Estimation of Fractional Maximal Operator and Its Commutator on Generalized Orlicz-Morrey Spaces over Dunkl Setting

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众所周知，算子与函数空间相关问题的研究一直是现代调和分析的热点问题. 例如，文献[1]证明了带粗糙核的奇异积分Toplitz-型算子在加权BMO空间上的有界性. 更多研究可参见文献[2-5]. 文献[6]首次介绍了欧氏空间上的差微分算子，即Dunkl算子{D_k，j}_j=1^d. Dunkl算子是一类与有限反射群相关的微分反射算子. 其不仅将黎曼对称空间中常见的偏导数与不变微分算子进行了推广，而且还推广了布朗运动模型，有关该类算子的更多研究和结果，可参见文献[7-14].

对任意v∈$ {\mathbb{R}}^d$\{0}，定义σ_v为v垂直于超平面H_v⊂$ {\mathbb{R}}^d$的反射

其中〈·，·〉为欧氏空间上的内积，且对任意x∈$ {\mathbb{R}}^d$，有‖x‖=$ \sqrt {\left\langle {x, x} \right\rangle } $. 此外，设有限集D⊂$ {\mathbb{R}}^d$\{0}，若对于任意v∈D，恒有σ_vD=D，则称D为根系统.

设由反射族{σ_v}_v∈D构成的有限群G为根系统反射群. 对任意v∈$ {\mathbb{R}}$，k_v≥0，用h_k表示$ {\mathbb{R}}^d$上的权函数，有

h_k为G不变函数，且是γ_k次齐次的，其中γ_k=$ \sum\limits_{v \in {D^ + }} {{k_v}} $，D⁺为正极子系统. 基于h_k的前提下，文献[15]得到了与Dunkl集相关的极大算子在Orlicz空间上的有界性. 随后，文献[16]证明了基于Dunkl集上分数次极大算子在Orlicz空间上的有界性. 文献[5]得到了极大算子与奇异算子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 受以上结论的启发，本文得到了与Dunkl集相关的广义Orlicz-Morrey空间的定义，并证明了基于Dunkl集上分数次极大算子及其与BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)生成的交换子在广义Orlicz-Morrey空间上的有界性. 设

是中心为x∈$ {\mathbb{R}}^d$且半径为r的球，在Dunkl集上的测度为

其中

S^d-1是$ {\mathbb{R}}^d$上的单位球，dσ为标准化曲面测度.

定义1^[16]  设f∈L_loc^1，k($ {\mathbb{R}}^d$)，带有Dunkl集的有界平均振荡空间定义为

其中

且f_B(x，r)表示函数f在球B(x，r)上的平均值.

设0＜α＜d+2γ_k及f∈L_loc^1，k($ {\mathbb{R}}^d$)，带Dunkl集的分数次极大算子定义为

给定b∈BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)，与带Dunkl集的分数次极大算子相关的交换子M_α，k，b定义为

若存在连续凸函数Φ：[0，∞) [0，∞]，满足

则称Φ为Young函数.

全文用Y表示满足0＜Φ(r)＜∞的全体Young函数构成的集合. 根据凸性以及Φ(0)=0，容易验证Young函数都是增的.

定义2^[16]  设Φ∈Y，则带有Dunkl集的Orlicz空间L^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)定义为

且

带有Dunkl集的弱Orlicz空间WL^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)的定义为

且

其中

接下来，我们回顾一些逆函数的有关概念^[12]. 对于一个函数Φ∈Y，且0≤t≤∞，设

若Φ∈Y，则称Φ^-1为Φ的逆函数. 很明显，对于任意的r≥0，有r≤Φ^-1(r)${{\mathit{\tilde \Phi }}^{ - 1}}$(r)≤2r，其中${{\mathit{\tilde \Phi }}}$(r)定义为

设Φ∈Y，若存在常数C＞1，使得对任意的r＞0，有Φ(2r)≤CΦ(r)，则称Φ满足Δ₂条件，即Φ∈Δ₂. 另一方面，若Φ(r)≤$ \frac{1}{{2\kappa }}$Φ(κr)，则称Φ满足∇₂条件，即Φ∈∇₂.

