定义1  若定义在Banach空间X上的一族映射S(t，s)：X→X，∀t≥s，满足对于任意的t≥r≥s有

则称S(·，·)是X上的一个非自治过程.

定义2  设$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} 是Banach空间X中的一个非自治集，对任意的t₁，t₂∈$\mathbb{R}$，当t₁≤t₂时，有$\mathscr{A}$(t₁)⊂$\mathscr{A}$(t₂)，则称$\mathscr{A}$是单调递增的；当t₁≤t₂时，有$\mathscr{A}$(t₁)⊃$\mathscr{A}$(t₂)，则称$\mathscr{A}$是单调递减的.

关于非自治动力系统的详细介绍可见专著[3]，对任意的t∈$\mathbb{R}$，$\mathscr{A}$(t)在X中是紧的，但并不表示$\mathop \cup \limits_{s \leqslant t} \mathscr{A}\left( s \right)$在X中也是紧的，因此下面关于后向紧的拉回吸引子的定义是有意义的.

定义3  设S(·，·)是定义在Banach空间X上的一个非自治过程，若X中的一个非自治集$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} 满足：

1) $\mathscr{A}$是后向预紧的，即对∀t∈$\mathbb{R}$，$\mathop \cup \limits_{s \leqslant t} \mathscr{A}\left( s \right)$在X中是预紧的；

2) $\mathscr{A}$是不变的，即对于所有的t≥τ，有S(t，τ)$\mathscr{A}$(τ)=$\mathscr{A}$(t)；

3) $\mathscr{A}$是拉回吸引的，即对于X中所有的有界集B，有

其中

是Hausdorff半距离，则称$\mathscr{A}$是一个关于非自治过程S(·，·)的后向紧拉回吸引子.

下面引用文献[6-7]中的一个存在性定理：

定理1  设S(·，·)是定义在Banach空间X上的一个非自治过程，若满足

(i) S(·，·)在X上有一个单调递增的有界的吸收集$\mathscr{K}$={$\mathscr{K}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} ；

(ii) S(·，·)是后向Omega-limit紧的，即

其中κ_X(·)是文献[10]中介绍的Kuratowski测度.

则S(·，·)有一个后向紧的拉回吸引子$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} ，其中

下面介绍后向Granwall不等式和后向Granwall-type不等式，其证明完全类似于文献[12].

引理1(后向Gronwall不等式)  设t∈$\mathbb{R}$和τ＞0，y，g和h是[s-τ，s](s≤t)上的非负可积函数，且y′是[s-τ，s](s≤t)上的可积函数，若

则

若g=a＞0是一个常数，则

引理2  (后向Gronwall-type不等式)  设y，y′，y₁和y₂是$\mathbb{R}$上的局部可积函数，且y，y₁和y₂是非负函数，对于每个t∈$\mathbb{R}$，有

(i) 若b∈$\mathbb{R}$是一个给定的常数，则对每一个t∈$\mathbb{R}$和μ＞0，有

(ii) 若b≥0是一个给定的常数，则对每一个t∈$\mathbb{R}$和μ＞0，有

本节将应用上一节的存在性理论证明方程(1)在下面的假设条件下存在唯一的后向紧拉回吸引子.为了计算方便，设c是变化的正常数.

下面给出方程(1)中关于f和g的假设条件：

(A) 设p＞2，β₁，β₂，β₃＞0，f(·，·)∈C¹($\mathbb{R}$×$\mathbb{R}$，$\mathbb{R}$)满足

(B0) g∈L_loc²($\mathbb{R}$，L²($\mathbb{R}$^N)).

(B1) g是后向λ-缓增有限的：

其中：t∈$\mathbb{R}$，λ给定于(6)式中.

(B2) g是后向尾部趋于0的：

由文献[4]知，对∀s∈$\mathbb{R}$，当条件(A)和(B0)满足时，方程(1)有唯一的连续的解

特别地，u(s，s，u₀)=u₀，故可定义如下的非自治过程S(·，·)：L²($\mathbb{R}$^N)→L²($\mathbb{R}$^N)：

引理3  若条件(A)，(B0)，(B1)满足，则对每个t∈$\mathbb{R}$和每个L²($\mathbb{R}$^N)中的有界集B，存在一个τ₀＞9，使得当τ≥τ₀时有，

其中$\theta = \min \left( {\frac{\lambda }{2},2} \right)$，M(t)由条件(B1)给出.

