下面先给出本文将用到的几个定义.

定义1^[5]  称(2，2，2，2，2，0，0)-型代数L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)为非交换剩余格，若以下条件成立：

(a) (M，∧，∨，0，1)是有界格；

(b) (M，⊗，1)是以1为单位元的半群；

(c) 对任意的x，y，z∈M，x⊗y≤z⇔x≤y→z⇔y≤x$\circlearrowleft$z.

性质1^[5]  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是一个非交换剩余格，对于任意的x，y，z∈M，下列性质成立：

(1°) x≤y⇔x→y=1⇔x$\circlearrowleft$y=1；

(2°) x→x=x$\circlearrowleft$x=1，1→x=1$\circlearrowleft$x=x，x→1=x$\circlearrowleft$1=1；

(3°) x≤(x→y)$\circlearrowleft$y，x≤(x$\circlearrowleft$y)→y；

(4°) x→(y$\circlearrowleft$z)=y$\circlearrowleft$(x→z)；

(5°)若x≤y，则x⊗z≤y⊗z且z⊗x≤z⊗y；

(6°)若x≤y，则z→x≤z→y且z$\circlearrowleft$x≤z$\circlearrowleft$y；

(7°)若x≤y，则y→z≤x→z且y$\circlearrowleft$z≤x$\circlearrowleft$z；

(8°) x→y≤(z→x)→(z→y)，x$\circlearrowleft$y≤(z$\circlearrowleft$x)$\circlearrowleft$(z$\circlearrowleft$y)；

(9°) x→y≤(y→z)$\circlearrowleft$(x→z)，x$\circlearrowleft$y≤(y$\circlearrowleft$z)→(x$\circlearrowleft$z)；

(10°) (x⊗y)$\circlearrowleft$z=y$\circlearrowleft$(x$\circlearrowleft$z)，(x⊗y)→z=x→(y→z)；

(11°) x∨y≤((x→y)$\circlearrowleft$y)∧((y→x)$\circlearrowleft$x)，x∨y≤((x$\circlearrowleft$y)→y)∧((y$\circlearrowleft$x)→x).

注1  在本文中，我们将用L代表一个非交换剩余格，并约定运算∨，∧，⊗优先于运算→，$\circlearrowleft$.

定义2^[7]  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)为非交换剩余格，μ：L[0, 1]为L上的模糊集，如果对于任意的x，y∈L，有

(a) μ(1)≥μ(x)；

(b) μ(x)∧μ(x→y)≤μ(y)(或μ(x)∧μ(x$\circlearrowleft$y)≤μ(y)).

则μ为L上的模糊滤子.

性质2^[7]  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)为非交换剩余格，μ为L上的模糊滤子，对于任意的x，y，z∈L，下列性质成立：

(1°)如果x≤y，则μ(x)≤μ(y)，即μ是保序的；

(2°)如果x→(y→z)=1或x$\circlearrowleft$(y$\circlearrowleft$z)=1，则μ(z)≥μ(x)∧μ(y)；

(3°)如果μ(x→y)=μ(1)或μ(x$\circlearrowleft$y)=μ(1)，则μ(x)≤μ(y)；

(4°) μ(y⊗x)=μ(x∧y)=μ(x)∧μ(y)，μ(0)=μ(x)∧μ(x→0)；

(5°) μ(x→z)≥μ(y→z)∧μ(x→y)，μ(x$\circlearrowleft$z)≥μ(y$\circlearrowleft$z)∧μ(x$\circlearrowleft$y).

定义3^[8]  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，F是L上的非空子集，如果对于任意的x，y，z∈L，满足下列条件(a)，(b)或条件(a)，(c)：

(a) 1∈F；

(b) z→(y$\circlearrowleft$x)∈F，z∈F蕴涵((x$\circlearrowleft$y)→y)$\circlearrowleft$x∈F；

(c) z$\circlearrowleft$(y→x)∈F，z∈F蕴涵((x→y)$\circlearrowleft$y)→x∈F.

则称集合F是L上的极滤子.

定义4^[6]  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，F是L上的非空子集，对于任意的x，y，z∈L，如果满足下列条件(a)，(b)或条件(a)，(c)：

(a) 1∈F；

(b) ((x→y)⊗z)$\circlearrowleft$((y$\circlearrowleft$x)→x)，z∈F蕴涵((x→y)$\circlearrowleft$y)∈F；

(c) (z⊗(x$\circlearrowleft$y))→((y→x)$\circlearrowleft$x)，z∈F蕴涵((x$\circlearrowleft$y)→y)∈F.

则称集合F是L上的子正蕴涵滤子.

利用非交换剩余格上滤子与模糊滤子的关系，我们给出非模糊子正蕴涵滤子和模糊极滤子的概念.

定义5  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，μ是L上的模糊集，对于任意的x，y，z∈L，如果满足下列条件(a)，(b)或条件(a)，(c)：

(a) μ(1)≥μ(x)；

(b) μ((x→y)$\circlearrowleft$y)≥μ(((x→y)⊗z)$\circlearrowleft$((y$\circlearrowleft$x)→x))∧μ(z)；

(c) μ((x$\circlearrowleft$y)→y)≥μ((z⊗(x$\circlearrowleft$y))→((y→x)$\circlearrowleft$x))∧μ(z).

