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本文所考虑的群皆为有限群. 用G表示群，p表示素数，π(G)表示|G|的所有素因子组成的集合，|G|p表示G的Sylow p-子群的阶. 对群系
$\mathscr{F}$ ，用$Z_\mathscr{F}$ (G)表示G的所有$\mathscr{F}$ -超中心正规子群的积. 用$\mathscr{U}$ 表示全体超可解群组成的群系. 所有未说明的符号与术语都是标准的，可参看文献[1-2].有限群结构的确定是有限群研究的根本问题，这方面的研究已有许多结果，如文献[3-10]. 运用置换子群的性质是研究有限群结构的一个重要手段. 因此，置换子群的概念被很多学者多次推广. 其中，文献[6]引入了子群的δ-置换性：令集合δ是G的Sylow子群的完全集，即对每个p∈π(G)，集合δ仅包含G的一个Sylow p-子群，若群G的子群H置换δ中的所有元素，则称子群H在G中δ-置换. 并证明了：若
$\mathscr{F}$ 为包含全体超可解群$\mathscr{U}$ 的饱和群系，下列两条等价：1) G∈
$\mathscr{F}$ ；2) 存在H
$\trianglelefteq $ G使得G/H∈$\mathscr{F}$ ，且对所有Gp∈$\mathscr{F}$ ，有Gp∩H的极大子群在G中δ-置换.文献[7]得出：若Gp的极大子群在G中δ-置换，其中Gp∈δ，p∈π(G)且p最小，那么G为p-幂零群. 文献[8]得出：设p∈π(G)，P∈Sylp(G)且H为G的p′-Hall子群，使得G=P·H，令集合δ是H的Sylow子群的完全集，如果G满足下列两条：
1) NG(P)/CG(P)是p-群；
2) P的所有极大子群在H中δ-置换.
那么G为p-幂零群.
文献[9]从Gp以及Gp∩F*(G)的所有子群的δ-置换性两方面刻画了有限群的结构. 另外，文献[10]针对次正规δ-置换子群的嵌入性进行了研究，并针对δ-置换性对有限群结构的影响进行了研究. 本文将从子群的阶以及非Frattini p-主因子两方面讨论准素数子群的δ-置换性，进一步刻画有限群的结构，得到超可解群的新判别准则，并将以上结论推广.
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假定集合δ是G的Sylow子群的完全集，若N
$\trianglelefteq $ G，我们记定义1[6] 假定H≤G，集合δ是G的Sylow子群的完全集，若H置换δ中的所有元素，则称H在G中δ-置换.
引理1[6] 假定集合δ是G的Sylow子群的完全集，U是G的δ-置换子群，N
$\trianglelefteq $ G，总有(ⅰ) δ∩N及δN/N分别是N及G/N的Sylow子群的完全集；
(ⅱ) UN/N在G/N中δN/N-置换；
(ⅲ) 若U≤N，则U在N中δ∩N-置换.
引理2[11] 假定
$\mathscr{F}$ 是一个非空群系，H≤G且N$\trianglelefteq $ G，则$Z_\mathscr{F}$ (G)N/N≤$Z_\mathscr{F}$ (G/N).假设P是一个p-群. 若P不是非交换2-群，记Ω(P)=
${{\mho }_{1}}$ (P)，否则记Ω(P)=${{\mho }_{2}}$ (P).引理3[12] 假定
$\mathscr{F}$ 是一个可解饱和群系，P是G的正规p-子群，且C是P的Thompson临界子群[13]，若P/Φ(P)≤$Z_\mathscr{F}$ (G/Φ(P))或Ω(C)≤$Z_\mathscr{F}$ (G)，则P≤$Z_\mathscr{F}$ (G).引理4[12] 假设C是非平凡p-子群P的Thompson临界子群，则
(ⅰ) 若p是奇素数，则
${{\mho }_{1}}$ (C)的方次数是p；(ⅱ) 若P是交换2-群，则
${{\mho }_{1}}$ (C)的方次数是2；(ⅲ) 若p=2，则
${{\mho }_{2}}$ (C)的方次数至多是4.引理5[14] 若群G的广义Fitting子群F*(G)是可解的，则F*(G)=F(G).
引理6[15] 假定
$\mathscr{F}$ 是任一群系，E$\trianglelefteq $ G，若F*(E)≤$Z_\mathscr{F}$ (G)，则E≤$Z_\mathscr{F}$ (G).引理7[16] 假定
$\mathscr{F}$ 是包含全体超可解群$\mathscr{U}$ 的饱和群系，E$\trianglelefteq $ G且G/E∈$\mathscr{F}$ ，若E≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，则G∈$\mathscr{F}$ .
