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平面凸曲线的一类熵不变流

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方建波. 平面凸曲线的一类熵不变流[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(10): 117-123. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.10.016
引用本文: 方建波. 平面凸曲线的一类熵不变流[J]. 西南大学学报(自然科学版), 2021, 43(10): 117-123. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.10.016
FANG Jianbo. A Class of Entropy Invariant Flows of the Convex Curve[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(10): 117-123. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.10.016
Citation: FANG Jianbo. A Class of Entropy Invariant Flows of the Convex Curve[J]. Journal of Southwest University Natural Science Edition, 2021, 43(10): 117-123. doi: 10.13718/j.cnki.xdzk.2021.10.016

平面凸曲线的一类熵不变流

  • 基金项目: 国家自然科学基金项目(11861004);贵州省科技厅一般项目(黔科合基础-ZK[2021]一般007);贵州省教育厅自然科学研究项目(黔教合KY字[2021]138)
详细信息
    作者简介:

    方建波,教授,博士,主要从事整体微分几何与几何分析的研究 .

  • 中图分类号: O186.11

A Class of Entropy Invariant Flows of the Convex Curve

  • 摘要: 研究了保持凸曲线熵不变的一类曲线流. 在这个流下,演化曲线保持凸性,其长度和所围区域的面积在不断减小,最后将光滑地收敛到半径为e-ε(0)的圆.
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出版历程
  • 收稿日期:  2020-09-08
  • 刊出日期:  2021-10-20

平面凸曲线的一类熵不变流

    作者简介: 方建波,教授,博士,主要从事整体微分几何与几何分析的研究
  • 贵州财经大学 数统学院,贵阳 550025
基金项目:  国家自然科学基金项目(11861004);贵州省科技厅一般项目(黔科合基础-ZK[2021]一般007);贵州省教育厅自然科学研究项目(黔教合KY字[2021]138)

摘要: 研究了保持凸曲线熵不变的一类曲线流. 在这个流下,演化曲线保持凸性,其长度和所围区域的面积在不断减小,最后将光滑地收敛到半径为e-ε(0)的圆.

English Abstract

  • 开放科学(资源服务)标志码(OSID):

  • 利用偏微分方程来处理几何问题始于20世纪70年代,这一时期是几何流蓬勃发展的阶段. 从文献[1]用“热流”研究Riemann流形之间的调和映射开始,历经Gauss曲率流[2]、平均曲率流[3]、Gauss-Kronecker曲率流[4],以及为解决庞加莱猜想而创立的Ricci流[5],几何流逐步成为现代数学的热门研究领域,一大批数学研究者在这方面有许多突出的研究成果.

    以上的几何流限制在平面上就有相应的平面曲线流. 由于高维曲率流的许多经典结果在平面上的情形并不平凡,平面曲线流的许多重要结果也不能直接推广到高维情形. 因此,研究平面曲线流既有重要意义又有独立价值. 平面曲线流中最简单且最为重要的模型是曲线收缩流,这方面的研究成果可参见文献[6-7]. 其后,关于曲线流的一个重要研究领域就进入了平面凸曲线流的研究中,这方面涉及到保持凸曲线所围区域面积不变的流[8-11]、保持曲线长度不变的流[12-13]以及外法向流[14-15]. 这里,长度和面积是曲线的整体几何量,因此,对保持曲线整体几何量不变的几何流的研究是有意义的.

    在平面上任给一条简单的、凸且闭的光滑曲线γ,它的被称为熵能量的整体几何量定义为

    其中κ是曲线γ的曲率. 曲线的熵ε(γ)在曲线流中有非常重要的作用,它常常被用来估计演化曲线的曲率κ的界. 一个自然的想法是,在某个曲线流下,如果演化曲线的熵保持不变,那么演化曲线的相应渐近行为会是什么样的呢?

    为此,设γ0S1${{\mathbb{R}}^{2}}$是平面上的一条简单光滑凸闭曲线,考虑如下的演化方程:

    这里,γ(u,0)=γ0,而Np=-〈γN〉分别为演化曲线γ(ut)的单位内法向量和支撑函数. 在方程(2)下,演化曲线γ(ut)有如下的性质:

    定理1  如果一条简单凸闭曲线γ0(其熵能ε(0)<1)按照方程(2)进行演化,那么在演化过程中,曲线始终保持凸性,曲线的长度L(t)和它所围区域的面积A(t)在不断减少,而熵能量(1)式却是保持不变的,随着时间t趋于无穷,演化曲线将光滑地收敛到圆.