则称μ是L上的模糊子正蕴涵滤子.

定义6  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，μ是L上的模糊集，对于任意的x，y，z∈L，如果满足下列条件(a)，(b)或条件(a)，(c)：

(a) μ(1)≥μ(x)；

(b) μ(((x$\circlearrowleft$y)→y)$\circlearrowleft$x)≥μ(z→(y$\circlearrowleft$x))∧μ(z)；

(c) μ(((x→y)$\circlearrowleft$y)→x)≥μ(z$\circlearrowleft$(y→x))∧μ(z).

则称μ是L上的模糊极滤子.

引理1  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，对于任意的x，y，z∈L，有

证  对于任意的x，y，z∈L，由性质1中(3°)和(4°)可知

引理2  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，模糊集μ是L上的模糊滤子，对于任意的x，y∈L，下列条件等价：

(ⅰ)模糊滤子μ是L上的模糊极滤子；

(ⅱ) μ(y$\circlearrowleft$x)≤μ(((x$\circlearrowleft$y)→y)$\circlearrowleft$x)；

(ⅲ) μ(y→x)≤μ(((x→y)$\circlearrowleft$y)→x).

证  (ⅰ)⇒(ⅱ)因为模糊滤子μ是非交换剩余格L上的模糊极滤子，则

令z=1，即可得

(ⅱ)⇒(ⅰ)因为模糊集μ是L上的模糊滤子，故由定义2可得μ(1)≥μ(x).又因为

从而由定义6可得：模糊滤子μ是非交换剩余格L上的模糊极滤子.

同理可证(ⅰ)与(ⅲ)相互等价，综上可知结论成立.

引理3  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，模糊集μ是L上的模糊滤子，对于任意的x，y，z∈L，下列条件等价：

(ⅰ)模糊滤子μ是L上的模糊子正蕴涵滤子；

(ⅱ)μ(y)≥μ((y→z)$\circlearrowleft$(x→y))∧μ(x)；

(ⅲ)μ(y)≥μ((y$\circlearrowleft$z)→(x$\circlearrowleft$y))∧μ(x).

证  (ⅰ)⇒(ⅱ)对于任意的y，z∈L，因为z→(y→z)=1，因此由性质1可知z≤y→z，从而(y→z)$\circlearrowleft$y≤z$\circlearrowleft$y.再由性质2可得

又因为

因此

而又因为

则

(ⅱ)⇒(ⅰ)对于任意的x，y∈L，因为

故有

则

又因为

故

从而可得

则

又因为

因此

即

故

即满足定义5(b).由于μ是L上的模糊滤子，因此μ(x)≤μ(1).综上可得μ是L上的模糊子正蕴涵滤子.

同理可证(ⅰ)与(ⅲ)相互等价.综上可知结论成立.

引理4  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，模糊集μ是L上的模糊滤子，则对于任意的x，y∈L，下列条件等价：

(ⅰ) μ是L上的模糊子正蕴涵滤子；

(ⅱ) μ((x→y)$\circlearrowleft$x)=μ(x)；

(ⅲ) μ((x$\circlearrowleft$y)→x)=μ(x).

证  (ⅰ)⇒(ⅱ)因为μ是L上的模糊子正蕴涵滤子，由引理3可知

另一方面，对于任意的x，y∈L，有

从而

则

(ⅱ)⇒(ⅰ)因为

即

由引理3可得μ是L上的模糊子正蕴涵滤子.

同理可证(ⅰ)与(ⅲ)相互等价，综上可知结论成立.

定理1  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，模糊集φ，δ都是L上的模糊滤子，且满足φ≤δ，φ(1)=δ(1)，则当φ是L上的模糊极滤子时，δ也是L上的模糊极滤子.

证  对于任意的x，y∈L，因为

即

又因为φ是L上的模糊极滤子，且满足φ≤δ，φ(1)=δ(1)，故由引理2可得

即

结合定义2(a)可得

从而

又因为

结合定义2(a)可得

从而

则

由引理2可知δ也是L上的模糊极滤子.

定理2  设L=(M，∧，∨，⊗，→，$\circlearrowleft$，0，1)是非交换剩余格，模糊集μ是L上的模糊滤子，若μ是L上的模糊子正蕴涵滤子，则μ也是L上的模糊极滤子.

证  对于任意的x，y∈L，因为

则

又因为模糊滤子μ是L上的模糊子正蕴涵滤子，故由引理4可得

综上可知

即由引理2可得μ是L上的模糊极滤子.

滤子是研究逻辑代数的有效工具，文章在非交换剩余格中引入了模糊极滤子的概念，通过研究其特征及性质，获得了模糊极滤子的等价刻画.在下一步的工作中，我们将继续研究非交换剩余格上的其它模糊滤子的特征及性质，使其为我们深入研究非交换剩余格的结构奠定基础.