-
在研究动力系统的稳定性时,很多专家采用李雅普诺夫直接法[1].但是,在某些情况下,李雅普诺夫直接法相比于不动点方法的结论要严格苛刻一些,故很多学者采用不动点方法来研究确定性和随机性动力系统零解的存在性和稳定性[2-5].作为此研究的推广,作者在文献[6-12]中研究过多种随机微分动力系统的稳定性,而前期的研究结果还可以通过构造更适合的算子并结合有效的不等式予以改进.
全文HTML
-
函数
$a_{i}(t), g_{i}(t) \in C\left(\mathbb{R}^{+}, \mathbb{R}\right), q(s, t, x(s)) \in C\left(\mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}^{+} \times \mathbb{R}, \mathbb{R}\right)$ ,且gi(t)≤t,满足当t→∞时,gi(t)→∞,i=0,1,2,…,n.考虑一类多变时滞Volterra型动力系统:
其初始条件
其中x(t)∈
$\mathbb{R}$ ,假设q满足局部Lipschitz条件,即存在连续可积函数C(t,s),0≤s≤t,满足|C(t,s)|有界,使得对任意的x,y∈
$\mathbb{R}$ 有对于系统(1)的特殊情形如系统(3),(4),文献[1]采用李雅普诺夫直接法得到了Volterra型积分微分动力系统:
文献[2]采用不动点方法得到了多变时滞微分动力系统:
引理1[1] 如果A(t)≤0且存在K1>1及K2≥0使得
则系统(3)的零解渐近稳定.
引理2[2] 假设τj可微,t-τj(t)的反函数gj(t)存在,令
存在α∈(0,1)使得当t≥0时,
(ⅰ)
$\underline\lim \limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} Q(s) \mathrm{d} s>-\infty.$ (ⅱ)
$\sum\limits_{i=1}^{N}\left[\int_{t-\tau_{j}(t)}^{t}\left|b_{j}\left(g_{j}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{\int_{s}^{t}-Q(\mu) {\rm d} \mu}|Q(s)|\right.\int_{s-\tau_{j}(s)}^{s}\left|b_{j}\left(g_{j}(v)\right)\right| \mathrm{d} v \mathrm{d} s ]+\theta(t) \leqslant \alpha.$ 则系统(4)的零解渐近稳定的充分必要条件是
(ⅲ) 当t→∞时,
$\int_{0}^{t} Q(s) \mathrm{d} s \rightarrow \infty.$ 通过构造合适的算子,并结合适当的不等式继续采用Banach不动点方法研究系统(1)零解的渐近稳定性,得出如下定理1.
定理1 设函数q满足条件(2),gi(t)可微,且存在常数α∈(0,1)以及连续函数hi(t):[0,∞) →
$\mathbb{R}$ ,i=1,2,…,n,使得当t≥0时,(ⅰ)
$h(s)=\sum\limits_{i=1}^{n} h_{i}(s)$ 和$\underline\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$ ,(ⅱ)
$\sum\limits_{i=1}^{n} \int_{g_{i}(t)}^{t}\left|h_{i}(s)\right| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s^{h}(\mu) {\rm d} \mu}^{n}}\left|\sum\limits_{i=1}^{n}\left(h_{i}\left(g_{i}(s)\right) g_{i}^{\prime}(s)+a_{i}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+$ $\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu} \left(\int_{g_{o}(s)}^{s}|C(s, \nu)| \mathrm{d} \nu\right) \mathrm{d} s+ \int_{0}^{t}|h(s)| \mathrm{e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) \mathrm{d} \mu} \left[\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\int_{g_{i}(s)}^{s}\left|h_{i}(\nu)\right| \mathrm{d} \nu\right)\right] \mathrm{d} s \leqslant \alpha <1 $ .则系统(1)的零解渐近稳定的充要条件是
(ⅲ) 当t→∞时,
$\int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s \rightarrow \infty$ .注1 当ai(t)=-ai(ai为常数),gi(s)=s时,可以在定理1中令hi(t)=-ai(t)=ai,i=1,2,…,n.令∑ai=a.这时定理1就简化为:
推论1 设函数q满足条件(2),gi(t)可微,且存在常数α∈(0,1)使得,当t≥0时,
则系统(1)的零解渐近稳定.
