定义1^[16] 设f∈L_loc.如果存在常数C＞0，使得对于任意的球$B \in {\mathbb{R}^n}$，满足

则称其属于BMO空间，其中

最小的常数C被定义为f的BMO范数.

定义2 设0＜α＜1，Lipschitz空间Lip_α被定义为

定义3^[15] 设向量p=(p₁，…，p_m)，1≤p₁，…，p_m≤∞，0＜p≤p₀＜∞且

对于在${\mathbb{R}^n}$上的一些可测函数集f=(f₁，…，f_m)，多Morrey范数被定义为

定义多Morrey空间$\mathscr{M}$_p^p₀是在${\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^m}$上具有(3)式形式的所有可测函数f构成的集合

在某种意义上，它在${\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^m}$中几乎处处收敛，并且假设每一个向量函数(f₁^k，…，f_m^k)都满足

那么f∈$\mathscr{M}$_p^P₀的范数被定义为

其中下确界是取遍如(3)式的所有函数.

这一部分给出分数次积分算子I_α，m在BMO空间和Lipschitz空间上的端点估计，即定理1和定理2，并对其进行证明.

定理1 设$m \in {\mathbb{N}^*}$，1＜p₁，…，p_m＜∞，0＜α=${\frac{n}{{{p_{_0}}}}}$＜1，p=(p₁，…，p_m)，并且0＜p≤p₀＜∞

则存在常数C＞0，使得

证 给定f=(f₁，…，f_m)，对于任意的球B=B(x₀，r)，只需证明不等式

成立.

设Ω：={(y₁，…，y_m)：|x₀-y₁|+…+|x₀-y_m|＜2r}且

由于

对于I₁，由Hölder不等式和I_α，m的有界性可得

设

注意到，对于(y₁，…，y_m)∈${\left( {{\mathbb{R}^n}} \right)^m}$\Ω和x，x₀∈B，很容易得到

现在估计I₂.

结合I₁与I₂的估计可得

即

至此完成定理1的证明.

定理2 设$m \in {\mathbb{N}^*}$，1＜p₁，…，p_m＜∞，0＜α-${\frac{n}{{{p_{_0}}}}}$＜1，p=(p₁，…，p_m)，并且0＜p≤p₀＜∞

则存在正常数C，使得

证 对于任意的$x,y \in {\mathbb{R}^n}$，仅需证明

设

且

由于

对于J₁，因为0＜α-${\frac{n}{p}}$＜1，所以存在α_i(i=1，…，m)使得

且

那么

由于B(x，2r)⊂B(y，3r)，因此可得

对于J₃，类似于I₂的估计可得

结合J₁，J₂和J₃的估计可得

即

至此完成定理2的证明.

特别的，有以下推论：

推论1 设$m \in {\mathbb{N}^*}$，(m-1)n＜α＜mn

且1≤q_i＜p_i＜∞，(i=1，…，m).如果p=n/α，则有

推论2 设$m \in {\mathbb{N}^*}$，0＜α＜mn

且1≤q_i＜p_i＜∞，(i=1，…，m).如果n/α＜p且0＜α-n/p＜1，则有

注记1 在文献[14]中已经给出了推论1和推论2的证明，但文献[14]中的方法在证明定理1和定理2时已经不再适用，由以上定理1和定理2的证明可知，我们使用了新的分环的思想对其进行证明.