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本文研究以下分数阶Schrödinger-Maxwell方程非平凡解的存在性:
其中, α∈(0, 1],
${{K}_{\alpha }}=\frac{{{\pi }^{-\alpha }}\mathit{\Gamma }\left( \alpha \right)}{{{\pi }^{-\frac{3-2\alpha }{2}\mathit{\Gamma }\left( \frac{3-2\alpha }{2} \right)}}}$ , λ＞0, μ＞0, 1 < q < 2, V, ξ:${{\mathbb{R}}^{3}}\to \mathbb{R}$ , f:${{\mathbb{R}}^{3}}$ ×$\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ , V, ξ, f满足以下条件:(ⅰ) V是
${{\mathbb{R}}^{3}}$ 上的连续函数, 存在a1＞0使得并且
(ⅱ) f是
$\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ 上的连续函数, 存在d1, d2＞0, p∈(4, 2α*), 使得其中
(ⅲ) f(x, u)=o(|u|), u→0对x∈
${{\mathbb{R}}^{3}}$ 一致成立,(ⅳ)存在θ＞4使得0 < θF(x, u)≤uf(x, u), 其中, x∈
${{\mathbb{R}}^{3}}$ , u≠0,(ⅴ)
$\xi \in {{L}^{\frac{2}{2-q}}}$ (${{\mathbb{R}}^{3}}$ ).近年来, 分数阶方程的研究引起了极大的关注, 其在社会生活中的应用层出不穷[1].例如, Anastasio认为前庭视觉反射效应是分数阶的, 运动神经控制是整数阶的, 模型为
其中Dp是分数阶导数.
众所周知, Schrödinger方程是物理学中非相对性量子力学的基本方程, 文献[2]基于Lévy飞行的路径, 利用路径积分的方法, 得到用Riesz算子表示的空间分数阶Schrödinger方程:
在非线性项f的各种条件下, 文献[3-16]获得了方程(4) 弱解的存在性, 且利用山路定理获得了方程(4) 基态解的存在性, 其中f(x, u)在无穷远处关于u渐进线性增长, 即
对x∈
${{\mathbb{R}}^{N}}$ 一致成立.文献[4]利用山路定理, 在非线性项f满足次临界增长和Ambrosetti-Rabinowitz条件下, 获得了方程(4) 非平凡弱解的存在性.
文献[5]利用山路定理和Ekeland变分原理, 获得了带有扰动项的分数阶Schrödinger方程(4) 解的存在性, 其中的扰动项是
以下介绍本文所使用的工作环境, 并相应给出方程(1) 中函数φ的相关信息.
令r∈[1, +∞), 赋予Lebesgue空间Lr(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )上的范数为令α∈(0, 1], 定义分数阶Sobolev空间为
其中
${\hat{u}}$ =$\mathscr{F}$ (u), 并在其上赋予范数令Dα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )为C0∞(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )的完备化空间, 并赋予范数根据Plancherel定理知
从而
因此, 有
鉴于此, 定义本文使用的工作空间
且E是Hilbert空间[4], 其上的内积为
由内积诱导的范数为
根据(ⅰ)和λ＞0易知‖u‖E和‖u‖Hα等价.以下简记(u, v)E和‖u‖E为(u, v)和‖u‖.
引理1[3, 6, 8] 当p∈[2, 2α*]时, Hα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )连续嵌入到空间Lp(${{\mathbb{R}}^{3}}$ ); 当p∈[2, 2α*)时, Hα(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )紧嵌入到空间Lp(${{\mathbb{R}}^{3}}$ ).因此存在正常数cp使得其中
引理2[13] 对每一个u∈Hα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ ), 存在唯一的φ=φ(u)∈Dα(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )解方程(2), 且φ(u)定义为从而映射Φ:u∈Hα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )|→φ(u)∈Dα(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )是C1类的, 并且以下给出方程(1), (2) 对应的能量泛函.定义J:Hα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )×Dα(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )→$\mathbb{R}$ 如下:其中
在方程(2) 两端乘以φ=φ(u), 我们有
综上可知
并根据文献[13]中的引理2.7可得, 能量泛函J的导数为
定义1 如果(u, φ)是泛函J在Hα(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )×Dα(${{\mathbb{R}}^{3}}$ )中的临界点, 则称(u, φ)是方程(1), (2) 的弱解.定义2 令E是实Banach空间, J∈C1(E,
$\mathbb{R}$ ).若{J(un)}有界且J′(un)→0, n→∞蕴含{un}有收敛子列, 则称J满足(PS)条件.引理3[17] 令E是实Banach空间, J∈C1(E,
$\mathbb{R}$ )满足(PS)条件以及1) J(0) =0且存在β＞0, ρ＞0, 使得
2) 存在e∈E, ‖e‖＞ρ, 使得
令
其中
则c是泛函J的一个临界值.
以下是本文的主要结论:
定理1 若(ⅰ)-(ⅴ)成立, 则对于每一个λ＞0, 存在μ0＞0, 使得当μ∈(0, μ0)时, 方程(1), (2) 至少有一个非平凡解.
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引理4 在定理1的条件下, E中的任何(PS)序列均有界, 且有收敛子列.
证 设{un}是E中的(PS)序列, 即存在c＞0使得
对于足够大的n∈
$\mathbb{N}$ , 我们有根据Hölder不等式和(5) 式, 我们可知
综合(9), (10) 两式可得
注意到q∈(1, 2), (11) 式表明{un}在E中有界.
从而存在u0∈E, 使得{un}在子列意义下(不失一般性仍记为{un})于E中弱收敛到u0, 根据紧嵌入可知, 在Ls(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ )(2≤s < 2α*)中{un}强收敛到u0, 在${{\mathbb{R}}^{3}}$ 中{un}几乎处处收敛到u0.因此根据文献[17]中的引理A. 1, 在子列意义下, 存在ω(x)∈L2(
${{\mathbb{R}}^{3}}$ ), 使得为了证明{un}在E中强收敛到u0, 需要满足:存在常数Cφ, 使得
事实上, 根据文献[13]中的(2.4) 和(2.12) 式, 有
其中B和C均为正常数.由(14) 式且知(13) 式显然成立.
根据(12) 式, 可得
根据Hölder不等式和(12) 式, 可以推出
根据(ⅱ)可知
注意到J∈C1, 从而有
综上所述, 可知
因此在E中, un→u0.
定理1的证明 由引理4, 仅需验证引理3中的1), 2) 成立即可.根据(ⅱ), (ⅲ), 对任意给定的ε＞0, 存在Cε＞0使得
结合(5) 式, 有
从而
可取
令
注意到q < 2 < p, 从而一定存在ρ＞0, 使得g在ρ点达到最大值, 且g(ρ)＞0.从而可选取足够小的μ0＞0, 使得当μ∈(0, μ0)时,
引理3的1) 得证.
根据(ⅳ), 注意到(15) 式, 存在Cθ＞0使得
另外根据文献[13]中的(2.13) 式, 存在dφ＞0使得
给定u∈E, t＞0, 有
因为
所以令
则有
这表明引理3的2) 成立.根据引理3, 泛函J有一个正的临界值, 即存在u0∈E, 使得
注意到
从而u0是J的非平凡临界点, 也就是方程(1), (2) 至少有一个非平凡解.
注本文在经典的Ambrosetti-Rabinowitz条件下研究了分数阶Schrödinger-Maxwell方程非平凡解的存在性, 创新之处在于考虑了参数和扰动项μξ(x)|u|q-2u对解存在性的影响(类似的扰动项可参见文献[5, 10]), 这优于文献[7, 12]中带有简单扰动项g(x)的问题.
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