注2 推论1给出的是常时滞动力系统的稳定性条件.该条件简单,易于检验,实际操作容易被推广应用.
另外,当将定理1的结论和证明过程应用到系统(3)和(4),则引理1和引理2可改进为推论1和推论2.
推论2 假设存在常数α∈(0,1)以及连续函数h(t):[0,∞) →
$\mathbb{R}$ ,使得当t≥0时.(ⅰ)
$\underline\lim\limits_{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$ .(ⅱ)
$\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}|(h(s)+A(s))| \mathrm{d} s+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s^{h}(\mu) V_{\mu}}^{t}}\left(\int_{0}^{s}|C(s, \nu)| \mathrm{d} \nu\right) \mathrm{d} s \leqslant \alpha<1$ ,则系统(3)的零解渐近稳定的充要条件是
(ⅲ) 当时当t→∞时,∫0th(s)ds→∞.
注3 推论2没有要求A(t)≤0,一定程度上改进了引理1的结论.
推论3 假设τj(t)可微,且存在常数α∈(0,1)以及连续函数hi(t):[0,∞) →
$\mathbb{R}$ ,i=1,2,…,N,使得对t≥0,(ⅰ)
$h(s)=\sum\limits_{i=1}^{N} h_{i}(s)$ 和$\underline\lim\limits _{t \rightarrow \infty} \int_{0}^{t} h(s) \mathrm{d} s>-\infty$ .(ⅱ)
$\sum\limits_{i=1}^{N}\left(\int_{t-\tau_{i}(t)}^{t}\left|h_{i}(s)\right| \mathrm{d} s\right)+\int_{0}^{t} \mathrm{e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}\left|\sum\limits_{i=1}^{N}\left(h_{i}\left(s-\tau_{i}(s)\right)\left(1-\tau_{i}^{\prime}(s)\right)-b_{i}(s)\right)\right| \mathrm{d} s+$ $\int_{0}^{t} {\rm e}^{-\int_{s}^{t} h(\mu) {\rm d} \mu}|h(s)|\left(\sum\limits_{i=1}^{N} \int_{s-\tau_{i}(s)}^{s}\left|h_{i}(\mu)\right| \mathrm{d} \mu\right) \mathrm{d} s \leqslant \alpha$ .则系统(4)的零解渐近稳定的充分必要条件是
(ⅲ)当t→∞时,∫0th(s)ds→∞.
注4 推论3没有要求t-τi(t)存在反函数,一定程度上改进了引理2的结论.
注5 在推论3中可以根据时滞的特点分别引进对应的连续函数hi(s),i=1,2,…,N,这样使得不动点方法的运用更加灵活,也很大程度改进和推广了引理2的结论.
定理1的证明 定义集合S={x|x∈C(
$\mathbb{R}$ +,$\mathbb{R}$ )},满足当s∈[m(0),0]时,ψ(s)=φ(s).定义范数满足当t→∞时,‖ψ(t)‖→0.
定义算子Ψ:S →S如下:
(Ⅰ)当t∈[m(0),0]时,(Ψφ)(t)=φ(t);
(Ⅱ)当t≥0时,
首先证明Ψ在[0,∞)上是连续的.
令φ∈S,t1≥0,|λ|充分小,则
由条件(ⅱ)易证,当λ→0时,
即
其次证明Ψ(S)⊂S.
因为
显然,当t→∞时,|I1(t)|2→0.由于当t→∞时,gi(t)→∞且‖φ(t)‖→0.所以对任意ε>0,存在T1>0使得s≥T1,包含|φ(s)|2<ε和|φ(g(s))|2<ε,从而当t→∞时,|I2(t)|2→0.
同时,由条件(ⅱ)有,
由条件(ⅱ)和(ⅲ)知,存在T2≥T1使得当t≥T2时,有
从而
因此当t→∞时,
类似地,当t→∞时,|I4(t)|2→0.同时,由条件(2)易得,当t→∞时,|I5(t)|2→0.这样就证明了Ψ(S)⊂S.
