定义1^[3]  设X为非空集合，q：X×X→ $ \mathbb{R}_+$，实数s≥1.若∀x，y∈X有

(GP1) q(x，x)=q(x，y)=q(y，y)，则x=y；

(GP2) q(x，x)≤q(x，y)；

(GP3) q(x，x)≤q(y，x)；

(GP4) q(x，z)≤s[q(x，y)+q(y，z)]-q(y，y).

成立，则称(X，q)是拟-偏b-度量空间.其中q是X上的拟-偏b-度量，s是(X，q)的系数.

注1^[3]  对于拟-偏b-度量空间(X，q)，函数d_b：X×X→ $ \mathbb{R}_+$，d_b(x，y)=q(x，y)+q(y，x)-q(x，x)-q(y，y)，则d_b(x，y)是X上的b-度量.

注2^[5]  对于拟-偏度量空间(X，q)，函数d_q：X×X→ $ \mathbb{R}_+$，$ {{\mathit{d}}_{\mathit{q}}}\left( \mathit{x}, \mathit{y} \right)=\frac{\mathit{q}\left( \mathit{x}, \mathit{y} \right)+\mathit{q}\left( \mathit{y}, \mathit{x} \right)}{2}-\rm{min}$ {q(x，x)，q(y，y)}，则d_q(x，y)是X上的度量.

引理1^[3]  设(X，q)是拟-偏b-度量空间，则有下列条件成立

(Q1)若q(x，y)=0，则x=y.

(Q2)若x≠y，则q(x，y)＞0且q(y，x)＞0.

定义2^[3]  设(X，q)是拟-偏b-度量空间，{x_n}为X中的任一序列，x∈X.

(T1) {x_n}收敛到点x⇔q(x，x)= $ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} \mathit{q}\left( \mathit{x}, {{\mathit{x}}_{\mathit{n}}} \right)=\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} \mathit{q}\left( {{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}, \mathit{x} \right)$，记为$ \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\mkern 1mu} {{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}\mathit{=x}$.

(T2) {x_n}为柯西列⇔ $\mathop {\lim }\limits_{n,m \to \infty } {\mkern 1mu} \mathit{q}\left( {{\mathit{x}}_{\mathit{m}}}, {{\mathit{x}}_{\mathit{n}}} \right)$及$ \mathop {\lim }\limits_{n,m \to \infty } {\mkern 1mu} \mathit{q}\left( {{\mathit{x}}_{\mathit{n}}}, {{\mathit{x}}_{\mathit{m}}} \right)$存在(且有限).

(T3) (X，q)完备，指X中每个柯西列都收敛于点x，即

(T4) f：X→X在x₀连续，即∀ε＞0，∃δ＞0有f(B(x₀，δ))⊂B(f(x₀，ε)).

引理2^[3]  设(X，q)是拟-偏b-度量空间，(X，d_b)是对应的b-度量空间.若(X，q)完备，则(X，d_b)完备.

定义3^[2]  设映射T：X→X，函数α：X×X→[0，+∞]，若对x，y，z∈X满足以下条件，

(ⅰ) α(x，y)≥1⇒α(Tx，Ty)≥1；

(ⅱ) α(x，y)≥1且α(y，z)≥1⇒α(x，z)≥1；

则称T为三角形α-轨道相容.

定义4^[2]  设(X，d_b)是b-度量空间，{x_n}为X中任一序列.若∀n∈ $ \mathbb{N}$，α(x_n，x_n+1)≥1，{x_n}收敛到点x，都存在子列{x_n(k)}使得α(x_n(k)，x)≥1，则X为α-正则.

定义5^[2]  用Ψ表示所有φ的集合，φ：[0，+∞)→[0，+∞)且满足以下条件

(R1) φ非减；

(R2) ∀t＞0，$ \sum\limits_{\mathit{n}=0}^{+\infty }{{{\mathit{\varphi }}^{\mathit{n}}}\left( \mathit{t} \right)}$收敛；

则称φ是(C)-比较函数.若φ是(C)-比较函数，则∀t＞0有φ(t)＜t.

定义6^[2]  设(X，q)是拟-偏度量空间，T：X→X. ∃α：X×X→[0，+∞)，φ∈Ψ及常数L＞0，∀x，y∈X有

其中

称T为α-φ-压缩映象.

