域〈P，Q〉，有A$ \not \leq $ Q，则称x_α为A的σ_c-附着点. A的所有σ_c-附着点之并称为A的σ_c-闭包，记为$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $. 若$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $≤A，则称A为σ_c-闭集. 若A′为σ_c-闭集，则称A为σ_c-开集.

定义4    设(L_i^X_i，c_i)(i=1，2) 是L-闭包空间，f：L₁^X₁ → L₂^X₂是序同态，若L₂^X₂中的每个σ_c-开集的原象是L₁^X₁中的σ_c-开集，则称f为σ_c-连续映射.

由定义4，f：L₁^X₁ →L₂^X₂为σ_c-连续序同态当且仅当对∀B∈L₂^X₂，(f^-1(B))$ \overline{{\sigma_{c}}} $≤f^-1(B$ \overline{{\sigma_{c}}} $).

定义5    设(L^X，c)是L-闭包空间，A，B∈L^X. 如果A$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧B=A∧B$ \overline{{\sigma_{c}}} $=0，则称A，B是σ_c-隔离子集.

定义6    设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X. 如果不存在异于0的σ_c-隔离子集B，C，使得A=B∨C，则称A为σ_c-连通子集. 特别地，当L-子集1为σ_c-连通子集时，称(L^X，c)是σ_c-连通空间.

定理1    设(L^X，c)是L-闭包空间，则以下结论等价：

(ⅰ) (L^X，c)不是σ_c-连通空间；

(ⅱ) 存在两个异于0的σ_c-闭集A，B，使得A∨B=1，A∧B=0；

(ⅲ) 存在两个异于0的σ_c-开集A，B，使得A∨B=1，A∧B=0.

证    $ (\mathrm{i}) \Rightarrow(\mathrm{ii}) $设(L^X，c)不是σ_c-连通空间，则存在异于0的σ_c-隔离子集A，B，使得A∨B=1. 于是

即A是σ_c-闭集. 同理可证B是σ_c-闭集.

$ (\mathrm{ii}) \Rightarrow(\mathrm{i}) $由定义5知结论成立.

$ (\mathrm{ii}) \Rightarrow(\mathrm{iii}) $设存在两个异于0的σ_c-闭集C，D，使得C∨D=1，C∧D=0. 则C′，D′是两个异于0的σ_c-开集，且

令A=C′，B=D′，则(ⅲ)成立. 同理可证(ⅲ) $ \Rightarrow $(ⅱ)成立.

推论1    设(L^X，c)是L-闭包空间，则(L^X，c)不是σ_c-连通空间当且仅当存在L^X中的异于0和1的L-集A既是σ_c-开集又是σ_c-闭集.

定理2    设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X是σ_c-连通子集. 若A≤B≤A$ \overline{{\sigma_{c}}} $，则B是σ_c-连通子集.

证    反设B不是σ_c-连通集，则存在L^X中两个异于0的σ_c-隔离子集C，D，使得B=C∨D. 令

由于A≤B，则

且

由于A是σ_c-连通子集，则E=0或F=0. 不妨设E=0，则A=F=A∧D，从而

又因

即C=0，矛盾. 于是，B是σ_c-连通子集.

推论2    设A是(L^X，c)中的σ_c-连通子集，则$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $是σ_c-连通子集.

定理3    设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X是σ_c-连通子集. 如果存在L^X中的σ_c-隔离子集B，C，使得A≤B∨C，则A≤B或A≤C.

证   设B，C是(L^X，c)中的σ_c-隔离子集，使得A≤B∨C. 则

且

即

同理

于是，A∧B和A∧C是σ_c-隔离子集. 由于A是σ_c-连通子集，则A∧B=0或A∧C=0. 如果A∧B=0，则

同理，若A∧C=0，则A≤B.

定理4    设(L^X，c)是L-闭包空间，{A_t}_t∈T⊂L^X是(L^X，c)中的σ_c-连通子集族. 若存在s∈T，使得对∀t∈T\{s}，A_t与A_s都不是σ_c-隔离的，则$ A=\bigvee\limits_{t \in T} A_{t} $是σ_c-连通子集.

证    设B，C是(L^X，c)中的σ_c-隔离子集，使得A=B∨C. 由定义6，只需证明B=0或C=0.

对∀t∈T，令

则

且

即对∀t∈T，B_t与C_t是σ_c-隔离子集. 由于A_t是σ_c-连通子集，则B_t=0或C_t=0. 从而，A_t=C_t≤C或A_t=B_t≤B. 特别地，A_s=C_s≤C或A_s=B_s≤B. 不妨设A_s=C_s≤C，则对∀t∈T\{s}，A_t≤C. 事实上，如果存在t∈T，使得A_t $ \not \leq $ C，则A_t≤B. 于是

即A_t与A_s是σ_c-隔离子集，矛盾. 于是，对∀t∈T，A_t≤C，A≤C. 则

即B=0. 从而$ A=\bigvee\limits_{t \in T} A_{t} $是σ_c-连通子集.

推论3    设(L^X，c)是L-闭包空间，{A_t}_t∈T⊂L^X是(L^X，c)中的σ_c-连通子集族. 若$ \bigwedge\limits_{t \in T} A_{t} \neq \underline{0} $，则$ A=\bigvee\limits_{t \in T} A_{t} $是σ_c-连通子集.

定义7   设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X称为(L^X，c)中的σ_c-连通分支，如果存在σ_c-隔离子集B，当A≤B时，有B=A成立.

定理5    设(L^X，c)是L-闭包空间，则：

(ⅰ) 所有σ_c-连通分支的并是1；

(ⅱ) 不同的σ_c-连通分支互不相交；

(ⅲ) 任意的σ_c-连通分支都是σ_c-闭集.

