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具有良恰当断面的富足半群的结构

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孔祥军, 王蓓. 具有良恰当断面的富足半群的结构[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2019, 41(10): 37-44. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.10.005
引用本文: 孔祥军, 王蓓. 具有良恰当断面的富足半群的结构[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2019, 41(10): 37-44. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.10.005
Xiang-jun KONG, Pei WANG. A Structure of Abundant Semigroups with Good Adequate Transversals[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2019, 41(10): 37-44. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.10.005
Citation: Xiang-jun KONG, Pei WANG. A Structure of Abundant Semigroups with Good Adequate Transversals[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2019, 41(10): 37-44. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2019.10.005

具有良恰当断面的富足半群的结构

  • 基金项目: 国家自然科学基金面上项目(11871301);山东省自然科学基金面上项目(ZR2016AM02);山东省高校科技计划项目(J18KA248);曲阜师范大学科技计划项目(xkj201509)
详细信息
    作者简介:

    孔祥军(1978-), 男, 博士, 副教授, 主要从事半群代数理论的研究 .

  • 中图分类号: O152.7

A Structure of Abundant Semigroups with Good Adequate Transversals

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出版历程
  • 收稿日期:  2018-05-29
  • 刊出日期:  2019-10-20

具有良恰当断面的富足半群的结构

    作者简介: 孔祥军(1978-), 男, 博士, 副教授, 主要从事半群代数理论的研究
  • 1. 曲阜师范大学 数学科学学院, 山东 曲阜 273165
  • 2. 曲阜师范大学 软件学院, 山东 曲阜 273165
基金项目:  国家自然科学基金面上项目(11871301);山东省自然科学基金面上项目(ZR2016AM02);山东省高校科技计划项目(J18KA248);曲阜师范大学科技计划项目(xkj201509)

摘要: 利用${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群和${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群,给出具有良恰当断面的富足半群的一个对称的织积结构定理.此结论去掉了拟理想这个重要的前提,且比已有结论的形式更简单.其结果是对逆断面和恰当断面中相应结果的丰富和推广,为进一步研究该类半群的结构、性质及刻画其上的同余奠定了坚实的理论基础.

English Abstract

  • 正则半群的逆断面[1]的概念于1982年引入.若正则半群S的逆子半群SoS的每个元素的唯一逆元,则称SoS的逆断面.在逆断面情形下,文献[2]引入了两个子半群RL,文献[3]证明了两个幂等子集IΛ都是带.作为逆断面的推广,恰当断面[4]的概念于1993年引入到富足半群中,文献[4]建立了具有可乘型A断面的富足半群的结构.文献[5]引入了两个幂等子集IΛ,并研究了恰当断面的若干性质.文献[6]引入并研究了两个重要子集RL,建立了具有拟理想恰当断面的富足半群的织积结构.文献[7]建立了具有左单S-恰当断面的富足半群的结构,文献[8]利用左正则带和${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群,建立了具有S-恰当断面的富足半群的结构,但这两个半群是不对称的.文献[9]得到了完全正则半群簇的子簇的两种分解.文献[10]得到了变换半群的一个组合结果.文献[11-12]进一步讨论了恰当断面的性质,并研究了拟理想恰当断面的乘积问题.文献[13]对拟理想恰当断面的乘积问题进行了推广.文献[14]研究了可乘拟恰当断面的好同余.本文的主要目的是利用两个对称的半群${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群和${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群,建立具有良恰当断面的富足半群的结构.

    如果半群S的每一${{\mathscr L}^ * }$-类和${{\mathscr R}^ * }$-类都含幂等元,则称S为富足半群[15].幂等元集成带(半格)的富足半群称为拟恰当半群(恰当半群)[16].恰当半群的每一${{\mathscr L}^ * }$-类La*${{\mathscr R}^ * }$-类Ra*仅含一个幂等元,分别记作a*a+.用符号EEo分别表示半群SSo的幂等元集.

    U是富足半群S的富足子半群.如果对任意aU,存在两个幂等元eLa*(S)∩UfRa*(S)∩U,则称US的*-子半群.设So是富足半群S的*-恰当子半群.如果对任意xS,存在幂等元efE和唯一xSo,使得x=exf,这里$e{\overline {{\mathscr L}x} ^ + }$$f{\overline {{\mathscr R}x} ^ * }$,则称SoS的恰当断面.易知ef是由xSo唯一确定的,分别记为exfx,且有ex${{\mathscr R}^ * }$x${{\mathscr L}^ * }$fx.记

    如果IΛ都是带,则称SoS的良恰当断面.据文献[5]的命题2.3知,若SoS的良恰当断面,则I是左正则带(iji=ij),Λ是右正则带(iji=ji).幂等元集成右正则带(左正则带)的拟恰当半群称为${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群(${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群).本文未定义的概念和符号见文献[6, 15-16].

    引理1[8]  设S是具有恰当断面So的富足半群.若I(Λ)是子半群,则R(L)也是子半群,从而R(L)是拟恰当半群.

