设(S，+，·)是(2，2)-型代数，其中“+”和“·”是S上的二元运算.若S满足：

(ⅰ) (S，+)和(S，·)都是半群；

(ⅱ) (S，+，·)满足等式x(y+z)≈xy+xz和(x+y)z≈xz+yz，

则称(S，+，·)是半环.因此，半环可以看作是满足分配律的同一集合上的两个半群.半群的格林关系在其理论的发展中有着非常重要的作用，而半环的乘法导出半群和加法导出半群都有各自的格林关系，因此，对半环的乘法导出半群、加法导出半群以及整个半环上的格林关系的研究是很有意义的.文献[1-3]对幂等元半环上的格林关系进行了的研究，并借助幂等元半环的格林关系研究了这类半环簇的$\mathscr{L}$-子簇和$\mathscr{D}$-子簇，得到了许多重要的结论.

设S是满足下列附加恒等式的半环：

则对任意的a∈S，都有

且

因此，半环S的乘法导出半群(S，·)是完全正则半群.显然，满足(1)，(2)，(3)这三个附加恒等式的所有半环作成一个簇，记为V.用符号$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $，$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $和$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $分别表示半环S的加法导出半群(S，+)上的格林$\mathscr{L}$，$\mathscr{R}$和$\mathscr{D}$关系，用符号$\dot {\mathscr{L}}$，$\dot {\mathscr{R}}$和$\dot {\mathscr{D}}$分别表示半环S的乘法导出半群(S，·)上的格林$\mathscr{L}$，$\mathscr{R}$和$\mathscr{D}$关系.

设S∈V.由文献[4]可知，S的加法导出半群(S，+)和乘法导出半群(S，·)上的$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $和$\dot {\mathscr{L}}$分别定义为：

由文献[4]可知，完全正则半群的每个H-类都是群，H_a表示a所在的H-类，a⁰表示群H_a的单位元.并且每一个完全正则半群S都是完全单半群的半格S=(Y，S_α)，这里Y与S/$\mathscr{J}$同构，S_α是S的$\mathscr{J}$-类.且有

引理1 设S=(Y，S_α)是完全正则半群，a∈S_α，b∈S_β，其中α≤β，则有：

(ⅰ) a⁰=(aba)⁰；

(ⅱ) a$\mathscr{L}$ba，a$\mathscr{R}$ab；

(ⅲ) a=a(ba)⁰=(ab)⁰a.

引理2 设S=(Y，S_α)是完全正则半群，则$\mathscr{D}$=$\mathscr{J}$是S上的同余关系.

因此，对任意的S∈V，$\dot {\mathscr{D}}$是(S，·)上的同余关系，$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是(S，+)上的同余关系.并且很容易验证，$\dot {\mathscr{D}}$也是(S，+，·)上的半环同余关系.

本文主要对簇V中半环上的格林关系进行研究，刻画下列各种关系，并证明由这些关系所决定的半环簇都是V的子簇，最后得到这些子簇之间的Mal'cev积：

这里Δ和∇分别表示(S，+，·)上的恒等同余和泛同余.

引理3 对任意的S∈V，下列等式成立：

证 设S∈V.则由文献[5]的命题1.5.11，易知等式(4)-(7)中每个等式的右侧包含在等式的左侧中.因此，我们只需证明反包含关系.下面我们只证明等式(4)，其它等式可类似地证明.

要证$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $⊆$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $$\dot {\mathscr{L}}$$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $，我们需要证$\dot {\mathscr{L}}$$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $$\dot {\mathscr{L}}$⊆$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $$\dot {\mathscr{L}}$$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $.假设对任意a，b∈S，a$\dot {\mathscr{L}}$$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $$\dot {\mathscr{L}}$b.则存在u，v∈S，使得a$\dot {\mathscr{L}}$u$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $v$\dot {\mathscr{L}}$b.因为$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是S上的同余且a$\dot {\mathscr{L}}$u$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $v，于是有

又因为u$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $v$\dot {\mathscr{L}}$b，故有

进一步，由$\dot {\mathscr{L}}$是(S，·)上的右同余，a$\dot {\mathscr{L}}$u和b$\dot {\mathscr{L}}$v，我们有

因此，

这就证明了$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $⊆$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $$\dot {\mathscr{L}}$$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $.

引理4 设S∈V，则对任意的a，b∈S，我们有

(ⅰ) a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $)b当且仅当$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_a和$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_ba^n-1=$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_b；

(ⅱ) a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $)b当且仅当$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_a和$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ba^n-1=$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_b；

(ⅲ) a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $)b当且仅当$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_a和$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_ba^n-1=$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_b；

(ⅳ) a($\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $∨$\dot {\mathscr{D}}$)b当且仅当$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ab^n-1a^n-1=$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_a和$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ba^n-1b^n-1=$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_a.

证 设S∈V.我们只证明(ⅰ)，其它情况类似地可证.

若a，b∈S使得a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $)b，则由等式(4)可知，存在u，v∈S使得a$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $u$\dot {\mathscr{L}}$v$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $b.因为$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是(S，·)上的同余且a$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $ u，于是有

又由u$\dot {\mathscr{L}}$v$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $b，可得

因此

这就证明了

我们可类似地证明

反过来，如果对任意的a，b∈S，都有

则有

因此，由(4)式可得a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $)b.