类似地，我们给出如下带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间的定义：

定义3  设φ(x，r)＞0为$ {\mathbb{R}}^d$×(0，∞)上的可测函数，Φ∈Y，带有Dunkl集的广义Orlicz-Morrey空间定义为

其中

相应地，带有Dunkl集的弱广义Orlicz-Morrey空间定义为

其中

全文中，C表示与主要参数无关的常数，其值在不同的地方可能不尽相同. 对于$ {\mathbb{R}}^d$上的可测子集E，χ_E表示其上的特征函数.

引理1^[15]  若f，g为$ {\mathbb{R}}^d$上的可测函数，Φ∈Y，$ {\mathit{\tilde \Phi }}$(r)为其补函数，则有

引理2^[16]  设Φ∈Y，则对任意球B⊂$ {\mathbb{R}}^d$，有

引理3^[16]  设Φ∈Y，则对任意球B，有

引理4^[16]   (ⅰ)若f∈BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)，则存在p∈[1，∞)，有

且对任意0＜2r＜t，有

(ⅱ)设f∈BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)，则对Φ∈Y∩Δ₂，有

引理5^[15]  设Φ∈Y∩Δ₂，球B⊂$ {\mathbb{R}}^d$，f∈L^Φ，k(B)，则对于1＜p＜∞，有

其中C是不依赖于f和b的正常数.

定理1  设0＜α＜d+2γ_k，Φ∈Y∩∇₂，且B=B(x，r)，若函数对(φ₁，φ₂)和(Φ，Ψ)满足条件

则M_α，k从M^{Φ，φ₁，k}($ {\mathbb{R}}^d$)到M^{Ψ，φ₂，k}($ {\mathbb{R}}^d$)有界.

证  对任意的f∈L_loc^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)，有f=f₁+f₂，其中f₁=fχ_2B，f₂=$f{\chi _{{{\mathbb{R}}^d}\backslash 2B}}$，r＞0，则有

由M_α，k从L^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)到L^Ψ，k($ {\mathbb{R}}^d$)有界^[13]，得到

设任意z∈B，注意到当B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)=$ \emptyset $时，有t＞r. 事实上，若y∈B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)，有t＞|y-z|≥|x-y|-|x-z|＞2r-r=r. 另一方面，若y∈B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)，有|x-y|≤|y-z|+|x-z|＜t+r＜2t. 因此，B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)⊂B(x，2t). 则

由引理2、引理3和(1)式，有

则有

结合(2)式可知

定理2  设0＜α＜d+2γ_k，b∈BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)，Φ∈Y∩γ∩∇₂，Ψ∈Y∩Δ₂，若函数对(φ₁，φ₂)和(Φ，Ψ)满足以下条件：

则M_α，k，b从M^{Φ，φ₁，k}($ {\mathbb{R}}^d$)到M^{Ψ，φ₂，k}($ {\mathbb{R}}^d$)上有界.

证  设0＜α＜d+2γ_k，b∈BMO_k($ {\mathbb{R}}^d$)，Φ∈Y∩γ∩∇₂，Ψ∈Y∩Δ₂，若Φ，Ψ满足(3)式，则对任意的球B=B(x，r)和f∈L^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)，有f=f₁+f₂，其中f₁，f₂同定理1证明中的分解相一致，则

由M_α，k，b从L^Φ，k($ {\mathbb{R}}^d$)到L^Ψ，k($ {\mathbb{R}}^d$)有界^[13]，得到

对任意的z∈B，B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)=$ \emptyset $，且B(z，t)∩($ {\mathbb{R}}^d$\2B)⊂B(x，2t). 因此

进一步，得到

由引理2、引理1、引理3和引理4，有

对于J₂，由引理4、(3)式和引理3，有

由J₁，J₂的估计可得

则可得到

再结合(4)式，不难得到