    在下文中,R表示一个具有恰当断面So${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群.则易知,对任一xR,有fx=x*Eox=exx.对${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群L有对偶的结论.下面给出本文的主要定理.

    定理1  设${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群R${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群L具有一个共同的恰当断面So.对任一aL,设ϕaRR$y \mapsto {\phi _a}y$为映射;对任一xR,设ψxLL$b \mapsto b\psi _x$为映射.在集合U=R×L={(xa)∈R×Lx=a}上定义乘法

    假设对任意abL和任意xyR,下列条件满足:

    (ⅰ) $\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{\psi _y}} $

    (ⅱ)若x=b,则ϕa(ex(ϕby))=eϕax(ϕ(x)fby)且(ex(ϕby))fy=((x)fb)ψy

    (ⅲ)若aSo,则ϕay=ayy=ay;若xSo,则x=bxϕax=ax

    (ⅳ) ea(ϕax)=ϕax且(x)fx=x

    (ⅴ)对任一cLzR,若ϕay=ϕaz及(y)fb=(z)fc,则ϕfay=ϕfaz且(faψy)fb=(faψz)fc;若ey(ϕbx)=ez(ϕcx)及x=x,则ey(ϕbex)=ez(ϕcex)且ex=ex.

    U是具有同构于So的良恰当断面的富足半群.

    反之,每一个具有良恰当断面的富足半群都可以这样构造.

    定理1由下面几个引理逐步证得.

    引理2  U上的乘法是有定义的.

      只须证(ex(ϕay),(y)fb)∈U.

    ϕaRRψyLL是映射,显然有

    E(R)是左正则带,且

    据条件(ⅰ)和(ⅳ),有

    $\overline {{e_{x\left( {{\phi _a}y} \right)}}} = \overline {{\phi _a}y} $.类似地,$\overline {\left( {a{\psi _y}} \right){f_b}} = \overline {a{\psi _y}} $.据条件(ⅳ),有

    引理3  U是半群.

      设(xa),(yb),(zc)∈U.则

    y=b,据条件(ⅱ),有

    所以U是半群.

    引理4  设(xa)∈U.则(xa)∈E(U)当且仅当ϕax=x=a=x.

      因

    注意到xRaL,易知:若

    故(xa)∈E(U).反之,若(xa)∈E(U),则ex(ϕax)=x且(x)fa=a.据(xa)∈UaL,有$ {e_x}{\overline {{\mathscr L}x} ^ + }$=a+=ea.故

    类似地,x=a=x.

    引理5  假设(xa)∈U,记u=(exx+)和v=(a*fa).则uvE(U)且$u{{\mathscr R}^ * }$(xa)${{\mathscr L}^ * }v$.

      据引理4,显然有uvE(U).令xEoaL,因为xfa=xfa=a,则

    假设(yb),(zc)∈Γ1,使得

    fa${{\mathscr R}^ * }$a*=x*=fx和条件(ⅳ),有x=x.因此据条件(ⅴ),有

    所以

    故(xa)${{\mathscr R}^ * }u$.对偶地,有(xa)${{\mathscr L}^ * }v$.

    引理6  U是富足半群.

      据引理5可得.

    引理7  设W={(ss):sSo}.则W是同构于SoU的恰当*-子半群.

      显然WU.设(ss),(tt)∈W.易知

    所以W是子半群.对任一sSo,定义=(ss),显然φ是一个同构.故So$ \cong $W.

    为证W是*-子半群,设(ss)∈W.据引理4和引理5,有

    $u{{\mathscr R}^ * }$(ss).类似地,v=(s*s*)∈E(W)且$v{{\mathscr L}^ * }$(ss).

    引理8  设(x1a1),(x2a2)∈U.则:

    (ⅰ) (x1a1)${{\mathscr R}^ * }$(x2a2)当且仅当x1${{\mathscr R}^ * }$x2

    (ⅱ) (x1a1)${{\mathscr L}^ * }$(x2a2)当且仅当a1${{\mathscr L}^ * }$a2.

      为证(ⅰ),据引理5,只需证明(ex1${\overline {{x_1}} ^ + }$)${{\mathscr R}^ * }$(ex2${\overline {{x_2}} ^ + }$)当且仅当x1${{\mathscr R}^ * }$x2.

    x1${{\mathscr R}^ * }$x2,则ex1=ex2,故${\overline {{x_1}} ^ + }$=${\overline {{x_2}} ^ + }$.因此

    反之,若

    u1u2=u2u2u1=u1.故

    ex1ex2=ex2,且ex2ex1=ex1.故ex1${{\mathscr R}^ * }$ex2.所以x1${{\mathscr R}^ * }$x2.

    (ⅱ)可对偶地证明.

    引理9  WU的恰当断面.