    在平面上任取一条凸闭曲线γ,在直角坐标系下,由正x轴逆时针转到切向量T所形成的角θ定义为曲线γ的切向角,且曲率$\kappa =\frac{\text{d}\theta }{\text{d}{s}}$. 由曲线的凸性,选择θ为演化曲线的参数,从而方程(2)可以重写为

    因为θ是与时间t有关的函数,为了计算的方便,我们希望θ与时间t无关,为此在方程(3)的基础上添加一个切向分量而得到演化方程

    这里α(θt)待定. 在方程(4)下,切向角θ的演化方程为

    因此,要使得θt无关,只需选取α(θt)=-pθ(θt)即可.

    由于方程(3)和(4)的解曲线除相差一个参数变换外,在本质上是一样的[8],因此,接下来考虑方程(4)即可. 因为

    显然方程(4)是关于xy的抛物方程组,这不利于我们解决问题,为此,需要把方程(4)转化为与之等价的柯西问题(单个变量的抛物方程),即

    引理1  如果γ0是一条光滑的凸闭曲线,那么方程(4)等价于柯西问题

     曲率κ的演化方程为

    对于平面凸曲线,有

    将其代入上式即得方程(5).

    下面讨论方程(5)的存在性. 因为方程(5)是一个积分-微分方程,利用压缩映像原理可得:

    定理2  柯西方程(5)在整个时间区间[0,ω)上有唯一正解,其中ω为流的最大存在时间.

      证明过程类似于文献[16]中相应问题的证明方法. 为了叙述的完整性,我们给出相应证明. 记

    并定义

    其中常数λ>1.

    考虑满足初始条件u(θ,0)=κ0(θ)的方程

    这里

    选取时间

    由方程(6)可以得到

    以及u(θt)≤$\widetilde{M}$,因此

    引入集合

    f的范数定义为

    那么方程(6)的解就定义了V自身上的一个算子T,接下来证明算子T是压缩映射. 因为

    任取v1v2V,并定义Tui=vi(i=1,2),则

    注意到

    那么可得

    从而说明T是从V到自身的压缩算子,由压缩映像原理得知,存在κC(Qω),使得$\widetilde{m}\le \kappa \le \widetilde{M}$,并且T(κ)=κ. 下面的推论是直接的:

    推论1  演化方程(2)在整个时间区间[0,ω)上有唯一正解.

    接下来,我们将证明方程(2)的长时存在性,下面的结论是必要的:

    定理3  在方程(2)下,演化曲线的长度和所围区域的面积在不断减少,但是曲线的熵却是保持不变的.

     由长度和面积的演化方程及Gage不等式$\int \kappa^{2} \mathrm{~d} s \geqslant \frac{\pi L}{A}$,可得

    从而可知演化曲线的长度和所围区域的面积都在不断减少.

    对于曲线熵的演化方程,有

    即曲线的熵在演化过程中为常数,定理3得证.

    由曲率的演化方程可知

    简单地计算可以得到

    即演化曲线在不产生奇点的前提条件下保持凸性.

    考虑演化方程

    利用

    可知

    这说明函数log κmin是单调递增的,从而由

    可说明曲率有一致的正下界.

    如果在某个区间上有$\left(\frac{\partial \kappa}{\partial \theta}\right)^{2}>0$,那么

    因此

    其中C为常数. 从而可得曲率的上界

    由定理3知曲线的熵在方程(2)下保持不变,所以

    ε(0)<1可得

    从而可得曲率的一致上界

    结合所得的曲率的一致上下界,我们有:

    定理4  方程(2)在[0,∞)上长时存在.

    下面我们将研究方程(2)的Hausdorff收敛性和C收敛性.

    定理5  在方程(2)下,演化曲线在Hausdorff意义下收敛到半径为e-ε(0)的圆周.

      一方面,由定理3可得等周差的演化方程为

    因此,由Bonnesen不等式可知

    这里rinrout分别为演化曲线的最大内切圆半径和最小外接圆半径,当时间t→∞时,rinrout.

    另一方面,由$\log x \geqslant 1-\frac{1}{x}(x>0)$可知

    ε(0)<1知L(t)有一致正下界,且

    从而可得

    综上可知,演化曲线收敛到圆周.

    又因极限圆周的熵为

    因此Rcir=e-ε(0),定理5证毕.

    最后,我们通过演化曲线的曲率半径来说明C收敛性.

    定理6  在方程(2)下,演化曲线的曲率半径ρ(θt)收敛到常数$\frac{L_{\infty}}{2 \pi}$,并且曲率半径的所有导数$\frac{\partial^{k} \rho}{\partial \theta^{k}}$收敛到0,其中k的取值为所有正整数.

      因为

    因此利用方程(5)可得曲率半径ρ(θt)的演化方程为

    再结合长度L(t)的演化方程得

    所以

    并且对(7)式求导可得

    从而定理6得证.

    定理1的证明  结合定理3、定理4和定理5、定理6即证得主要结果.

参考文献 (16)

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