证  让方程(1)与u在$\mathbb{R}$^N上做内积可得

由Young不等式和条件(A)知

令

由(10)式和(11)式知

由后向Gronwall不等式知，存在一个τ₀＞9，当τ≥τ₀，u₀∈B时，有

于是可得(9)式.

引理4  若条件(A)，(B0)，(B1)满足，则对每个t∈$\mathbb{R}$和每个L²($\mathbb{R}$^N)中的有界集B，存在一个τ₀＞9，使得当τ≥τ₀时有

证  让方程(1)与|u|^p-2u在$\mathbb{R}$^N上做内积，可得

对非线性项估计如下：

由Young不等式知

由(14)式和(16)式可得

对(17)式运用后向Granwall-type不等式(取μ=3和b=0)，结合(9)式和条件(B1)可知，当τ≥τ₀＞9，u₀∈B时，有

故(13)式成立.

利用上面的结果可得在H¹($\mathbb{R}$^N)上的一个后向一致估计.

引理5  若条件(A)，(B0)，(B1)满足，则对每个t∈$\mathbb{R}$和每个L²($\mathbb{R}$^N)中的有界集B，存在一个τ₀＞9，使得当τ≥τ₀时，有

证  让方程(1)与u_t在$\mathbb{R}$^N上做内积可得

由条件(A)和Young不等式可知

由(19)式和(20)式可知

对(22)式运用后向Granwall-type不等式(取μ=1和b=0)，结合(9)式、(13)式和条件(B1)，可知当τ≥τ₀＞9，u₀∈B时，有

由条件(B2)，运用cut-off函数可以证明当时间和空间都趋于无穷时，方程(1)的解在L²(Q_k^c)上是后向渐近趋于0的，这里Q_k^c=$\mathbb{R}$^N\Q_k，Q_k={x：x∈$\mathbb{R}$^N，|x|＜k}.

引理6  若条件(A)，(B0)，(B1)满足，则对每个t∈$\mathbb{R}$和每个L²($\mathbb{R}$^N)中的有界集B，存在一个τ₀＞9，使得当τ≥τ₀时有

证  对于x∈$\mathbb{R}$^N和k≥1，定义${\varphi _k}\left( x \right) = {\varphi _k}\left( {\frac{{{{\left| x \right|}^2}}}{{{k^2}}}} \right)$，这里φ(·)：$\mathbb{R}$⁺→[0, 1]是一个光滑函数：

易证明

让(1)式与φ_ku在$\mathbb{R}$^N做内积可得

由条件(A)和Young不等式可知

由(24)式和(27)式可知

由后向Gronwall不等式可知，当τ≥τ₀，u₀∈B时

由B的有界性、条件(B1)，(B2)和Lesbegue定理可知(23)式成立.

定理1  在L²($\mathbb{R}$^N)上，非自治的Reaction-Diffusion方程(1)在条件(A)，(B0)，(B1)，(B2)下有一个增的有界的吸收集$\mathscr{K}$={$\mathscr{K}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} ，且有唯一的后向紧拉回吸引子$\mathscr{A}$={$\mathscr{A}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} ，其中

证  由定理1可知，只需证明(8)式定义的过程S(·，·)在L²($\mathbb{R}$^N)的拓扑下有一个增的有界的吸收集且是后向Omega-limit紧的.事实上，由条件(A)和(B1)可知(29)式中的M₀(t)是一个关于时间t的有限的增函数，于是由引理3知(29)式中的$\mathscr{K}$={$\mathscr{K}$(t)}_{t∈$\mathbb{R}$} 是S(·，·)在L²($\mathbb{R}$^N)上的一个增的有界的吸收集.下面证明S(·，·)在L²($\mathbb{R}$^N)的拓扑下是后向Omega-limit紧的.对每一个t∈$\mathbb{R}$和L²($\mathbb{R}$^N)中有界集B，定义

由引理6可知，∀ε＞0，存在一个τ₁＞τ₀和K≥1使得

于是由文献[10]中Kuratowski测度的性质可知

运用Sobolev紧嵌入：H¹(Q_K)$\circlearrowleft$ L²(Q_K)到(18)式可知，E(τ₁)|_QK(E(τ₁)在Q_K上的限制)在L²(Q_K)上是预紧的，于是由文献[10]中Kuratowski测度的性质可知

于是由(31)式和(32)式可知

又E(τ)关于τ是单调递减的，故当τ＞τ₁时，

也即是

再由文献[10]中Kuratowski测度的性质可知(8)式中定义的过程S(·，·)在L²($\mathbb{R}$^N)的拓扑下是后向Omega-limit紧的，于是由定理1可知定理2的结论成立.