      对任意的t=(xa)∈U,记

    易验证t=ettft.而且

    假设t可以写成另一种形式t=ettft′,其中

    根据引理8的证明,有

    et${{\mathscr R}^ * }$t${{\mathscr R}^ * }$et′知

    类似地,有fa=fb2${\overline a ^ * } = {\overline {{b_2}} ^ * }$.所以,由b1Ly2R

    从而

    et′,ft′∈E(U),根据引理4,有$\overline {{b_1}} {y_1} = \overline {{y_1}} $${b_2}\overline {{y_2}} = \overline {{b_2}} $.因y1R,有

    y1${{\mathscr L}^ * }$$\overline {{y_1}} $${{\mathscr L}^ * }$$\overline {{y_1}}^* $.从$\overline {{b_1}} {y_1} = \overline {{y_1}} $可推断出$\overline {{y_1}} = \overline {{y_1}}{y_1} $.因$\overline {{b_1}} = \overline {{y_1}} $,从而$\overline {{y_1}} ^*= \overline {{y_1}} ^*{y_1}$,故

    因此y1是幂等元,且y1=ey1=ex.类似地,有

    易知

    et′=etft′=ft.从而

    x=exy.由x=exxexy=exx,可得x+y=x.显然$\overline {{x}} ^+ = \overline {{b_1}}=\overline {{b_1}}^* =\overline {y}^+$,故x=y+y=y.所以,WU的恰当断面.

    引理10  WU的良恰当断面.

      设

    对任一(xa)∈I(U),有(xa)∈E(U),且存在(yy)∈E(W),yEo,使得(xa)${{\mathscr L} }$(yy).则(a*fa)${{\mathscr L} }$(yy),故(a*fa)=(yy),即a*=y=fa.故aRL=So,根据引理4,有a=ϕax=ax.因(xa)∈U,有x=a=a,故x=xx.从引理9的证明可推断出x是幂等元,故x=ex.从而

    因此

    对任一(xa)∈U,其中x2=xaEo,显然有

    所以I(U)=E(R)|×|Eo$ \cong $E(R)是左正则带.对偶地,Λ(U)=Eo|×|E(L)$ \cong $E(L)是右正则带.

    据定义知WU的良恰当断面.至此完成了定理1正面部分的证明.

    反之,假设S是富足半群,具有良恰当断面So.则I是左正则带,Λ是右正则带.从而,R${{\mathscr R}^ * }$-幂单半群,L${{\mathscr L}^ * }$-幂单半群,且RL分享一个共同的恰当断面So.对任一aLxR,设

    为映射.则它们满足下列条件:

    (ⅰ)因

    ${e_{ay}}{\overline {{\mathscr L}ay} ^ + }$,有$\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{_y}} $.类似地,因

    ${f_{ay}}{\overline {{\mathscr R}ay} ^ * }$,有$\overline {a{\psi _y}} = \overline {ay} $.故$\overline {{\phi _a}y} = \overline {a{\psi _y}} $.

    (ⅱ)由x=bxRbL

    计算得

    类似地,有

    (ⅲ)若aSo,则aySoRR,故fay=ay*.所以

    对偶地,若xSo,则x=bx,且ϕax=ax.

    (ⅳ)易知

    (ⅴ)最后证明:若x=xey(ϕbx)=ez(ϕcx),则

    ebx=ebex,由Eo是半格,有$\overline {{bx}}^+ = \overline {{be_{x}}}^+ $.类似地,$\overline {{cx}}^+ = \overline {{ce_{x}}}^+ $.从x=x可推断出

    所以$ {\overline {b{e_x}} ^ + }b{e_x} = {\overline {c{e_x}} ^ + }c{e_x}$,从而x=x.若ey(ϕbx)=ez(ϕcx),则eyebxbx =ezecxcx.因x=x,有$\overline {b{\psi _x}} = \overline {c{\psi _x}} $,据(ⅰ),bx =cx.从而

    eyebx=ezecx.所以eyebex=ezecex.类似地,因ex=ex,有$\overline {b{e_x}} = \overline {c{e_x}} $,故

    从而

    对偶地,若ϕay=ϕaz及(y)fb=(z)fc,则

    所以得到一个富足半群U.最后证明U同构于S.

    设(xa)∈U.定义θUSθ((xa))=exa,则θ是有定义的,且θ是单射.事实上,若

    其中xyRabL.则从exa=exafa$f_a{\overline {{\mathscr R}a} ^ * } $$e_x{\overline {{\mathscr L}x} ^ + } = {\overline a ^ + }$可推断出$\overline {{e_x}a} = \overline a $.类似地,$\overline {{e_y}b} = \overline b$,故a=b.从而

    所以

    类似地,a=b.

    对任意(xa),(yb)∈U,因yfb=eyb,有

    θ是同态.对任一xS,易验证xx*Rx+xL.而且,从

    可推断出$\overline {x{{\overline x }^ * }} = \overline x = \overline {{{\overline x }^ + }x} $.故$\left( {x{{\overline x }^ * }, {{\overline x }^ + }x} \right)$U

    这就说明θ是满射.所以θ是一个同构.

参考文献 (16)

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