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定理1 设P是G的正规p-子群，集合δ是G的Sylow子群的完全集. 假定P有一个子群D，满足1＜|D|＜|P|，且P的每个阶是|D|的子群H在G中δ-置换. 进一步，当P是非交换2-群且|P∶D|＞2时，假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换，则P≤
$Z_\mathscr{U}$ (G).证 假设结论不成立，令(G，P)是使得|G|+|P|为最小的反例. 假定N是G的极小正规子群且包含于P. 按以下步骤导出矛盾：
步骤1 若|N|＜|D|，则N是G的包含于P的唯一的极小正规子群，满足P/N≤
$Z_\mathscr{U}$ (G/N)并且|N|＞p.设H/N是P/N的子群，满足|H/N|=|D|/|N|或|H/N|=2|D|/|N|(若P/N是非交换2-群，|P/N∶D/N|＞2且exp(H/N)＞2)，则H是P的子群，满足|H|=|D|或|H|=2|D|(若P是非交换2-群，|P∶D|＞2且exp(H)＞2). 由假设知，H在G中δ-置换. 因此由引理1知H/N在G/N中δN/N-置换. 由G的选取可知P/N≤
$Z_\mathscr{U}$ (G/N). 若|N|=p，则P≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以|N|＞p. 假定R是G的包含于P且不同于N的极小正规子群. 因为NR/N≤$Z_\mathscr{U}$ (G/N)，又因NR/N是G/N的极小正规子群，故|R|=|NR/N|=p，这可推得|R|≤|N|＜|D|. 类似前面的讨论有P/R≤$Z_\mathscr{U}$ (G/R)，因此有P≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以N是G的包含于P的唯一的极小正规子群.步骤2 |N|=|D|.
如果|N|＞|D|，假定N1是N的子群，满足|N1|=|D|，N1在G的某个Sylow p-子群Gp中正规，不失一般性可设Gp∈δ. 由假设知N1在G中δ-置换，即对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有N1Q=QN1. 因为N1=N∩N1Q
$\trianglelefteq $ N1Q，故Q≤NG(N1)，显然Gp≤NG(N1). 假定q1，q2，…，qt是π(G)的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，则再由N的极小性易知N1=1或N1=N，而1＜|D|＜|N|，矛盾.
以下假设|N|＜|D|. 由步骤1知P/N≤
$Z_\mathscr{U}$ (G/N). 若N≤Φ(P)，则由引理2有再由引理3知P≤
$Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 故N$\nleqslant $ Φ(P). 由步骤1可知Φ(P)=1. 假设U是N在P中的补，N1是N的极大子群，满足：N1在G的某个Sylow p-子群Gp中正规. 不失一般性，可设Gp∈δ. 因为故|U|≥|D|/|N1|. 不妨取U的阶是|D|/|N1|的子群V. 令T=N1V，则|T|=|N1V|=|D|，由假设知T在G中δ-置换，因此对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有TQ=QT. 因为
故Q≤NG(N1)，显然Gp≤NG(N1). 假定q1，q2，…，qt是π(G)的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，则
从而|N|=p，与步骤1的结果矛盾. 因此|N|=|D|.
步骤3 |D|=p.
令Gp是G的Sylow p-子群且Gp∈δ，N/M是Gp的主因子，则|N/M|=p. 假设L/N是包含于P/N的Gp/N的p阶正规子群，则|L/M|=p2. 首先考虑L/M是初等交换p-群，假设L/M=N/M×T/M，其中|N/M|=|T/M|=p，则|T|=|N|=|D|. 由假设知T在G中δ-置换，显然M=T∩N. 类似于步骤2的讨论有M
$\trianglelefteq $ G，所以|N|=p. 以下假设L/M是p2阶循环群，则存在元素a∈L\M且L=M〈a〉. 可推得N=M(N∩〈a〉). 易知a∉N且|N∩〈a〉|=p，所以M∩〈a〉=1，从而|〈a〉|=p2. 记${{\mho }_{1}}$ (L)=〈lp：l∈L〉，显然${{\mho }_{1}}$ (L)≤Φ(L)＜N. 取N1是N的极大子群，满足${{\mho }_{1}}$ (L)≤N1且N1$\trianglelefteq $ Gp. 又因M∩〈a〉=1，故N1≠M，所以〈ap〉≤N1且|N1〈a〉|=|N|=|D|. 由假设知N1〈a〉在G中δ-置换. 因为N1=N∩N1〈a〉，类似于步骤2的证明，可得N1$\trianglelefteq $ G，从而|N|=p.步骤4 最后矛盾.
