Modified Slashed Lindley-Weibull Distribution

若随机变量X服从修正的扩展林德利—威布尔分布，记为X~MSLW(λ，α，θ，q)，具体表达式为

其中:Z~LW(λ，α，θ)和U~exp(2)独立，λ>0是尺度参数，α>0和θ>0是形状参数，q>0是峰度参数.

命题1  假设X~MSLW(λ，α，θ，q)，则X的概率密度函数表示为

其中λ>0是尺度参数，α>0和θ>0是形状参数，q >0是峰度参数，且有

证   根据随机表达式(1)和雅可比行列式的方法，计算X的概率密度函数如下:首先做一个变量替换，令$X = Z{U^{ - \frac{1}{q}}} $以及T=U，则有$ Z = X{T^{\frac{1}{q}}}$和U=T，变换的雅可比行列式表示为

因此，(X，T)的联合概率密度函数为

最后利用$u=\frac{x t^{\frac{1}{q}}}{\lambda} $，就得到X最终的概率密度函数.

尺度参数λ，形状参数α和θ，峰度参数q对MSLW分布的概率密度函数的影响如图 1所示，呈现单峰或非增形状.

假设X~MSLW(λ，α，θ，q)，那么由MSLW分布的概率密度函数的具体表达式，可以推导以下性质:

1) $\mathop {\lim }\limits_{q \to \infty } {f_X}(x;\lambda , \alpha , \theta , q) = \frac{{\alpha {\theta ^2}}}{{\lambda (\theta + 1)}}{\left( {\frac{x}{\lambda }} \right)^{\alpha - 1}}\left[ {1 + {{\left( {\frac{x}{\lambda }} \right)}^\alpha }} \right]\exp \left( { - \theta {{\left( {\frac{x}{\lambda }} \right)}^\alpha }} \right) $.

2) $ \mathop {\lim }\limits_{q \to \infty } {f_X}(x ; \lambda, 1, \theta, q)=\frac{\theta^{2}}{\lambda(\theta+1)}\left(1+\frac{x}{\lambda}\right) \exp \left(\frac{-\theta x}{\lambda}\right)$.

3) $ F_{X}(x ; \lambda, \alpha, \theta, q)=\frac{2 \alpha \theta^{2} q \lambda^{q}}{\theta+1} \int_{0}^{x} v^{-(q+1)} J_{X}(v ; \lambda, \alpha, \theta, q) \mathrm{d} v$.

注1    (ⅰ)当q=1时，称X服从典型的修正的扩展林德利—威布尔分布，表示为X=ZU^-1，记为X~CMSLW(λ，α，θ)，并且其概率密度函数为

其中λ>0是尺度参数，α>0和θ>0是形状参数，J_X由(3)式给出.

(ⅱ)由性质1)可知，当$ q \to \infty $时，MSLW分布收敛到一般的LW分布^[4]；性质2)可知，当$ q \to \infty $且α=1时，MSLW分布收敛到林德利指数分布^[11].

可靠性函数和风险率(失效率)函数是两项重要的可靠性指标.其中可靠性函数R_T(t)表示一个项目在某个时间t内未发生故障的概率，定义为R_T(t)=1-F_T(t).MSLW分布的可靠性函数由下式给出

假定某事件的存活时间达到时刻t，那么该事件的风险率函数$ h_{T}(t)=\frac{f_{T}(t)}{1-F_{T}(t)}$可以粗略地解释为在超过时刻t瞬时死亡的条件概率.MSLW分布的风险率函数如下

其中J_X由(3)给出.不同的参数λ，α，θ，q的取值下，MSLW分布的可靠性函数和风险率函数如图 2所示.由图 2可知，不同的参数取值下，MSLW分布的两种可靠性指标函数表现出多种图形形状，这说明了新的分布MSLW的灵活性.

引理1   设Z服从LW(λ，α，θ)分布，则有

其中$ \varGamma\left(\frac{r}{\alpha}\right)$，表示为伽马函数，见文献[7].

命题2   设X服从MSLW(λ，α，θ，q)分布，那么，对于r=1，2，…，以及q>r，X的r阶矩如下

其中$ d(r)=\left(\alpha+\frac{r}{\theta+1}\right) \varGamma\left(\frac{r}{\alpha}\right) \varGamma\left(\frac{q-r}{q}\right)$.

证   由(1)可知，Z和U是相互独立的两个随机变量，所以就有

其中$ \mathbb{E}\left(U^{-\frac{r}{q}}\right)$经计算为$ 2^{\frac{r}{q}} \varGamma\left(\frac{q-r}{q}\right), q>r $，$ \mathbb{E}\left(Y^{r}\right)$由(6)式给出.