证    (ⅰ) 首先证明，对∀x_α∈M^*(L^X)，x_α是σ_c-连通子集. 事实上，如果x_α不是σ_c-连通子集，则存在两个异于0的σ_c-隔离子集A，B，使得x_α=A∨B. 由于x_α是分子，则x_α=A或x_α=B. 从而A=0或B=0，矛盾. 令

则A(x_α)是包含x_α的σ_c-连通分支，即对∀x_α∈M^*(L^X)，都存在包含x_α的σ_c-连通分支. 由于∨ M^*(L^X)=1，则(L^X，c)中所有的σ_c-连通分支的并是1.

(ⅱ) 设A，B是(L^X，c)中不同的两个σ_c-连通分支，如果A∧B≠0，则A∨B是σ_c-连通子集. 这与A，B是σ_c-连通分支矛盾.

(ⅲ) 设A是(L^X，c)中任意的σ_c-连通分支，则$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $是σ_c-连通子集，且A≤$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $. 于是A=$ A_\overline{{\sigma_{c}}} $，即A是σ_c-闭集.

定理6    设(L_i^X_i，c_i)(i=1，2)是L-闭包空间，f：L₁^X₁ → L₂^X₂是σ_c-连续序同态. 如果A∈L₁^X₁是σ_c-连通子集，则f(A)是(L₂^X₂，c₂)中的σ_c-连通子集.

证    设B，C是L₂^X₂中的σ_c-隔离子集，使得f(A)=B∨C. 只需证明B=0或C=0.

令

则

由f的连续性，有

即E，F是(L₁^X₁，c₁)中的σ_c-隔离子集. 令

则G，H是(L₁^X₁，c₁)中的σ_c-隔离子集，且A=G∨H. 由于A是σ_c-连通子集，则G=0或H=0. 不妨设G=0，则

于是

综上所述，f(A)是(L₂^X₂，c₂)中的σ_c-连通子集.

推论4    L-闭包空间中的σ_c-连通性是σ_c-同胚不变性.

定义8    设(L^X，c)是L-闭包空间，x_α∈M^*(L^X)，P∈L^X. 如果P是σ_c-闭集，且x_α $ \not \leq $P，则称P为x_α的σ_c-闭远域，以η$ \overline{{\sigma_{c}}} $(x_α)记x_α的所有σ_c-闭远域之族. 令Q∈L^X，如果存在x_α的σ_c-闭远域P，使得Q≤P，则称Q为x_α的σ_c-远域，以η_σc(x_α)记x_α的所有σ_c-远域之族.

定理7 (樊畿定理)   设(L^X，c)是L-闭包空间，A∈L^X是σ_c-连通子集当且仅当对每个映射

及A中任意二分子a，b，存在A中有限多个分子e₀，e₁，…，e_n，使得

证    设A不是σ_c-连通子集，则存在L^X中两个异于0的L-子集B，C，满足

定义

使得当e≤B时，P(e)=C$ \overline{{\sigma_{c}}} $；当e≤C时，P(e)=B$ \overline{{\sigma_{c}}} $. 由分子的性质知，∀e∈M^*(A)，e≤B或e≤C成立，于是(2)式定义了M^*(A)上的一个映射. 由于

于是e$ \not \leq $ P(e)，且P(e)是σ_c-闭集. 故对∀e∈M^*(A)，均有P(e)∈η_σc(e). 任取分子a∈B，b∈C，则a，b∈M^*(A). 对A中有限多个分子e₀，e₁，…，e_n，e₀=a，e_n=b，由于e_i≤B或e_i≤C(i=0，1，…，n)必有一个成立，则P(e_i)=C$ \overline{{\sigma_{c}}} $或P(e_i)=B$ \overline{{\sigma_{c}}} $. 显然P(e₀)=C$ \overline{{\sigma_{c}}} $，P(e_n)=B$ \overline{{\sigma_{c}}} $，于是存在i∈{1，…，n}，使得P(e_i)=C$ \overline{{\sigma_{c}}} $，P(e_i+1)=B$ \overline{{\sigma_{c}}} $，从而

与(1)式矛盾.

反之，设(1)式不成立，即存在映射

及不同的分子a，b∈M^*(A)，使得对A中任意有限多个分子e₀，e₁，…，e_n，(1)式不成立. 为方便，设a，b是A中的两个分子，如果存在A中有限多个分子e₀，e₁，…，e_n，使得(1)式成立，则称a，b是σ_c-可连接的，否则称为σ_c-不可连接的. 令

由于a$ \not \leq $ P(a)，则A$ \not \leq $ P(a)，a与a是σ_c-可连接的. 于是a∈Φ，a≤B. 由假设a与b是σ_c-不可连接的，则b∈Ψ，b≤C. 从而B≠0，C≠0. 对∀e∈M^*(A)，e∈Φ或e∈Ψ，所以A=B∨C. 只需证明B$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧C=C$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧B=0. 从而，A是σ_c-不连通子集，矛盾.

事实上，不妨设B$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧C≠0. 任取分子d≤B$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧C. 于是d≤B$ \overline{{\sigma_{c}}} $，d$ \not \leq $ P(d)，则B$ \not \leq $ P(d)，因此存在e∈Φ，使得e$ \not \leq $ P(d). 从而

所以A$ \not \leq $ P(d)∨P(e). 由于e与a是σ_c-可连接的，则a与d是σ_c-可连接的. 又由d≤C，知C$ \not \leq $ P(d)，存在λ∈Ψ，使得λ$ \not \leq $ P(d). 从而

所以A$ \not \leq $ P(d)∨P(λ). 由于d与a是σ_c-可连接的，则a与λ是σ_c-可连接的，这与λ∈Ψ矛盾. 从而B$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧C=0.

同理可得C$ \overline{{\sigma_{c}}} $∧B=0.