最后证明Ψ是压缩的.
由条件(ⅱ)易知,对任意φ,ψ∈S有
从而由(7)式可得Ψ是压缩的.因此,由压缩映射原理知,Ψ在空间S中有唯一不动点x(t),它是系统(1)的解,而且当t→∞时,|x(t)|2→0.
为了证明渐近稳定性,还需证系统(1)的零解是稳定的.对任意给定的ε>0选择δ>0(δ<ε)满足
设x(t)是系统(1)的解,且‖φ‖2<δ,则x(t)=(Ψx)(t).其中算子Ψ由(5)式定义.可以证明,当t≥0时,有|x(t)|2<ε.
事实上,注意到对t∈[m(0),0]有|x(t)|2<ε.假设存在t*使得|x(t*)|2=ε而且当m(0)≤s<t*,|x(s)|2<ε.则有
这样产生矛盾,从而证明了当条件(ⅲ)成立时系统(1)的零解是渐近稳定的.下面证必要性.
用反证法,假设系统(1)的零解渐近稳定但条件(ⅲ)不成立,则由条件(ⅰ),存在β∈
$\mathbb{R}$ 和序列{tn},tn→∞(n→∞),使得不妨选择正常数P满足
为了方便,对S≥0,定义
则由条件(ⅱ)有
从而序列
$\left\{\int_{0}^{t_{n}} {\rm e}^{\int_{0}^{s} h(\mu) {\rm d} \mu}\right.F(s) \mathrm{d} s \}$ 单调有界,因此存在收敛子列.为简单起见,假定选择充分大的正整数k,使得对任意n≥k,
其中
$B=\sup\limits _{t \geqslant 0} \mathrm{e}^{-\int_{0}^{t} h(u) \mathrm{d} u}$ ,δ0>0满足4δ0BeP+α<1.考虑系统(1)的解x(t)=x(t,tk,φ),初始条件满足
由渐近稳定性,假设|x(t)|2<1,t≥tk,选择φ使得
由(6)式和x(t)=(Ψx)(t),t≥tk,得
另一方面,因为系统(1)的零解均方渐近稳定,所以当t→∞时,
又由条件(ⅱ)以及tn→∞时g(tn)→∞(n→∞),从而可得当n→∞时
这与(9)式矛盾.故条件(ⅲ)是系统(1)的零解渐近稳定的必要条件.证毕.
-
例1 考虑积分微分动力系统
如果在推论2中取h(t)=0.5+cost,系统(10)零解渐近稳定.
证 事实上,易证推论2的条件(ⅰ)满足.其次因为
再者,当t→∞时,
所以,推论2的条件均满足,所以由推论2的结论知,系统(10)的零解渐近稳定.
注6 因为不满足A(t)=-(0.5+cost)≤0,所以由引理1得不到系统(10)零解的渐近稳定性.由例1易得,推论2很大程度上改进了引理1的结果.
例2 考虑多时滞微分动力系统
由推论3知,该系统零解渐近稳定.
证 在推论3中选择h1(t)=h2(t)=
$\frac{1}{6+6 t}$ ,则有且当t≥0时,
易知,
令
则由推论3知,系统(11)零解均方渐近稳定.
注7 易知由引理2不可以得到系统(11)零解的均方渐近稳定性.
事实上,
$b_{1}(t)=\frac{1}{10+6 t}, b_{2}(t)=\frac{1}{15+6 t}$ ,t-0.4t和t-0.6t的反函数分别为$\frac{5 t}{3}$ 和$\frac{5 t}{2}$ .则且
当t→∞时,
所以,当t→∞时,
上面的证明可以得出,
不满足引理2的条件.所以由引理2不能得出系统(11)的零解均方渐近稳定性.
-
通过本文的研究,得出如下结论:
1) 不动点方法较传统的李雅普诺夫直接法有一定的优越性.
2) 文章在构造映射算子时,根据多时滞动力系统时滞的特点,分别引入不同的对应函数hi(s),i=1,2,…,n,然后利用这n个函数来构造算子,再利用Banach不动点方法来研究随机动力系统的稳定性,推广和改进了前人研究的结果.