定义7  设(X，q)是拟-偏b-度量空间，系数为s. T：X→X. ∃α：X×X→[0，+∞)，φ∈Ψ及常数L＞0，∀x，y∈X有

其中

则称T为广义的α-φ-压缩映象.

定理1  设(X，q)是完备的拟-偏b-度量空间，T：X→X为广义的α-φ-压缩映象. ∃x₀使得q(x₀，Tx₀)＜$ \frac{1}{\mathit{s}}$，若满足以下条件

(ⅰ) T为三角形α-轨道相容；

(ⅱ)∃x₀∈X，使得α(x₀，Tx₀)≥1且α(Tx₀，x₀)≥1；

(ⅲ) T连续或X是α-正则.

则T存在不动点u，且q(u，u)=0.

证  对∀n∈N，由x_n+1=Tx_n构造序列{x_n}∈X；

若∃n₀≥0有q(x_n0，x_n0+1)=0，即x_n0=x_n0+1=Tx_n0，则x_n0为T的不动点.不妨设∀n∈ $ \mathbb{N}$有q(x_n0，x_n0+1)＞0，由条件(ⅰ)及(ⅱ)有

递推可得，∀n∈ $ \mathbb{N}$有

由(1)式有

其中

因此整理(2)式有

其中

又由(GP4)有

则

假设

则

又由φ非减，由此整理(3)式有

这与∀t＞0，φ(t)＜t矛盾，假设不成立.因此

则

又由φ非减，由此整理(3)式有

递推有

当m＞n时，由φ(t)＜t及q(x₀，Tx₀)＜$ \frac{1}{\mathit{s}}$有

又由∀t＞0，$ \sum\limits_{\mathit{n}=0}^{+\infty }{{{\mathit{\varphi }}^{\mathit{i}}}\left( \mathit{t} \right)}$收敛有

则

类似可证

因此{x_n}是(X，q)上的柯西列.又由(X，q)完备，设{x_n}收敛到点u，则有

下证u为T的不动点.若T连续则有

即u为T的不动点.若X是α-正则，即存在{x_n}的子序列{x_n(k)}，使得

假设q(u，Tu)＞0，

其中

令上式两边k→∞取极限有

由此令(5)式两边k→∞取极限有

这与∀t＞0，φ(t)＜t矛盾.因此假设不成立，即

综上证得：u为T的不动点且q(u，u)=0.

推论1  设(X，q)是完备的拟-偏度量空间，T：X→X.若∃α：X×X→[0，+∞)，φ∈Ψ及常数L＞0，∀x，y∈X有

其中

若满足以下条件

(ⅰ) T是三角形α-轨道相容；

(ⅱ) ∃x₀∈X，使得α(x₀，Tx₀)≥1且α(Tx₀，x₀)≥1；

(ⅲ) T连续或X是α-正则；

则T有不动点u，且q(u，u)=0.

注3  该推论是对文献[2]中定理2. 2的推广.

推论2  设(X，q)是完备的拟-偏b-度量空间，T：X→X.若存在φ∈Ψ及q(x₀，Tx₀)＜$ \frac{1}{\mathit{s}}$使得∀x，y∈X有

其中

则T有不动点u，且q(u，u)=0.

证  令定理1中L=0，α(x，y)=1即可证得.

推论3  设(X，p)是完备的偏b-度量空间，T：X→X.若∃α：X×X→[0，+∞)，φ∈Ψ及p(x₀，Tx₀)＜$ \frac{1}{\mathit{s}}$，使得∀x，y∈X有

其中

若满足以下条件

(ⅰ) T是三角形α-轨道相容；

(ⅱ) ∃x₀∈X，使得α(x₀，Tx₀)≥1；

(ⅲ) T连续或X是α-正则；

(ⅳ) ∀x，y∈F(T)，有α(x，y)≥1，其中F(T)是由T的不动点构成的集合；

则T有唯一不动点.

证  不动点的存在性类似定理1可证，下证唯一性.设∃u，v∈F(T)，假设u≠v且由(ⅳ)有

其中

又由∀t＞0，φ(t)＜t，整理(6)式有

显然不成立，故u=v，即唯一性得证.

综上可得T有唯一不动点.

注4  该推论是对文献[4]中定理2.17的推广.