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人类免疫缺陷病毒HIV是以攻击人体免疫系统为目的的病毒，主要攻击体内的T淋巴细胞，使得人体免疫能力下降甚至丧失，进而诱发其他疾病，其病死率较高，破坏性较大[1].在过去30年里，学者们利用数学模型探讨人类免疫缺陷病毒HIV的动力学行为[1-7].在病毒动力学中，发生率是引发病毒蔓延的重要因素，因此发生率在病毒动力学模型中有着重要的作用.绝大多数的文献假设病毒的发生率为双线性[2-4]，即感染的T淋巴细胞与病毒和未感染的T淋巴细胞始终成正比例关系.研究表明，当T淋巴细胞越多时，一个病毒与T淋巴细胞接触的机会就会越多，感染力也会随着增大，但当T淋巴细胞数量过大时，由于单位时间内一个病毒所能接触的T淋巴细胞的数目是有限的，并且随着病毒数量的增加，病毒之间对新的T淋巴细胞也会有干扰作用，因此用饱和发生率代替双线性发生率对人类免疫缺陷病毒HIV进行研究更符合实际[5].除此之外，病毒和细胞的死亡率会受到环境噪音的影响，所以确定性模型不能精确说明模型的稳定性和预测未来的动力学行为，因而研究随机模型比确定性模型更有价值[6].但文献[5]并没有研究环境噪音对带饱和发生率的人类免疫缺陷病毒HIV动力学行为的影响，因此本文将在文献[5]和文献[6]的基础上探讨带饱和发生率和死亡率受环境噪音影响的随机HIV病毒模型的动力学行为.
我们设T(t)，T*(t)，V(t)分别表示t时刻宿主内未感染的T淋巴细胞、感染的T淋巴细胞、自由病毒颗粒的浓度.建立如下带饱和发生率的随机模型：
其中系统(1)中的d，δ，c分别为未感染的T淋巴细胞、感染的T淋巴细胞、自由病毒颗粒的死亡速率.
$ \frac{\mathit{\beta T}\left( \mathit{t} \right)\mathit{V}\left( \mathit{t} \right)}{1+\mathit{aV}\left( \mathit{t} \right)}$ 表示HIV感染健康细胞的发生率，β表示未感染细胞与自由病毒颗粒接触变为感染细胞的产生速率，λ表示健康细胞的产生速率，N表示每个感染细胞产生自由病毒的数量. Bi(t)是定义在带滤波的$ {{\left\{ {{\mathbb{F}}_{\mathit{t}}} \right\}}_{\mathit{t}\ge \rm{0}}}$ 满足通常条件的完备度量空间(Ω，$ {{\left\{ {{\mathbb{F}}_{\mathit{t}}} \right\}}_{\mathit{t}\ge \rm{0}}}$ ，$ \mathbb{P}$ )上的相互独立的标准布朗运动[9]，σi2＞0代表噪音的强度(i=1，2，3).为了方便，如果f是[0，∞)上的可积函数，则定义
并设
此外，结合文献[6, 9-10]中类似的讨论，可以得到如下引理：
引理1 对任意初值(T(0)，T*(0)，V(0))∈
$ \mathbb{R}_{+}^{3}$ ，系统(1)在t≥0上存在唯一正解(T(t)，T*(t)，V(t))，并以概率1停留在$ \mathbb{R}_{+}^{3}$ 中，即对所有t≥0几乎都有(T(t)，T*(t)，V(t))∈$ \mathbb{R}_{+}^{3}$ 成立.引理2 对任意初值(T(0)，T*(0)，V(0))∈
$ \mathbb{R}_{+}^{3}$ ，系统(1)的解是最终随机有界的.引理3 如果
$ \mathit{\eta >}\frac{\mathit{\sigma }_{1}^{2}\vee \mathit{\sigma }_{2}^{2}\vee \mathit{\sigma }_{3}^{2}}{2}$ ，则
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定理1 设(T(t)，T*(t)，V(t))是系统(1)的解，如果
和
成立，则系统(1)的解有如下性质：
证 定义Lyapunov函数
由Itôs公式可得
其中
由系统(1)的第一个式子可得
将上式从0到t积分，结合引理3可得
由于
在(2)式两边从0到t积分，结合引理3可得
即是说
可以得到
结合系统(1)，则有
由(4)式可知
因此，结合(3)，(5)式和引理3可得
定理1得证.
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定理2 设(T(t)，T*(t)，V(t))是系统(1)的解，如果
$ \mathit{\eta }\rm{-}\mathit{\lambda }\rm{+}\frac{3\left( \mathit{\sigma }_{1}^{2}\vee \mathit{\sigma }_{2}^{2}\vee \mathit{\sigma }_{3}^{2} \right)}{2}<0$ 成立，则系统(1)的解是随机持续的.证 引理2知，系统(1)的解是最终有界的，结合文献[9]知，只需证明对∀ε＞0，存在正常数τ(ε)满足
定义Lyapunov函数
由Itôs公式可得
其中
因此，对∀ε＞0，选择ω1∈(0，ε)充分小，使得
成立，结合(6)式得
结合(7)式可知
其中
因此有
即
则由U2(t)的连续性知，存在一个常数Q1：=H01+1，使得
几乎对所有的t≥0都成立.令
则
由此可得
则
由(9)式可得
利用切比雪夫不等式[8]，对∀ε＞0，设
有
由此可得
因此，由
随机持续可以得到系统(1)的解X1(t)=(T(t)，T*(t)，V(t))是随机持续的.定理2得证.
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本文建立了一个考虑带饱和发生率和受环境噪音影响的随机HIV病毒模型，研究了该模型的动力学行为，通过构造Lyapunov函数得到了系统(1)的随机解的灭绝性和持续性的条件.今后可进一步研究关于系统(1)灭绝和持续的充要条件.
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