对于模型(3)，假设初始条件为

显然，模型(3)在初始条件(4)下的解均是非负的.于是对其解，由模型(3)的第2个方程有V^′≤ $\left( {\frac{g}{{{b_2}}} - {\mu _2}} \right)V\left( t \right)$.这意味着当${\frac{g}{{{b_2}}}}$ ≤μ₂时有$\mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } V\left( t \right)$ =0，所以当${\frac{g}{{{b_2}}}}$≤μ₂时游离病毒将会自然清除，不需要介入治疗.因此，本文将仅讨论${\frac{g}{{{b_2}}}}$ > μ₂的情形.

因为任何药物治疗均存在副作用，所以一般治疗周期时间均有限，同时CD4+T细胞的浓度代表感染者的免疫能力，于是本文以皮下注射IL-2的速度V_I为控制变量，记治疗末端时间为t_f，定义目标函数

其中β表示权重，体现治疗的收益和代价.容许控制集为

V_I为可测函数，V_IM为IL-2注射最大速度.这里最优控制的效果是在[0，t_f]内使得CD4+T细胞浓度较大，同时注射IL-2速度较小，从而减少药物带来的副作用.因此，本文的目标是寻找最优控制V_I^*，使得

类似的目标函数和最优控制问题可参见文献[4, 8-13].关于该问题最优控制变量的存在性可用文献[4, 8-12, 14]的方法(或定理)证明.

由于满足模型(3)及初始条件(4)的解使得目标函数(5)取最大值时，最优控制V_I^*存在，因此可用Pontryagin最大值原理^[15]推得该问题最优控制的必要条件.为了易于理解最优控制的确定过程，本文借鉴文献[4, 9, 12]中引入惩罚乘子的方法.

定理1  假设最优控制为V_I^*，模型(3)满足初始条件(4)的相应解为T^*，V^*，I^*，则存在协状态变量λ₁，λ₂，λ₃满足

横截条件为

最优控制V_I^*的表达式为

证  构造Hamilton函数

其中w₁(t)，w₂(t)≥0均为惩罚乘子.在容许控制集U的范围内，当V_I=V_I^*时，惩罚乘子w₁(t)和w₂(t)满足

由Pontryagin最大值原理，λ₁，λ₂，λ₃满足的协状态方程为

由于V_I^*为系统(3)在目标函数(5)下的最优控制变量，当V_I=V_I^*时，$\frac{{\partial H}}{{\partial {V_I}}} = 0$，即

由惩罚乘子w₁(t)和w₂(t)满足的条件(6)可知，当0 < V_I^*(t) < V_IM时，w₁(t)=w₂(t)=0；当V_I^*(t)=0时，w₂(t)=0；当V_I^*(t)=V_IM时，w₁(t)=0.于是由(7)式有，当0 < V_I^*(t) < V_IM时，V_I^*(t)= $\frac{{{\lambda _3}}}{\beta }$；当$\frac{{{\lambda _3}}}{\beta }$≤0时，V_I^*(t)=0；当$\frac{{{\lambda _3}}}{\beta }$ ≥V_IM时，V_I^*(t)=V_IM.因此，最优控制V_I^*的表达式为

由文献[15]中横截条件，得λ₁(t_f)=0，λ₂(t_f)=0，λ₃(t_f)=0.证毕.

根据定理1，所求的最优系统为

为了简化最优系统解的唯一性的证明过程，下面给出一个关于函数u(γ)的引理，其中u(γ)=maxρ，minη，γ，这里ρ，η为常数.

引理1  对于函数u(γ)，当ρ < η时，有u(γ₁)-u(γ₂)≤γ₁-γ₂，其中γ₁，γ₂∈ $\mathbb{R}$.

证  引理1容易证得，故证明略去.

定理2  当t_f充分小时，最优系统(8)的解是唯一的.

证  假设最优系统(8)存在两个解分别为T，V，I，λ₁，λ₂，λ₃和T，V，I，λ₁，λ₂，λ₃.令

和

其中m > 0.

将式(9)分别代入系统(8)的6个方程，得

再将式(10)分别代入系统(8)的6个方程，得

由系统(11)的第1个方程和系统(12)的第1个方程，得

由于系统(8)的状态变量T，V，I和协状态变量λ₁，λ₂，λ₃在[0，t_f]上均有界，因此存在正数x_s，y_s，z_s，p_s，q_s和r_s，使得0≤x≤x_s且0≤x≤x_s，0≤y≤y_s且0≤ y≤y_s，0≤z≤z_s且0≤z≤z_s，p≤p_s且|p|≤p_s，q≤q_s且|q|≤q_s，|r|≤r_s且|r|≤r_s.于是由式(13)可得

