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当(p，q)=1，p，q∈
$\mathbb{N} $ 时，形如的不定方程已经有不少研究工作[1-10].在本文中，我们将运用递归数列方法证明当(p，q)=(5，6) 时，不定方程
仅有一组正整数解(x，y)=(21，20).首先将方程(1) 化为
容易知道方程x2-30y2=-5的全部整数解由一个结合类(歧类)给出
其中
$5+\sqrt{30}$ 是x2-30y2=-5的最小正整数解，$11+2\sqrt{30}$ 是Pell方程u2-30v2=1的基本解.于是方程(2) 的解应满足容易看出yn=y-n，于是方程(2) 的解应满足
容易验证下列关系式成立
下面将证明(3) 式仅当n等于0，2，-1，-3时成立，由此求得方程(2) 的全部整数解，进而求得(1) 的全部正整数解.
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本节考察当n取何值时，4yn+5为完全平方数.在做此工作之前我们先介绍几个引理.
引理1 设2|n，n＞0，则
$\left( \frac{\pm 20{{v}_{2n}}+5}{{{u}_{2n}}} \right)=\left( \frac{{{u}_{n}}\pm 4{{v}_{n}}}{23} \right)$ .证 当2|n时，u2n≡1(mod 8)，vn≡0(mod 2)，un≡1mod 8，于是
证毕.
引理2 若4yn+5是平方数，则n≡0，2，-1，-3(mod 2×52).
证 在此次证明中我们采用对序列{4yn+5}取模的方法证明，分两步
第一步：
mod 101，排除n≡1，3(mod 5)，此时4yn+5≡89，89(mod 101)，余n≡0，2，4(mod 5)，即n≡0，2，4，5，7，9，10，12，14，15，17，19，20，22，24(mod 25). mod 101是对{4yn+5}取的，mod 5指出所得剩余序列周期为5. 89为mod 101的平方非剩余，为节省篇幅，我们以下均按这种方式叙述.
mod 701，排除n≡4，7，17，20(mod 25)，此时4yn+5≡642，540，540，642(mod 701).余n≡0，2，5，9，10，12，14，15，19，22，24(mod 25).
mod 14401，排除n≡5，12，19(mod 25)，此时4yn+5≡14255，6834，14255(mod 14401)，余n≡0，2，9，10，14，15，22，24(mod 25).
mod 515401，排除n≡9，10，14，15(mod 25)，此时4yn+5≡502844，226595，226595，502844mod 515401，余n≡0，2，22，24(mod 25)
即n≡0，2，22，24，25，27，47，49，50，52，72，74，75，77，97，99(mod 100).
第二步：
mod 231841，排除n≡3，4，5，7，12，14，15，16(mod 20)，排除n≡24，25，27，47，52，72，74，75(mod 100).
综上即余n≡0，2，22，47，49，50，77，97，99(mod 100)，即n≡0，2，22，27，47，49(mod 50)，mod 83401排除n≡22，27(mod 50)，此时4yn+5≡81562，81562(mod 50).
综上n≡0，2，-1，-3(mod 50).
引理3 设n≡0(mod 2×52)，则仅当n=0时，4yn+5为平方数.
证 如果n≡0(mod 2×52)且n≠0则可令
对{un±4vn}取模23，所得的两个剩余序列周期均为3，而对{2t}模3的剩余序列具有周期2.下面对k分两种情况讨论.
情况Ⅰ k≡1(mod 4) 时，令
则有表 1.
对表中所有m，均有
于是，由(9)，(10) 及引理1，有
进而得
从而4yn+5是非平方数.
情况Ⅱ k≡-1(mod 4) 时，令
则有表 2.
对表中所有m，均有
于是，由(9)，(10) 式及引理1，有
进而得
从而4yn+5是非平方数.
当n=0时，4yn+5=32.证毕
引理4 设n≡-1(mod 2×52)，则仅当n=-1时，4yn+5为完全平方数.
证 如果n≡-1(mod 2×52)且n≠-1，则可令
若取m为2t，5×2t之一，则由(10) 知：
于是
由引理1可知
只要完全按照引理3证明过程中的方式取m，可得
从而4yn+5不为平方数，假设不成立.
当n=-1时，4yn+5=32，证毕.
引理5 设n≡2(mod 2×52)，则仅当n=2时，4yn+5为完全平方数.
证 如果n≡2(mod 2×52)且n≠2，则可令
若取m为2t，5×2t之一，则由(10) 知，
由于2∣m时，um≡1(mod 8)，um≡1(mod 3).故
{um}对mod 613的周期为612，而{2t}对mod 612的周期为24.
令
对所有m，均有
$\left( \frac{{{u}_{m}}}{613} \right)=-1$ .于是由上可知从而4yn+5不为平方数，假设不成立.
当n=2时，4yn+5=432，证毕.
引理6 设n≡-3(mod 2×52)，则仅当n=-3时，4yn+5为完全平方数.
证 如果n≡-3(mod 2×52)且n≠-3，则可令
若取m为2t，5×2t之一，则由(10) 知，
由于2∣m时，um≡1(mod 8)，um≡1(mod 3).故
只要完全按照引理5证明过程中的方式取m，可得
从而4yn+5不为平方数，假设不成立.
当n=-3时，4yn+5=432，证毕.
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引理7 仅当n=0时，4yn+5是平方数.
证 要使4yn+5≥0成立，即yn≤1，当且仅当n=0时成立，此时4yn+5=1.证毕.
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根据前面的讨论，现给出本文的主要结论.
定理 不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3) 仅有一组正整数解(x，y)=(21，20).
证 由引理7知
因此y=-1，-2；
由引理3知
因此y=0，-3；
由引理4知
因此y=0，-3；
由引理5知
因此y=20，-23；
由引理6知
因此y=20，-23.
由此，容易知道方程(1) 共有20组整数解，其中有16组平凡解使得(1) 式两端都?#8838;悖?即(0，-1)，(-3，-1)，(-2，-1)，(-1，-1)，(0，-2)，(-3，-2)，(-2，-2)，(-1，-2)，(0，0)，(-3，0)，(-2，0)，(-1，0)，(0，-3)，(-3，-3)，(-2，-3)，(-1，-3)；另外4组非平凡解，它们是(-24，20)，(21，20)，(-24，-23)，(21，-23).因此，不定方程5x(x+1)(x+2)(x+3)=6y(y+1)(y+2)(y+3) 仅有正整数解(x，y)=(21，20).证毕.