由引理3和引理4，我们可得下面的结论：

定理1 设S∈V，则有

(ⅰ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $=∇当且仅当对任意的a，b∈S，$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_a，即S满足下列等式：

(ⅱ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $=∇当且仅当对任意的a，b∈S，$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_a，即S满足下列等式：

(ⅲ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $=∇当且仅当对任意的a，b∈S，$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_ab^n-1=$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $_a，即S满足下列等式：

(ⅳ) S满足$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $∨$\dot {\mathscr{D}}$=∇当且仅当对任意的a，b∈S，$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_ab^n-1a^n-1=$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $_a，即S满足下列等式：

由定理1可知，下列半环类的集合都构成簇V的子簇：

我们分别用${\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{d_1}}},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{l_1}}},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{r_1}}}$和$\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{d_1}}^*$来表示上述子簇.另一方面，我们用下列符号表示上面四个子簇的对偶子簇：

定理2 设S∈V，则

(ⅰ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $=Δ当且仅当半环S的乘法导出半群(S，·)是右正则纯正群并，S的加法导出半群(S，+)是半格，即S满足下列等式：

(ⅱ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $=Δ当且仅当半环S的乘法导出半群(S，·)是右正则纯正群并，S的加法导出半群(S，+)是右正则带，即S满足等式(9)和下列等式：

(ⅲ) S满足$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{R}}\limits^ + $=Δ当且仅当半环S的乘法导出半群(S，·)是右正则纯正群并，S的加法导出半群(S，+)是左正则带，即S满足等式(9)和下列等式：

(ⅳ) S满足$\mathop {\mathscr{L}}\limits^ + $∨$\dot {\mathscr{D}}$=Δ当且仅当半环S的乘法导出半群(S，·)是半格，S的加法导出半群(S，+)是右正则带，即S满足等式(10)和下列等式：

我们用${\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_l},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_r}$和$\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d^*$分别表示下列四个半环类的集合：

下面我们将证明${\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_l},{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_r}$和$\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d^*$是半环簇V的子簇.我们首先证明下面的定理：

定理3 (ⅰ) ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_d} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}} \circ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$

(ⅱ) ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_l} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{l_1}}} \circ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{l_0}}}$；

(ⅲ) ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_r} = {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{r_1}}} \circ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{r_0}}}$；

(ⅳ) $\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d^* = \mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{d_1}}^* \circ \mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_{{d_0}}^*$.

证 我们只需证明(ⅰ)，其它等式类似可证.若S∈${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_d}$，则

且对任意的u∈S，有ρ_u∈${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}}$.对任意的a，b∈S，由$\dot {\mathscr{L}}$⊆ρ和${{\dot L}_{ab}} = {{\dot L}_{{b^{n - 1}}ab}}$，我们有

即

由此可知，S/ρ满足等式(9).对任意的a，b∈S，由$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $⊆ρ和$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_a+b=$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $_b+a，可得

因此S/ρ满足等式(8).故由定理2的(ⅰ)可知，$S \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}} \circ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$.

反过来，如果$S \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}} \circ {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$，则对任意的u∈S，存在ρ∈Con(S)，使得${\rho _u} \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}}$和$S/\rho \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$.对任意的u∈S，由于${\rho _u} \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}}$，于是有

因为$S/\rho \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$，则有S/ρ满足等式(8)，(9).从而

因此

定理4 ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_d}$是由下列等式确定的V的子簇：

证 若$S \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_d}$，则ρ=$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $∈Con(S)，这里对任意的u∈S，${\rho _u} \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_1}}}$且$S/\rho \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$.因为$S/\rho \in {{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_{{d_0}}}$，由定理2的(ⅰ)可知，对任意的a，b∈S，都有ρ_ba=ρ_a^n-1ba.因此，对任意的c∈S，有

由定理1的(ⅰ)可得

因此S满足等式(11)-(14).

反过来，设S∈V且S满足等式(11)-(14).假设对任意的a，b∈S，有a($\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $)b.则存在c，d∈S使得a$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $c$\dot {\mathscr{L}}$d$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $b.我们首先证明$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是(S，+)上的同余.由等式(11)和(12)，对任意的w∈S，有

进一步，因为c$\dot {\mathscr{L}}$d，于是有

类似地可证

由于$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是S上的同余，我们有

和

因此，由(4)式可得：

其次，我们证明$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是(S，·)上的同余.事实上，由等式(13)和(14)，我们有

又因为c$\dot {\mathscr{L}}$d，我们有

通过交换c和d，类似地可得

因为$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是S上的同余，我们有

故由(4)式可得

因而$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是(S，·)上的左同余.最后，因为$\dot {\mathscr{L}}$是(S，·)上的右同余且$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是S上的同余，我们有$\dot {\mathscr{L}}$∨$\mathop {\mathscr{D}}\limits^ + $是S上的同余.

类似的，我们可推导出下列结果.结果的证明省略.

定理5 ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_l}$是的由下列等式确定的V的子簇：

定理6 ${{\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}}_r}$是的由下列等式确定的V的子簇：

定理7 $\mathit{\boldsymbol{\tilde L}}_d^*$是由下列等式确定的V的子簇：