进一步，根据x和z的有界性，由(14)式可得

为后续表述简单，记

则由不等式(15)可得

由初始条件T(0)=T₀有x(0)=x(0)，即X(0)=0.将不等式(17)两端关于t在[0，t_f]上积分，得

其中

同理，根据系统(11)的第2个方程和系统(12)的第2个方程得

其中

令

由引理1可得

同理，根据系统(11)的第3个方程和系统(12)的第3个方程，得

其中

又根据系统(11)的第4个方程和系统(12)的第4个方程得

类似于不等式(14)和(15)的推导，并应用式(16)中引入的记号，由式(21)可得

由横截条件λ₁(t_f)=0有p(t_f)=p(t_f)，即P(t_f)=0.将不等式(22)两端关于t在[0，t_f]上积分，得

其中

同理，由系统(11)的后两个方程和系统(12)的后两个方程可得

其中

于是，由不等式(18)，(19)，(20)，(23)和(24)可得，

由于不等式(25)的第一项是非负的，所以有

进一步利用不等式M²+N²≥2MN，由式(26)可得

其中

这里

再由于区间[0，t_f]上e^-2mt≤1恒成立，将函数G₁进一步缩小，有

其中

因此，由式(27)有$\int_0^t {{G_2}{{rm d}}t \le 0} $.

由于A_i(i=1，2，…，5)和B_j(j=1，2，3)均为不依赖于m和t的正常数，所以有

若m₁=C₁+A₁，m₂=C₂+A₂+B₁，m₃=C₁+A₄+B₂，m₄=C₂+A₅+B₃，m₅= $ \frac{1}{{2\beta }}$ +C₃+A₃，则当m > maxm₁，m₂，m₃，m₄，m₅时，Θ_l(m，0) > 0(l=1，2，…，5).所以，对应足够大的正数m，存在充分小的正数t_f，使得Θ_l(m，t_f) > 0(l=1，2，…，5).于是，由式(28)，对应t∈[0，t_f]有

因此T(t)=T(t)，V(t)=V(t)，I(t)=I(t)，λ₁(t)=λ₁(t)，λ₂(t)=λ₂(t)，λ₃(t)=λ₃(t).证毕.

结合临床实际情况，通常期望保证最优系统解唯一的治疗末端时间t_f能够尽可能较大.当m > maxm₁，m₂，m₃，m₄，m₅且t_f满足下列条件时，不等式(28)中Θ_l(m，t_f) > 0(l=1，2，…，5)成立：

1) 1≤e^mt_f < $\frac{{m - {C_1}}}{{{A_1}}}$，即$0 \le {t_f} < \frac{1}{m}\ln \frac{{m - {C_1}}}{{{A_1}}}$.

2) 1≤e^mt_f < $\frac{{ - {A_2} + \sqrt {A_2^2 + 4{B_1}\left( {m - {C_2}} \right)} }}{{2{B_1}}}$，即$0{t_f} < \frac{1}{m}\ln \frac{{ - {A_2} + \sqrt {A_2^2 + 4{B_1}\left( {m - {C_2}} \right)} }}{{2{B_1}}}$.

3) 1≤e^mt_f < $\frac{{ - {A_4} + \sqrt {A_4^2 + 4{B_2}\left( {m - {C_2}} \right)} }}{{2{B_2}}}$，即$0 \le {t_f}<\frac{1}{m}\ln \frac{{ - {A_4} + \sqrt {A_4^2 + 4{B_2}\left( {m - {C_1}} \right)} }}{{2{B_2}}}$.

4) 1≤e^mt_f < $\frac{{ - {A_5} + \sqrt {A_5^2 + 4{B_3}\left( {m - {C_2}} \right)} }}{{2{B_3}}}$，即$0{t_f} < \frac{1}{m}\ln \frac{{ - {A_5} + \sqrt {A_5^2 + 4{B_3}\left( {m - {C_2}} \right)} }}{{2{B_3}}}$.

5) 1≤e^mt_f < $\frac{1}{A_{3}}\left(m-C_{3}-\frac{1}{2 \beta}\right)$，即$0 \leqslant t_{f}<\frac{1}{m} \ln \left[\frac{1}{A_{3}}\left(m-C_{3}-\frac{1}{2 \beta}\right)\right]$.

因此，当m > maxm₁，m₂，m₃，m₄，m₅时，若0≤t_f < T_f=mint₁，t₂，t₃，t₄，t₅，则最优系统(8)在区间[0，t_f]上的解唯一，其中

下面利用数值模拟分析在最优控制下免疫治疗药物IL-2对HIV感染者的治疗效果.本文取治疗周期为100 d(即t_f=100 d)，初始值为T₀=200 mm^-3，V₀=5000 mm^-3，I₀=0IU·mm^-2.由文献[3, 5]，取s₁=2.0mm^-3·d^-1，s₂=1.5 mm^-3·d^-1，b₁=14 mm^-3，b₂=1 mm^-3，μ₁=0.002 d^-1，μ_I=10 d^-1，k=2.5×10^-4 mm³·d^-1，g=30 mm^-3·d^-1.对其余参数进行估计，令β=50，μ₂=0.000 2 d^-1，c=0.006 8 mm³·d^-1，a=0.8 mm²·IU^-1·d^-1，V_IM=1IU·mm^-2·d^-1.数值模拟结果见图 1-3.由图 1知，最优注射速度V_I^*在前10 d左右持续为0.711 2 IU·mm^-2·d^-1，之后开始减少.由图 2和图 3知，在最优控制下，加入IL-2的治疗能够增加CD4+T细胞浓度且减少游离病毒浓度，但并不能彻底清除病毒.