推论1   若X~MSLW(λ，α，θ，q)，则有

1) $ \mu_{1} =\mathbb{E}(X)=\frac{2^{\frac{1}{q}} \lambda}{\alpha^{2} \theta^{\frac{1}{\alpha}}} d(1) $

2) $ \mu_{2} =\mathbb{E}\left(X^{2}\right)=\frac{2^{\frac{2}{q}} 2 \lambda^{2}}{\alpha^{2} \theta^{\frac{2}{\alpha}}} d(2), q>2 $；

3) $\mu_{3} =\mathbb{E}\left(X^{3}\right)=\frac{2^{\frac{3}{q}} 3 \lambda^{3}}{\alpha^{2} \theta^{\frac{3}{\alpha}}} d(3), q>3 $；

4) $\mu_{4} =\mathbb{E}\left(X^{4}\right)=\frac{2^{\frac{4}{q}} 4 \lambda^{4}}{\alpha^{2} \theta^{\frac{1}{\alpha}}} d(4), q>4 $；

注2   偏度和峰度系数由下面两个式子给出

由推论1可知，MSLW分布的偏度和峰度系数值独立于尺度参数λ.

图 3表示形状参数α=0.3的MSLW分布和SLW分布的偏度和峰度系数，由图 3可知MSLW分布的两个系数值均大于SLW分布，可用于拟合具有异常观测值数据的分布.

本节阐述MSLW分布参数估计的最大似然(ML)方法.若X₁，X₂，…，X_n是来自服从MSLW(λ，α，θ，q)分布，容量为n的随机样本.假设参数未知，其中$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} $表示观察值，则对数似然函数为

其中$ c(\lambda , \alpha , \theta , q)=n\log \left( \frac{2\alpha q}{\theta +1} \right)+2n\log (\theta )+nq\log (\lambda ), {{J}_{X}}(x)={{J}_{X}}(x;\lambda , \alpha , \theta , q)$由(3)式定义.在实际中，为了得到参数的ML估计，本文选用数值方法求解优化问题

其中l(λ，α，θ，q)由(9)式给出.本文使用R软件中optim函数，应用L-BFGS-B算法来求解(10).文献[7]指出，两个形状参数α和θ的存在导致参数可识别性的问题，但如果只有一个形状参数，这个问题就会消失.因此，出于实际目的，在实证分析中，本文使用具有唯一形状参数的MSLW模型版本，即假定α=θ.

本节比较4种分布MSLW，MSL，SLW和LW对具有较高峰度的实际数据集建模的有效性.数据来源于http://lib.stat.cmu.edu/datasets/Plasma_Retinol，该数据表明人体中一些微量营养素的血浆浓度存在很大差异，可能会增加某些癌症发生的风险，其包含了14个变量，每个变量下有314个观测值，本文选择其中第13个变量β-血浆进行分析.

表 1是对β-血浆数据进行描述性统计分析的一个总结，其中n表示样本容量，$ {\bar{x}}$为样本均值，S²为样本方差，β_s和β_k分别表示样本的偏度和峰度系数，揭示了数据具有较高的峰度，也可以更直观地在箱线图(图 4)中看出.

表 2分别给出了4个模型MSLW，MSL，SLW和LW的参数的最大似然估计以及相应的最大对数似然函数值，表明MSLW模型对应的对数似然函数值最大.

为了比较分布的拟合效果，本文考虑Akaike信息准则(AIC)和Bayesian信息准则(BIC).它们分别表示为

其中:k为分布参数个数，n为样本容量，log lik为对数似然函数的最大值.表 3显示了每个模型对应的AIC和BIC值，以及应用拟合优度Kolmogorov-Smirnov进行检验得到的Kolmogorov-Smirnov统计量(K-S统计量)和检验的P值.可以看出，基于AIC，BIC，K-S统计量和P值，MSLW模型比另外3个模型的拟合效果更好.除此之外，可以更直观地在图 5(a)发现，对于真实数据，MSLW拟合程度更优.图 5(b)直方图尾部的放大图揭示了MSLW分布对具有较高峰度的数据集适用性更强.图 6分别描述了MSLW，MSL，SLW和LW同原始数据的Q-Q图，也同样表明MSLW模型在该数据集上具有更好的拟合效果.

引入了LW分布的一个新的扩展形式，新分布表示为LW分布和指数分布的幂这两个独立随机变量的比值，称为修正的扩展林德利—威布尔分布(MSLW).该分布扩大了峰度范围，可用于模拟具有过度峰度和异常观测值的正数据集，实证分析验证了该分布的可行性.