引理1^[16]  设v₀∈W^1，∞，对所有t∈(0，T)，都有‖w(t)‖_L^q(Ω)≤C，那么对任意t∈(0，T)和q∈[1，d)可得

其中

若q=d，则对于任意的s＜+∞，都有(3)式成立；若q＞d，则有‖v(t)‖_W^1，∞≤C.

此外，考虑到扩散系数D(u)可能具有奇异性，先考虑其正则性的趋化模型：

其中D_σ(u)=D(u+σ)且σ＞0，利用文献[17]中Amann理论容易证明其局部适定性. 接下来，先证明趋化系统(5)的解的全局适定性，主要有如下引理.

引理2  设d≥2，$p>2-\frac{4}{d} $，若对∀t∈(0，T)，有

其中$ q_{0} \in\left[\max (1, p), \min \left(p+\frac{2}{d}, d\right)\right]$和C是常数，则有

(i) $\|w(t)\|_{L^{q_{0}}} \leqslant C $和$\|\nabla v(t)\|_{L^{s_{0}}} \leqslant C $，其中$s_{0}<\frac{d q_{0}}{d-q_{0}} $.

(ii) 若d＞2且p＜d-2，则对于任意的$ q<\frac{d}{d-2} p$，都有$\left\|u_{\varepsilon}(t)\right\|_{L^{q}(\varOmega)} \leqslant C(q) $.

(iii) 若d=2或p＞d-2，则对于任意的q＜∞，都有$\left\|u_{\varepsilon}(t)\right\|_{L^{q}(\varOmega)} \leqslant C(q) $.

证  (i)对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘w^q₀-1，然后在Ω上积分可得

进一步，对(6)式的右端的最后一项用Young不等式可得

因为u的L^q₀范数有界，则联合(6)和(7)式可知

其中C是常数，即可知

最后，利用引理1可知$ \|\nabla v(t)\|_{L^{s_{0}}} \leqslant C$成立.

(ii) 对于任意的q＞q₀，设u_ε=u+ε，其中ε∈(0，σ]，对趋化模型(5)的第一个方程两边同乘u_ε^q-1，然后在Ω上积分可得

因为

那么由Young不等式可知

和

另一方面，对于∀ε＞0，有

进而可知

现在，令$g=u_{\varepsilon}^{\frac{p+q}{2}} $，则有

首先假设q＜p+q₀，则对(9)式右边的积分用Hölder不等式可知

进一步，取$ q_{0}<q<p+\frac{2}{d} q_{0}$，$ 1 \leqslant s<\min \left(\frac{d q_{0}}{d-q_{0}}, \frac{2 q_{0}}{p-q+q_{0}}\right)$，因为d≥3，可设$s<\frac{2 d}{d-2} $. 又因为$\|\nabla v\|_{L^{s}(\varOmega)} \leqslant C $，则由Gagliardo-Nirenberg不等式可知

其中b∈(0，1). 由于-Δ是D到L²(Ω)的同构映射(证明见文献[16])，其中

那么，由Young不等式可知

整理可得

其中C是常数.

接下来，对趋化系统(5)的第二个方程两边同乘-Δv，然后在Ω上积分可得

由Young不等式可知

最后，整理可得

对趋化模型(5)的第三个方程两边同乘w，然后在Ω上积分可得

由Young不等式可得

整理得

联合不等式(11)-(13)可知

接下来，关键之处在于处理$\int_{\varOmega} u_{\varepsilon }^{2} \mathrm{~d} x $. 下面分为两种情况进行讨论：

1) 在p+q＞2时，由Poincare不等式得

2) 若p+q≤2，选取$n \in\left(\frac{2 d}{p+q}-d, \min \left(\frac{2 q_{0}}{p+q}, \frac{4}{p+q}\right)\right) $. 因为d≥3，可设$n<\frac{2 d}{d-2} $. 则由Gagliardo-Nirenberg不等式可知

其中$ a=\frac{\frac{d}{n}-\frac{d(p+q)}{4}}{1-\frac{d}{2}+\frac{d}{n}}<\frac{p+q}{2}$等价于$n>\frac{2 d}{p+q}-d $.

进一步，因为$ \|g\|_{L^{n}(\varOmega)}$有界和$\frac{4 a}{p+q}<2 $，则由Poincare不等式可得

综上所述可得

现在，联合不等式(14)和(15)可得

其中C(q)表示仅依赖于q的常数. 此外，还有

和

这样就可以得到

其中C和$\mathop C\limits^ \wedge $是常数. 那么，对所有的t∈(0，T)，由Gronwall不等式可知

其中C表示仅依赖于q的常数与时间无关.

综合上述过程，在$q_{0} \in\left[\max (1, p), \min \left(p+\frac{2}{d}, d\right)\right] $和$p>2-\frac{4}{d} $满足时，则对

可知(17)式成立.

当q₁≥d，则由引理1可知，对于任意的l＜+∞，都有$ \|\nabla v(t)\|_{L^{l}} \leqslant C$，易知(9)式右边有界和(16)式成立，那么对所有的q=q₂＜p+q₁，亦可知(16)式成立. 然后，用q₂替换(10)中的q₀，对所有的q＜2p+q₁，都有(17)式成立. 重复上述过程k次，可知对于任意大的k，对所有的q＜kp+q₁，使得(17)式成立. 因此，若q₁≥d，对所有的q＜+∞，可得(17)式成立.

如果q₁＜d，用q₁替换(10)中q₀，则有$ $都有(17)式成立，依次类推，可知对所有$ $，可得(17)式成立. 最后，若存在某个k使得q_k≥d，那么根据上述证明可知，对所有的q＜+∞，有(17)式成立. 如若不然，则对所有k都有q_k＜d成立. 则序列$ $必存在上极限$ $. 因此，对每个q＜d都有(17)式成立. 因为q＜d，所以p＜d-2.

(iii) 从上述证明可知，若d=2或p＞d-2，对所有的q＜+∞，可得(17)式成立.

接下来，可以利用文献[11]引理3证明得到引理3，利用文献[18]引理4.1证明得到引理4.

引理3^[11]  假设定理1中所有条件成立，则

引理4^[18]  设Ω⊂R^d(d≥1)是具有C¹边界的有界的开区域，假设m＞0，u_m＞0，对∀u≥u_m，使得D(u)≥m. 如果0＜t＜T，$\|\nabla v(t)\|_{L^{\infty}} \leqslant C_{1} $，对0＜t＜T，可得

其中C₁，C₂和C₃都是正数.

最后，类似于文献[11]的证明方法，由σ的任意性，可知解的收敛性. 此外，上述推导出的所有估计值均不依赖于T，因此趋化系统(2)弱解有界性是全局的，可知定理1成立.

本节利用能量方法来证明定理2即生物趋化模型(2)解的唯一性，主要证明过程如下.

定理2证明  设方程(2)有两个满足初边值条件的解(u₁，v₁，w₁)和(u₂，v₂，w₂)，现令(u，v，w)=(u₁-u₂，v₁-v₂，w₁-w₂)和ψ满足

则可知

其中X^′(u)=D(u). 对模型(21)的前两个方程分别乘ψ，v并在Ω_T上积分得

进而可得

接下来，对(23)的右边用Cauchy不等式得

和

此外可知

其中

进一步由方程(20)可知$\|\nabla \psi(0)\|_{L^{2}(\varOmega)}=0 $. 进而可得：

最后可得

其中C是常数. 因此，方程(24)等价于

则由Gronwall's不等式可知，对所有t∈(0，T)且T＞0，ψ(t)=u(t)=v(t)=0，进而有w(t)=0，即唯一性得证.