当P是非交换2-群时，由步骤3及定理假设知P的所有素数阶或者4阶循环子群在G中δ-置换. 首先证明G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤
$Z_\mathscr{U}$ (G)并且|P/R|＞p.令P/R是G的主因子. 显然，(G，R)满足定理假设. 再由(G，P)的选择有R≤
$Z_\mathscr{U}$ (G). 若|P/R|=p，则P/R≤$Z_\mathscr{U}$ (G/R)，因此P≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 故|P/R|＞p. 假设P/L是G的主因子，且满足P/R≠P/L. 类似前面的讨论有L≤$Z_\mathscr{U}$ (G). 由引理2有在此情况下，可得出与上面相同的矛盾. 因此G有唯一的正规子群R满足：P/R是G的主因子，R≤
$Z_\mathscr{U}$ (G)并且|P/R|＞p.假定C是P的一个Thompson临界子群. 若Ω(C)＜P，则Ω(C)≤R≤
$Z_\mathscr{U}$ (G)，由引理3有P≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，矛盾. 所以P=C=Ω(C)，再由引理4知，当P是非交换2-群时，P的方次数是p或者4.因P/R∩Z(Gp/R)＞1，取
其中Gp是G的Sylow p-子群，且Gp∈δ. 记x∈L\R，H=〈x〉，则L=HR且|H|=p，4. 由假设知H在G中δ-置换，再由引理1有HR/R=L/R在G/R中δR/R-置换，即对任一q∈π(G/R)且p≠q，取Q/R∈Sylq(G/R)且Q/R∈δR/R，有L/R·Q/R=Q/R·L/R. 类似于步骤2的讨论有L/R
$\trianglelefteq $ G/R. 从而|L/R|=|P/R|=p.定理2 设
$\mathscr{F}$ 是包含所有超可解群的可解饱和群系，集合δ是G的Sylow子群的完全集，E$\trianglelefteq $ G满足G/E∈$\mathscr{F}$ ，并且F*(E)是可解的. 若对F*(E)的所有非循环的Sylow p-子群P，假定P有一个子群D满足1＜|D|＜|P|，且P的每个阶是|D|的子群H在G中的δ-置换. 进一步，当P是非交换2-群且|P∶D|＞2时，假定P的每个阶是2|D|并且方次数大于2的子群H也在G中δ-置换，则G∈$\mathscr{F}$ .证 因F*(E)可解，由引理5有F*(E)=F(E). 设P是F(E)的Sylow p-子群，其中p∈π(F(E)). 显然P
$\trianglelefteq $ G. 若P非循环，则P满足定理1的假设，因此P≤$Z_\mathscr{U}$ (G). 若P循环，假设L/K是G的任意包含于P的主因子，则|L/K|=p，故L/K在G中是$\mathscr{F}$ -中心的，因此P≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，从而F*(E)≤$Z_\mathscr{U}$ (G). 由引理6有E≤$Z_\mathscr{U}$ (G)，再由引理7有G∈$\mathscr{F}$ .定理3 假设G是p-可解群，集合δ是G的Sylow子群的完全集，P∈Sylp(G)且P∈δ. 若对G的任一非Frattini p-主因子H/K，都存在P的一个极大子群P1，使得P1在G中δ-置换，且H/K
$\nleqslant $ P1K/K，则G是p-超可解群.证 假设结论不成立，令G为极小阶反例.
假设N是G的极小正规子群. 下证G/N满足定理条件. 设(H/N)/(K/N)是G/N的非Frattini p-主因子，则
且H/K是G的p-主因子. 由假设知，存在P的一个极大子群P1在G中δ-置换且H/K
$\nleqslant $ P1K/K. 若N是p′-子群，则P1N/N是PN/N的极大子群. 若N是p-子群且N$\nleqslant $ P1，则P=NP1. 因为G的每个Sylow p-子群覆盖G的所有p-主因子，故H≤PK=P1K，与H/K$\nleqslant $ P1K/K矛盾. 所以N≤P1，因此P1/N是P/N的极大子群. 由引理1可知，P1N/N在G/N中δN/N-置换. 显然有由G的极小性可知，G/N是p-超可解群. 若N≤Op′(G)，则G是p-超可解群，矛盾. 故N是交换p-子群. 易知N是G的非Frattini p-主因子，由假设得，存在P的一个极大子群P2在G中δ-置换且N
$\nleqslant $ P2. 所以P=NP2. 由假设知，对任一q∈π(G)且p≠q，取Q∈Sylq(G)且Q∈δ，有P2Q=QP2. 又因故Q≤NG(N∩P2)，显然P≤NG(N∩P2). 假设q1，q2，…，qt是π(G)的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi(G)且Qi∈δ，可得
因此N∩P2=1或N≤P2，这两种情形都不可能.
因此，结论成立.
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